Beweis: Ausdruck reell < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 25.05.2011 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle [mm] a,b,c,d \in \IC [/mm] mit [mm] a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c} [/mm] gilt:
[mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
mein Ansatz ist folgender:
Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form a+ib sein und damit muss alles, was hinter dem i steht, wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
(Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der Überlegung nicht mehr.)
Da man über d nichts weiß, muss also
[mm] Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) [/mm] 0 werden.
Allgemein gilt für [mm] Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z}) [/mm]
hier also:
[mm] \frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b) [/mm]
Das müsste jetzt irgendwie 0 werden - wahrscheinlich mit den gleichen Längen - ich weiß aber leider nicht wie.
Danke im Voraus, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mi 25.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
>
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> mein Ansatz ist folgender:
> Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form a+ib
> sein und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> Überlegung nicht mehr.)
>
> Da man über d nichts weiß, muss also
> [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0 werden.
>
> Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]
> hier also:
>
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
Hallo,
[mm] c\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{c}b [/mm] haben den gleichen Betrag - klar?
Nun ist [mm] Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b) [/mm] und
[mm] Arg(\overline{c}b [/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
[mm] c\overline{b} [/mm] - [mm] \overline{c}b [/mm] ist somit die Differenz zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen Realteile auf; sie ist rein imaginär.
(Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare [mm] a\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{a}b [/mm] bzw. [mm] c\overline{a} [/mm] und [mm] \overline{c}a [/mm] ).
Der Term [mm] (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b) [/mm] ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i wird er reell.
Gruß Abakus
>
> Das müsste jetzt irgendwie 0 werden - wahrscheinlich mit
> den gleichen Längen - ich weiß aber leider nicht wie.
>
> Danke im Voraus, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Do 26.05.2011 | | Autor: | SusanneK |
> > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
>
> >
> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Hallo,
> > mein Ansatz ist folgender:
> > Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form
> a+ib
> > sein und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > Überlegung nicht mehr.)
> >
> > Da man über d nichts weiß, muss also
> > [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> werden.
> >
> > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]
> > hier also:
> >
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> Hallo,
> [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen Betrag
> - klar?
> Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
> [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
> Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> Realteile auf; sie ist rein imaginär.
> (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm] bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> [mm]\overline{c}a[/mm] ).
> Der Term
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> wird er reell.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
vielen Dank für deine Hilfe !
Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag haben, ist mir nicht klar:
[mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
[mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
Oder mache ich hier etwas falsch ?
Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor [mm] i(c\overline{c}-d\overline{d}) [/mm] bestehen und damit ist der komplette Ausdruck immer noch nicht reell.
LG und danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
> >
> > >
> > >
> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> > >
> > > Hallo,
> > > mein Ansatz ist folgender:
> > > Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der
> Form
> > a+ib
> > > sein und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > > Überlegung nicht mehr.)
> > >
> > > Da man über d nichts weiß, muss also
> > > [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> > werden.
> > >
> > > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]
> > > hier also:
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > Hallo,
> > [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen
> Betrag
> > - klar?
> > Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
> > [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
> > Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> > [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> > zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> > entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> > Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> > Realteile auf; sie ist rein imaginär.
> > (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> > [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm] bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> > [mm]\overline{c}a[/mm] ).
> > Der Term
> >
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> > wird er reell.
> > Gruß Abakus
>
> Hallo Abakus,
> vielen Dank für deine Hilfe !
>
> Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag
> haben, ist mir nicht klar:
> [mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
> [mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
> Oder mache ich hier etwas falsch ?
Ja. [mm](2-i)(-1+i) \ne (-1-i)[/mm] Rechne nochmal nach.
FRED
>
> Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das
> verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der
> Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor
> [mm]i(c\overline{c}-d\overline{d})[/mm] bestehen und damit ist der
> komplette Ausdruck immer noch nicht reell.
>
> LG und danke, Susanne.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Do 26.05.2011 | | Autor: | SusanneK |
> > > > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > > > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
> > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> > > >
> > > > Hallo,
> > > > mein Ansatz ist folgender:
> > > > Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der
> > Form
> > > a+ib
> > > > sein und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > > > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > > > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > > > Überlegung nicht mehr.)
> > > >
> > > > Da man über d nichts weiß, muss also
> > > > [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> > > werden.
> > > >
> > > > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]
> > > > hier also:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > > Hallo,
> > > [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen
> > Betrag
> > > - klar?
> > > Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
> > > [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= -
> (Arg(c)-Arg(b))
> > > Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> > > [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> > > zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> > > entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> > > Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> > > Realteile auf; sie ist rein imaginär.
> > > (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> > > [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm] bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> > > [mm]\overline{c}a[/mm] ).
> > > Der Term
> > >
> >
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > > ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> > > wird er reell.
> > > Gruß Abakus
> >
> > Hallo Abakus,
> > vielen Dank für deine Hilfe !
> >
> > Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag
> > haben, ist mir nicht klar:
> > [mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
> > [mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
> > Oder mache ich hier etwas falsch ?
>
> Ja. [mm](2-i)(-1+i) \ne (-1-i)[/mm] Rechne nochmal nach.
[mm](2-i)(-1+i)=(-1+3i)[/mm]
Auweia, vielen Dank !
LG, Susanne.
>
> FRED
>
>
> >
> > Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das
> > verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der
> > Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor
> > [mm]i(c\overline{c}-d\overline{d})[/mm] bestehen und damit ist der
> > komplette Ausdruck immer noch nicht reell.
> >
> > LG und danke, Susanne.
> >
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