Beweis AUFGABE < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:06 Di 09.11.2004 | | Autor: | SERIF |
So Mathe Genies Ich muss diese Aufgabe beweisen? Wer hilft mir. Ich kann nur induktionsanfang n=1 und weiter?
[mm] \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[m] (1+x)^{n} \ge 1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4}[/m]
die Zahlen 2, 6, und 24 sind unterm Strich. also Nenner !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo!
> So Mathe Genies Ich muss diese Aufgabe beweisen? Wer hilft
> mir. Ich kann nur induktionsanfang n=1 und weiter?
Meiner Meinung nach müßtest du für den Induktionsanfang n=0 nehmen, aber das erleichtert den Anfang noch mehr...
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN
[/mm]
>
>
> [mm](1+x)^{n} \ge 1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4}[/mm]
>
Da ich nicht weiß, wie weit du in deinen Überlegungen schon bist, gebe ich dir einen Tipp für den Induktionsschritt:
Du nimmst also für ein [mm]n \in \IN[/mm] als Voraussetzung an, dass gilt:
[mm](1+x)^{n} \ge 1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4}[/mm]
Jetzt mußt du zeigen:
[mm](1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x+ \frac{(n+1)(n)}{2} x^{2} + \frac{(n+1)(n)(n-1)}{6} x^{3} + \frac{(n+1)(n)(n-1)(n-2)}{24} x^{4}[/mm] [mm] \red{(1)}
[/mm]
(Ich habe nur n durch n+1 ersetzt.)
Beginne am besten so:
[mm](1+x)^{n+1}=(1+x)*(1+x)^n \ge [/mm] (nach Voraussetzung da x [mm] \ge [/mm] 0)
[mm](1+x) \ * \ (1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4})[/mm]
Jetzt mußt du leider mit diesem (zugegebenermaßen unübersichtlichen) Term weiterarbeiten:
Löse die Klammern auf und dann schaue, was du zusammenfassen kannst, damit du letztendlich auf den Term [mm] \red{(1)} [/mm] kommst.
Wenn du Probleme dabei hast, poste doch deine konkreten Fragen!
Gruß,
Astrid
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Danke. Genau da liegt mein Problem. Ich komme auf die Lösung nicht. Die Lösung kennt man ja schon. Aber der Weg nach Lösung ist für mich schwer. Kannst du bitte weiter machen, bis zu Lösung? Danke.
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Hallo SERIF,
es geht darum, diesen Ausdruck auzumultiplizieren:
$ (1+x) \ [mm] \cdot{} [/mm] \ (1+nx+ [mm] \frac{n(n-1)}{2} x^{2} [/mm] + [mm] \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} [/mm] + [mm] \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4}) [/mm] $
[mm]= 1*(1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4})[/mm]
[mm]+x*(1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4})[/mm]
[mm]=(1+nx+ \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{4})[/mm]
[mm]+x+nx^2+ \frac{n(n-1)}{2} x^{3} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{4} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} x^{5})[/mm]
Durch exaktes Untereinanderschreiben der Terme mit gleicher x-Potenz bekommst du mehr Übersicht:
[mm]=1+(n+1)x+( \frac{n(n-1)}{2}+n)x^2 {...}x^4+\mbox{irgendwas}*x^5[/mm]
Den Term mit [mm] $x^5$ [/mm] kannst du weglassen, da er positiv ist, verkleinerst du damit den gesamten Ausdruck.
Fasst du mal die Terme vor den [mm] $x^{..}$ [/mm] zusammen? Dann sollten die gewünschten Terme von oben erscheinen. Ist ziemlich aufwendig mit dem Formeleditor (auch wenn ich ihn sonst liebe  ).
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