Beweis {A*b1, A*b2}orthonormal < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Es sei [mm] A\in \IR^{2 \times 2} [/mm] eine orthogonale Matrix und [mm] \{\vec{b_1}, \vec{b_2}\} [/mm] eine Orthoormalbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Beweisen Sie: [mm] \{A\cdot \vec{b_1}, A\cdot \vec{b_2}\} [/mm] ist eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2. [/mm] |
Hallo zusammen,
bei der obigen Aufgabe gehe ich folgendermaßen vor:
Im Skript ist der folgende Lemma angegeben:
Es sei [mm] A\in \IR^{n \times n} [/mm] eine orthogonale Matrix. Dann gilt für alle [mm] \vec{x},\vec{y} \in \IR^n:
[/mm]
[mm] \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle [/mm] = [mm] \langle A\cdot \vec{x}, A\cdot \vec{y} \rangle
[/mm]
Die Abbildung [mm] \vec{v} \rightarrow A\cdot \vec{v} [/mm] ist also Längen und Winkelerhaltend:
a) [mm] \parallel \vec{v} \parallel [/mm] = [mm] \parallel A\cdot \vec{v} \parallel
[/mm]
b) Ist [mm] \alpha \in [/mm] [0, [mm] \pi] [/mm] der zwischen [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w} [/mm] eingeschlossene Winkel, so ist der zwischen [mm] A\cdot \vec{v} [/mm] und [mm] A\cdot \vec{w} [/mm] eingeschlossene Winkel ebenfalls [mm] \alpha.
[/mm]
## Ende des Lemmas ##
Meine Lösung:
Voraussetzung:
Da [mm] \{\vec{b_1}, \vec{b_2}\} [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2 [/mm] ist, gilt:
1) [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
2) [mm] \parallel \vec{b_1} \parallel [/mm] = 1 und [mm] \parallel \vec{b_2} \parallel [/mm] = 1
Behauptung:
[mm] \{A\cdot \vec{b_1}, A\cdot \vec{b_2}\} [/mm] ist eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Das heißt, es muss gelten:
I) [mm] A\cdot \vec{b_1} \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
II) [mm] \parallel A\cdot \vec{b_1} \parallel [/mm] = 1 und [mm] \parallel A\cdot \vec{b_2} \parallel [/mm] = 1
III) [mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] und [mm] \lambda_1=\lambda_2=0
[/mm]
Beweis:
Aus dem Lemma folgt direkt:
I) [mm] A\cdot \vec{b_1} \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
Aus dem Lemma a) und der Voraussetzung 2) folgt direkt:
II) [mm] \parallel A\cdot \vec{b_1} \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vec{b_1} \parallel [/mm] = 1
und
[mm] \parallel A\cdot \vec{b_2} \parallel [/mm] = [mm] \parallel \vec{b_2} \parallel [/mm] = 1
III) [mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] | [mm] \cdot \vec{b_1}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da [mm] A\ne 0_{2,2} [/mm] und [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne [/mm] 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] | [mm] \cdot \vec{b_2}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da [mm] A\ne 0_{2,2} [/mm] und [mm] \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} \ne [/mm] 0
=> [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 [mm] \Box
[/mm]
Somit müsste doch mein Beweis vollständig und korrekt sein, oder?
Vielen Danke für jeden Hinweis auf Fehler bzw. ggf. Erklärung.
Viele Grüße
Asg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A\in \IR^{2 \times 2}[/mm] eine orthogonale Matrix und
> [mm]\{\vec{b_1}, \vec{b_2}\}[/mm] eine Orthoormalbasis des [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Beweisen Sie: [mm]\{A\cdot \vec{b_1}, A\cdot \vec{b_2}\}[/mm] ist
> eine Orthonormalbasis des [mm]\IR^2.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> bei der obigen Aufgabe gehe ich folgendermaßen vor:
>
> Im Skript ist der folgende Lemma angegeben:
>
> Es sei [mm]A\in \IR^{n \times n}[/mm] eine orthogonale Matrix. Dann
> gilt für alle [mm]\vec{x},\vec{y} \in \IR^n:[/mm]
>
> [mm]\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle[/mm] = [mm]\langle A\cdot \vec{x}, A\cdot \vec{y} \rangle[/mm]
>
> Die Abbildung [mm]\vec{v} \rightarrow A\cdot \vec{v}[/mm] ist also
> Längen und Winkelerhaltend:
>
> a) [mm]\parallel \vec{v} \parallel[/mm] = [mm]\parallel A\cdot \vec{v} \parallel[/mm]
>
> b) Ist [mm]\alpha \in[/mm] [0, [mm]\pi][/mm] der zwischen [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm]
> eingeschlossene Winkel, so ist der zwischen [mm]A\cdot \vec{v}[/mm]
> und [mm]A\cdot \vec{w}[/mm] eingeschlossene Winkel ebenfalls
> [mm]\alpha.[/mm]
>
> ## Ende des Lemmas ##
>
> Meine Lösung:
>
> Voraussetzung:
> Da [mm]\{\vec{b_1}, \vec{b_2}\}[/mm] eine Orthonormalbasis des
> [mm]\IR^2[/mm] ist, gilt:
> 1) [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm] = 0
> 2) [mm]\parallel \vec{b_1} \parallel[/mm] = 1 und [mm]\parallel \vec{b_2} \parallel[/mm]
> = 1
>
> Behauptung:
> [mm]\{A\cdot \vec{b_1}, A\cdot \vec{b_2}\}[/mm] ist eine
> Orthonormalbasis des [mm]\IR^2.[/mm]
> Das heißt, es muss gelten:
> I) [mm]A\cdot \vec{b_1} \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm] = 0
> II) [mm]\parallel A\cdot \vec{b_1} \parallel[/mm] = 1 und
> [mm]\parallel A\cdot \vec{b_2} \parallel[/mm] = 1
> III) [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm] und [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm]
Du meinst wohl: aus [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm] folgt [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm].
