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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei X eine nichtleere Menge und (E, ||.||)ein Banachraum. Für jede Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] E setzen wir [mm] ||\phi||_\infty:=sup||\phi(x)|| \in \IR_{\ge 0}\cup \{\infty\}, [/mm] wobei x [mm] \in [/mm] X.
Zeigen Sie, dass [mm] B(X,E):=\{\phi| \phi: X \to E, ||\phi||_\infty < \infty \} [/mm] ein Banachraum bezüglich der Norm [mm] ||.||_\infty [/mm] ist. |
Guten Tag!
Es ist wieder soweit: Ich benötige Hilfe!
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist zu zeigen, dass (B(X,E), [mm] ||.||_\infty) [/mm] ein Banachraum ist.
Es sind also zwei Dinge zu zeigen:
1.(B(X,E), [mm] ||.||_\infty) [/mm] ist ein normierter Vektorraum.
2. Vollständigkeit
Zu 1.)
Man muss zeigen, dass B(X,E) ein Vektorraum ist und dass mit [mm] ||.||_\infty [/mm] eine Norm definiert ist.
Ich weiß aber nicht, wie ich das mache!
Zu 2.)
Man muss sich eine Cauchyfolge hernehmen und zeigen, dass sie konvergiert und dass der Grenzwert in B(X,E) liegt.
Auch hier komme ich nicht zurecht.
Wer kann mir helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Kann es sein, dass einfach Folgendes zu 1.) gilt?
B(X,E) ist Vektorraum, denn:
Sei [mm] \phi \in [/mm] B(X,E), so gilt: [mm] \phi(x) \in [/mm] E. Da aber (E, ||.||) Banachraum ist, ist also E ein Vektorraum und man kann die Vektorraum-Axiome für [mm] \phi [/mm] bzw. [mm] \phi(x) [/mm] anwenden.
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Hallo,
dein Beweis für den Vektorraum ist korrekt.
Prüfe nun die Normeigenschaften für die sup-Norm nach.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich versuche es:
Also, damit ich Punkt 1 abhaken kann, muss ich nun noch zeigen, dass [mm] ||.||_\infty [/mm] Norm auf B(X,E) ist. |
a)
[mm] ||\phi||_\infty= sup||\phi(x)|| \ge [/mm] 0 (=0 [mm] \gdw \phi=0)
[/mm]
b)
[mm] ||\alpha*\phi||_\infty=sup||(\alpha*\phi)(x)||=sup|\alpha|*||\phi(x)||=|\alpha|*||\phi||_\infty
[/mm]
c)
[mm] \phi,\gamma \in [/mm] B(X,E):
[mm] ||\phi+\gamma||_\infty=sup||\phi(x)+\gamma(x)||\le sup(||\phi(x)||+||\gamma(x)||)\le sup||\phi(x)||+sup||\gamma(x)||=||\phi||_\infty [/mm] + [mm] ||\gamma||_\infty
[/mm]
Ist das so korrekt und kann ich damit 1.) abhaken?
Dann bliebe jetzt noch die Vollständigkeit zu zeigen.
Da nehme ich mir nun eine beliebe Cauchy-Folge [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] und ich muss zeigen, dass sie konvergiert?
Ich bin dankbar für jedes Feedback und jeden Lösungshinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Der Ansatz ist sicherlich folgendermaßen:
Sei [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] B(X,E) eine Cauchyfolge bzgl. [mm] ||.||_\infty. [/mm] Zu [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] N_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] ||\phi_n(x)-\phi_m(x)||_\infty [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für m,n [mm] \ge N_0.
[/mm]
Doch schon hier komme ich nun nicht weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | [Zur Erinnerung: Ich muss noch die Vollständigkeit zeigen, d.h. zu zeigen ist, dass B(X,E) vollständig bezüglich [mm] ||.||_\infty [/mm] ist.]
Geht das Folgende in die richtige Richtung? Wenn nein, kann ich eine kleinen Wink bekommen, wie es zu zeigen ist? |
Sei [mm] (\phi_j)_{j \in \IN} \subset [/mm] B(X,E) beliebige Cauchyfolge. Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] X: [mm] (\phi_j (x))_{j \in \IN} [/mm] ist Cauchyfolge in E.