>
> Beweis:
>
> Aus dem Lemma folgt direkt:
> I) [mm]A\cdot \vec{b_1} \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm] = 0
>
> Aus dem Lemma a) und der Voraussetzung 2) folgt direkt:
>
> II) [mm]\parallel A\cdot \vec{b_1} \parallel[/mm] = [mm]\parallel \vec{b_1} \parallel[/mm]
> = 1
> und
> [mm]\parallel A\cdot \vec{b_2} \parallel[/mm] = [mm]\parallel \vec{b_2} \parallel[/mm]
> = 1
Bis hierhin ist alles O.K.
>
> III) [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
Das ist Unsinn. Was soll denn [mm] A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} [/mm] sein ? ?
Ebenso: [mm] A\cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} [/mm] ???
Wir haben: [mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1}[/mm] [/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
also: [mm] A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})=\vec{0}
[/mm]
A ist als orthogonale Matrix invertierbar, somit folgt
[mm] \lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}=\vec{0}
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
>
> Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm]
> = 0
> => [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
> Da [mm]A\ne 0_{2,2}[/mm] und [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne[/mm] 0
> => [mm]\lambda_1[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm]
> = 0
> => [mm]\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
> Da [mm]A\ne 0_{2,2}[/mm] und [mm]\vec{b_2} \cdot \vec{b_2} \ne[/mm] 0
> => [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>
> => [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0 [mm]\Box[/mm]
>
> Somit müsste doch mein Beweis vollständig und korrekt
> sein, oder?
>
> Vielen Danke für jeden Hinweis auf Fehler bzw. ggf.
> Erklärung.
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
> Du meinst wohl: aus [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} = \vec{0}[/mm] folgt [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm].
stimmt. Es war unlogisch, was ich geschrieben habe.
> Bis hierhin ist alles O.K.
Freut mich :)
> > III) [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> > = [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_1}[/mm]
> >
> > [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1}[/mm]
> > = [mm]\vec{0}[/mm]
>
>
> Das ist Unsinn. Was soll denn [mm]A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm]
> sein ? ?
>
> Ebenso: [mm]A\cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2}[/mm] ???
Ich habe mir Folgendes gedacht (was ich von dir hier https://matheraum.de/read?i=1044072 gelernt habe, es aber offensichtlich an falscher Stelle angewendet)
[mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} [/mm] ist ja das Skalarprodukt, also eine [mm] \vec{b_1} \ne \vec{0} [/mm] folgt [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne [/mm] 0
Aber du hast natürlich recht: ich habe gar nicht daran gedacht, dass hier die Assoziativität nicht gilt, also:
[mm] A\cdot (\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}) \in \IR^2 [/mm] aber [mm] (A\cdot \vec{b_1}) \cdot \vec{b_1} \in \IR
[/mm]
> Wir haben: [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1} = \vec{0}[/mm]
Du meinst doch: [mm] \lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] oder?
> also: [mm]A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})=\vec{0}[/mm]
>
> A ist als orthogonale Matrix invertierbar, somit folgt
Hier wäre doch meine Begründung auch richtig bzw. äquivalent zu deiner Begründung, oder?
Da [mm]A[/mm] orthogonal ist, folgt [mm] A\ne 0_{2,2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}=\vec{0}
[/mm]
> Jetzt Du.
>
> FRED
Und hier die Korrektur:
III)
[mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] | [mm] \cdot \vec{b_1}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne [/mm] 0
Oder müsste ich hier noch schreiben? (genauso für den zweiten Fall unten): da [mm] \parallel\vec{b_1}\parallel [/mm] = 1, folgt [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] | [mm] \cdot \vec{b_2}
[/mm]
[mm] \lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm] \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Da [mm] \vec{b_2} \cdot \vec{b_2} \ne [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 [mm] \Box
[/mm]
Nun müsste es doch korrekt sein, oder habe ich immer noch Denkfehler im Beweis?