D.h.
[mm] ||\phi_j (x)-\phi_k(x)||\le sup||\phi_j (x)-\phi_k(x)||=||\phi_j -\phi_k||_\infty<\infty. [/mm] (Gilt das Letzte nicht, weil in der Definition von B(X,E) in der Aufgabenstellung [mm] ||\phi||_\infty<\infty [/mm] gesetzt wurde??)
D.h. es ex. ein [mm] \epsilon [/mm] >0 und ein [mm] N_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] ||\phi_j(x)-\phi_k)(x)||<\epsilon [/mm] für alle j,k [mm] \ge N_0.
[/mm]
Ist damit nicht die Konvergenz gezeigt?
Also nochmal zusammengefasst: Man macht die Cauchyfolge zu einer Cauchyfolge in E, indem man die für jedes x [mm] \in [/mm] X betrachtet und dort ist sie dann konvergent.)???
Das kommt mir arg kurz und ehrlich gesagt zu leicht und etwas abstrus vor...
Aber ein schlechter Vorschlag ist besser, als hier nur auf fertige Lösungen zu warten. 
Bitte helft mir!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Zur Erinnerung: Ich muss noch die Vollständigkeit zeigen,
> d.h. zu zeigen ist, dass B(X,E) vollständig bezüglich
> [mm]||.||_\infty[/mm] ist.]
>
> Geht das Folgende in die richtige Richtung? Wenn nein, kann
> ich eine kleinen Wink bekommen, wie es zu zeigen ist?
>
>
> Sei [mm](\phi_j)_{j \in \IN} \subset[/mm] B(X,E) beliebige
> Cauchyfolge. Dann gilt für alle x [mm]\in[/mm] X: [mm](\phi_j (x))_{j \in \IN}[/mm]
> ist Cauchyfolge in E.
Richtig.
> D.h.
>
> [mm]||\phi_j (x)-\phi_k(x)||\le sup||\phi_j (x)-\phi_k(x)||=||\phi_j -\phi_k||_\infty<\infty.[/mm]
> (Gilt das Letzte nicht, weil in der Definition von B(X,E)
> in der Aufgabenstellung [mm]||\phi||_\infty<\infty[/mm] gesetzt
> wurde??)
>
> D.h. es ex. ein [mm]\epsilon[/mm] >0 und ein [mm]N_0 \in \IN,[/mm] sodass
> [mm]||\phi_j(x)-\phi_k)(x)||<\epsilon[/mm] für alle j,k [mm]\ge N_0.[/mm]
und zwar einzeln für jedes [mm] $x\in [/mm] X$.
> Ist damit nicht die Konvergenz gezeigt?
Nein. Du verwechselst punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
Damit hast du nur, dass es für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ein Grenzwert [mm] $\Phi(x) \in [/mm] E$ der Cauchyfolge [mm] $\phi_j(x)$ [/mm] existiert, also für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ gilt
[mm] \|\phi_j(x) - \Phi(x)\| < \varepsilon [/mm] für alle $j> [mm] j_0(x)$.
[/mm]
Das [mm] $j_0(x)$ [/mm] kann im Prinzip für jedes x einen anderen Wert haben. [mm] $\Phi$ [/mm] ist der punktweise Limes der Funktionenfolge [mm] $\phi_j$.
[/mm]
Du musst nun zeigen, dass [mm] $\Phi \in [/mm] B(X,E)$ ist, also dass gilt
[mm] \|\phi_j-\Phi\|_\infty = \sup_x \{\|\phi_j(x)-\Phi(x)\|\} < \varepsilon [/mm] für alle $j > [mm] j_0$ [/mm] .
Hier hast du nur ein [mm] $j_0$, [/mm] das nicht von x abhängt.
Tipp: Benutze die Tatsache, dass [mm] $\phi_j$ [/mm] bzgl [mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] einen Grnezwert hat, um zu zeigen, dass du ein [mm] $j_0$ [/mm] für alle x angeben kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Also auf ein Neues!
Ist diese Version besser? |
Ich hoffe, dass ich diesmal den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz beachtet habe:
Sei also [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] B(X,E) eine bel. Cauchyfolge bzgl. [mm] ||.||_\infty. [/mm] Dann ex. ein [mm] \epsilon [/mm] >0 und ein [mm] N_0, [/mm] sodass [mm] ||\phi_j(x)-\phi_k(x)|| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle j [mm] \ge N_0.
[/mm]
Denn für jedes feste x [mm] \in [/mm] X bildet [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Cauchyfolge in E. Aufgrund der Vollständigkeit von (E, ||.||) konvergiert diese gegen eine Funktion [mm] \phi. [/mm] D.h. es ex. eine Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] E, die punktweise Limes von [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] ist.
Lasse ich nun in der obigen Ungleichung k [mm] \to \infty [/mm] laufen, so gilt: [mm] ||\phi_j(x)-\phi(x) \le sup(||\phi_j(x)-\phi(x)||)=||\phi_j [/mm] - [mm] \phi||_\infty [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also auf ein Neues!
> Ist diese Version besser?
>
>
>
> Ich hoffe, dass ich diesmal den Unterschied zwischen
> punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz beachtet habe:
>
> Sei also [mm](\phi_n)_{n \in \IN} \subset[/mm] B(X,E) eine bel.
> Cauchyfolge bzgl. [mm]||.||_\infty.[/mm] Dann ex. ein [mm]\epsilon[/mm] >0
> und ein [mm]N_0,[/mm] sodass [mm]||\phi_j(x)-\phi_k(x)||[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für
> alle j [mm]\ge N_0.[/mm]
>
> Denn für jedes feste x [mm]\in[/mm] X bildet [mm](\phi_n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Cauchyfolge in E. Aufgrund der Vollständigkeit von
> (E, ||.||) konvergiert diese gegen eine Funktion [mm]\phi.[/mm] D.h.
> es ex. eine Funktion [mm]\phi:[/mm] X [mm]\to[/mm] E, die punktweise Limes
> von [mm](\phi_n)_{n \in \IN}[/mm] ist.
>
> Lasse ich nun in der obigen Ungleichung k [mm]\to \infty[/mm]
> laufen, so gilt: [mm]\epsilon>||\phi_j(x)[/mm] - [mm]\phi(x)|| \ge sup||\phi_j(x)-\phi(x)||=||\phi_j-\phi||_\infty.[/mm]
Leider ist [mm] $\|\phi_j(x) [/mm] - [mm] \phi(x)\| \le \sup_x \|\phi_j(x)-\phi(x)\| [/mm] $, nicht umgekehrt.
Tipp: Wenn für alle [mm] $i,j\ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm]\varepsilon > \|\phi_j - \phi_i\|_\infty = \sup_x \|\phi_j(x) - \phi_i(x) \| [/mm],
so folgt doch, dass für alle [mm] $i,j\ge n_0$ [/mm] unabhängig von x gilt:
[mm] \varepsilon > \|\phi_j(x) - \phi_i(x) \| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:11 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Éntschuldige: Kurz, bevor Du die Frage beantwortet hattest, hatte ich Folgendes schon verändert, sodass Deine Antwort keine Reaktion mehr darauf sein konnte.
Nun Folgendes: |
[...]
Lasse ich nun in der obigen Ungleichung k [mm] \to \infty [/mm] laufen, so gilt:
[mm] ||\phi_j(x)-\phi(x)|| \le sup(||\phi_j(x)-\phi(x)||)=||\phi_j [/mm] - [mm] \phi||_\infty [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Ist das nun richtig?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:44 Sa 13.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hier eine Zusammenfassung der Fragestellung und des Beweises. Ist das so abgabewürdig?
Sei X eine nichtleere Menge und (E, ||.||) ein Banachraum. Für jede Funktion [mm] \phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] E setzen wir: [mm] ||\phi||_\infty:=sup||\phi(x)|| \in \IR_{\ge 0} \cup \{\infty\}, [/mm] wobei x [mm] \in [/mm] X.
Zeigen Sie, dass [mm] B(X,E):=\{\phi|\phi: X \to E, ||\phi||_\infty < \infty\} [/mm] ein Banachraum bezüglich der Norm [mm] ||.||_\infty [/mm] ist. |
Es sind zweierlei Dinge zu zeigen:
1.) [mm] (B(X,E),||.||_\infty) [/mm] ist normierter Vektorraum.