Vielen Danke für die Hilfe
Viele Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Du meinst wohl: aus [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2} = \vec{0}[/mm]
> folgt [mm]\lambda_1=\lambda_2=0[/mm].
> stimmt. Es war unlogisch, was ich geschrieben habe.
>
> > Bis hierhin ist alles O.K.
> Freut mich :)
>
> > > III) [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> > > = [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1}[/mm]
> > > = [mm]\vec{0}[/mm]
> >
> >
> > Das ist Unsinn. Was soll denn [mm]A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm]
> > sein ? ?
> >
> > Ebenso: [mm]A\cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2}[/mm] ???
>
> Ich habe mir Folgendes gedacht (was ich von dir hier
> https://matheraum.de/read?i=1044072 gelernt habe, es aber
> offensichtlich an falscher Stelle angewendet)
> [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm] ist ja das Skalarprodukt, also
> eine [mm]\vec{b_1} \ne \vec{0}[/mm] folgt [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne[/mm]
> 0
>
> Aber du hast natürlich recht: ich habe gar nicht daran
> gedacht, dass hier die Assoziativität nicht gilt, also:
> [mm]A\cdot (\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}) \in \IR^2[/mm] aber [mm](A\cdot \vec{b_1}) \cdot \vec{b_1} \in \IR[/mm]
>
>
> > Wir haben: [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}\cdot \vec{b_1} = \vec{0}[/mm]
>
> Du meinst doch: [mm]\lambda_1 \cdot A\cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot A\cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm] oder?
Ja, klar. Da ist bei copy and paste etwas schiefgelaufen.
>
> > also: [mm]A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})=\vec{0}[/mm]
>
> >
> > A ist als orthogonale Matrix invertierbar, somit folgt
> Hier wäre doch meine Begründung auch richtig bzw.
> äquivalent zu deiner Begründung, oder?
> Da [mm]A[/mm] orthogonal ist, folgt [mm]A\ne 0_{2,2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}=\vec{0}[/mm]
Dass A nicht die Nullmatrix ist, reicht hier nicht !
Aus [mm]A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})=\vec{0}[/mm] folgt:
[mm] \vec{0}=A^{-1}\vec{0}=A^{-1}(A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}))=\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}.
[/mm]
Der Rest ist dann O.K.
FRED
>
> > Jetzt Du.
> >
> > FRED
>
> Und hier die Korrektur:
> III)
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_1}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm]
> = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_1}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Da [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne[/mm] 0
> Oder müsste ich hier noch schreiben? (genauso für den
> zweiten Fall unten): da [mm]\parallel\vec{b_1}\parallel[/mm] = 1,
> folgt [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_1} \ne[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1} +\lambda_2 \cdot \vec{b_2}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm] | [mm]\cdot \vec{b_2}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 \cdot \vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm] + [mm]\lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2}[/mm]
> = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Da aus der Voraussetzung 1) folgt: [mm]\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}[/mm]
> = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_2 \cdot \vec{b_2} \cdot \vec{b_2}[/mm] =
> [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Da [mm]\vec{b_2} \cdot \vec{b_2} \ne[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_2[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0 [mm]\Box[/mm]
>
> Nun müsste es doch korrekt sein, oder habe ich immer noch
> Denkfehler im Beweis?
>
> Vielen Danke für die Hilfe
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mo 08.12.2014 | | Autor: | asg |
> > Aber du hast natürlich recht: ich habe gar nicht daran gedacht, dass hier die Assoziativität nicht gilt, also:
> > [mm]A\cdot (\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}) \in \IR^2[/mm]
Hier hatte ich einen Tippfehler.
[mm] A\cdot (\vec{b_1} \cdot \vec{b_1}) \in \IR^{2 \times 2}
[/mm]
> Ja, klar. Da ist bei copy and paste etwas schiefgelaufen.
Das dachte ich mir, aber da ich mir immer noch nicht sicher bin beim Beweisen, fragte ich nochmals.
> Dass A nicht die Nullmatrix ist, reicht hier nicht !
Ach ja stimmt, jetzt kann ich es auch nachvollziehen.
> Aus [mm]A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})=\vec{0}[/mm]
> folgt:
>
> [mm]\vec{0}=A^{-1}\vec{0}=A^{-1}(A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}))=\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}.[/mm]
Ok, hier kommt die Assoziativität ins Spiel, d. h.
[mm]A^{-1}(A(\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})) \Leftrightarrow (A^{-1} \cdot A) \cdot (\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2})[/mm]
und da [mm]A^{-1} \cdot A = I_2[/mm] bleibt übrig:
[mm] \vec{0}=\lambda_1 \vec{b_1}+\lambda_2 \vec{b_2}
[/mm]
> Der Rest ist dann O.K.
>
> FRED
Danke vielmals für die nochmalige Erklärung und deine Zeit.
Viele Grüße
Asg
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