2.) Vollständigkeit
Zu 1.)
B(X,E) ist Vektorraum: Sei [mm] \phi \in [/mm] B(X,E), so gilt [mm] \phi(x) \in [/mm] E für alle x [mm] \in [/mm] X. Da (E,||.||) nach Voraussetzung Banachraum ist, ist E Vektorraum und somit gelten die Vektorraumaxiome für [mm] \phi [/mm] bzw. [mm] \phi(x).
[/mm]
Noch zu zeigen: [mm] ||.||_\infty [/mm] ist Norm auf B(X,E):
I.
[mm] ||\phi||_\infty =sup||\phi(x)||\ge [/mm] 0 (=0 [mm] \gdw \phi=0)
[/mm]
II.
[mm] ||\alpha*\phi||_\infty =sup||(\alpha*\phi)(x)||=sup|\alpha|*||\phi(x)||=|\alpha|*||\phi||_\infty
[/mm]
III.
[mm] ||\phi+\gamma||_\infty =sup||\phi(x)+\gamma(x)|| \le sup(||\phi(x)||+||\gamma(x)||) \le sup||\phi(x)||+sup||\gamma(x)||=||\phi||_\infty [/mm] + [mm] ||\gamma||_\infty, [/mm] wobei [mm] \phi,\gamma \in [/mm] B(X,E).
Zu 2.)
Sei [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] beliebige Cauchyfolge in B(X,E). Dann ex. ein [mm] N_0 \in \IN [/mm] und ein [mm] \epsilon [/mm] >0, sodass (*) [mm] ||\phi_a(x)-\phi_b(x)||<\epsilon [/mm] für alle a,b [mm] \ge N_0, [/mm] denn für jedes feste x [mm] \in [/mm] X ist [mm] (\phi_n(x))_{n \in \IN} [/mm] Cauchyfolge in E.
[mm] \Rightarrow [/mm] Es ex. eine Funktion [mm] \delta: [/mm] X [mm] \to [/mm] E, die punktweise Limes von [mm] (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] ist.
Lässt man b [mm] \to \infty [/mm] laufen in (*), so gilt:
[mm] ||\phi_a(x)-\delta(x)|| \le sup(||\phi_a(x)-\delta(x)||)=||\phi_a-\delta||_\infty [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\phi_n)_{n \in \IN} [/mm] kovergiert und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\phi_n)_{n \in \IN} \in [/mm] B(X,E)
Insgesamt folgt aus 1.) und 2.) die Behauptung. [mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe die Frage nochmals gesondert gestellt und dort wurde sie mir bereits beantwortet. D.h. es ist nicht mehr nötig, auf diese Frage zu antworten. Da ich nicht weiß, wie man eine Frage als "erledigt" markiert, genügt hoffentlich diese Mitteilung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 So 14.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Die Antwort auf diese Frage ist nicht mehr nötig, da ich an anderer Stelle eine Antwort bekommen habe.
Danke an die Helfenden!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich versuche es:
>
> Also, damit ich Punkt 1 abhaken kann, muss ich nun noch
> zeigen, dass [mm]||.||_\infty[/mm] Norm auf B(X,E) ist.
> a)
>
> [mm]||\phi||_\infty= sup||\phi(x)|| \ge[/mm] 0 (=0 [mm]\gdw \phi=0)[/mm]
>
> b)
>
> [mm]||\alpha*\phi||_\infty=sup||(\alpha*\phi)(x)||=sup|\alpha|*||\phi(x)||=|\alpha|*||\phi||_\infty[/mm]
>
> c)
>
> [mm]\phi,\gamma \in[/mm] B(X,E):
> [mm]||\phi+\gamma||_\infty=sup||\phi(x)+\gamma(x)||\le sup(||\phi(x)||+||\gamma(x)||)\le sup||\phi(x)||+sup||\gamma(x)||=||\phi||_\infty[/mm]
> + [mm]||\gamma||_\infty[/mm]
>
>
> Ist das so korrekt und kann ich damit 1.) abhaken?
Ja. Du hast die drei Eigenschaften einer Norm gezeigt.
Viele Grüße
Rainer
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