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Forum "Analysis des R1" - Beweis Betragsungleichung
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Beweis Betragsungleichung: Ungleichung mit 3 Beträgen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 So 22.04.2012
Autor: silfide

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] |a+b|+|a-b|\ge|a|+|b| [/mm]
Hinweise: Zeige dafür zuerst, dass [mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}| [/mm]

Hallo,

mich quält es einfach, dass ich hier nicht weiterkomme.
Um überhaupt erst einmal anzufangen, habe ich versucht den Hinweis zu beachten und [mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}| [/mm] zu beweisen.

Der erste Versuch war mit Fallunterscheidung, wobei ich nicht weitergekommen bin, weil ich nicht wusste, was mir das sagen soll und vermutlich habe ich auch einen Fehler gemacht - deshalb erste Frage, kann man das machen??
-x<0
-x*-1<0*-1
x>0


So, da ich damit nicht weitergekommen bin, habe ich es mit [mm] |x|=\wurzel{x^2} [/mm] versucht und folgendes kam raus:

[mm] |a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}| [/mm]
[mm] \wurzel{a^2}\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2} [/mm]
[mm] \wurzel{a^2}^2\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}^2+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}^2 [/mm]
[mm] a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2 [/mm]
[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2} [/mm]
[mm] \wurzel{a^2}\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}} [/mm]
[mm] |a|\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}} [/mm]

Irgendwie erschein es mir unstimmig, weshalb ich zur Probe a=3 und b=5 in die unterste Zeile einsetzte. Ergebnis war [mm] 3\le2 [/mm] und [mm] -3\le [/mm] 2

Die Fragezeichen auf meiner Stirn sind riesig.

Was mache ich falsch und was wäre besser??

Silfide

P.S. Für Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.

        
Bezug
Beweis Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 So 22.04.2012
Autor: abakus


> Zeigen Sie, dass für a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt:
>  [mm]|a+b|+|a-b|\ge|a|+|b|[/mm]
>  Hinweise: Zeige dafür zuerst, dass [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> mich quält es einfach, dass ich hier nicht weiterkomme.
>  Um überhaupt erst einmal anzufangen, habe ich versucht
> den Hinweis zu beachten und [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
> zu beweisen.
>  
> Der erste Versuch war mit Fallunterscheidung, wobei ich
> nicht weitergekommen bin, weil ich nicht wusste, was mir
> das sagen soll und vermutlich habe ich auch einen Fehler
> gemacht - deshalb erste Frage, kann man das machen??
>   -x<0
>  -x*-1<0*-1
>  x>0
>  
>
> So, da ich damit nicht weitergekommen bin, habe ich es mit
> [mm]|x|=\wurzel{x^2}[/mm] versucht und folgendes kam raus:
>  
> [mm]|a|\le |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}|+|\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{a^2}^2\le\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}^2+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}^2[/mm]

Hallo,
wenn du eine Summe quadrierst, musst du das mit der binomischen Formel tun.
Auf der rechten Seite fehlt dir der Summand [mm]\red{+2*\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}}[/mm].
Gruß Abakus

>  
> [mm]a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2[/mm]
>  [mm]a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}[/mm]
>  [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}[/mm]
>  [mm]|a|\le\wurzel{\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}}[/mm]
>  
> Irgendwie erschein es mir unstimmig, weshalb ich zur Probe
> a=3 und b=5 in die unterste Zeile einsetzte. Ergebnis war
> [mm]3\le2[/mm] und [mm]-3\le[/mm] 2
>  
> Die Fragezeichen auf meiner Stirn sind riesig.
>  
> Was mache ich falsch und was wäre besser??
>  
> Silfide
>  
> P.S. Für Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.


Bezug
                
Bezug
Beweis Betragsungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 So 22.04.2012
Autor: silfide


>  Hallo,
>  wenn du eine Summe quadrierst, musst du das mit der
> binomischen Formel tun.
>  Auf der rechten Seite fehlt dir der Summand
> [mm]\red{+2*\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}}[/mm].
>  Gruß Abakus

Hallo Abakus, wieso quadiere ich eine Summe? Ich quadiere doch die Wurzel um diese zu elimieren - anderes habe ich es auch nicht in meinen Nachschlagewerken oder Wikipedia gefunden. Kannst du mir das erklären?

Silfide


Nachtrag: okay, ich weiß jetzt was du meinst - ich muss die gesamte rechte Seite quadieren und nicht nur die einzelnen Teile. Melde mich nochmal, wenn ich es nachvollzogen habe. Danke



Nachtrag 2

Wie bereits erwähnt, habe ich Abakus Hinweis nochmal nachvollzogen und bin nun neugierig, ob ich es richtig gemacht habe.

[mm] \wurzel{a^2}^2\le(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}+\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2})^2 [/mm]

[mm] a^2\le(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2+2*(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2})+(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2 [/mm]

[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\wurzel{(\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2}*\wurzel{(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2}) [/mm]

[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*((\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2})^2)^{\bruch{1}{2}}*(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm]

[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*((\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}))*(\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2})) [/mm]


[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\bruch{a}{4}+\bruch{a}{2}*-\bruch{b}{2}+\bruch{b}{2}*\bruch{a}{2}-\bruch{b}{4}) [/mm]

[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+2*(\bruch{a}{4}-\bruch{b}{4}) [/mm]

[mm] a^2\le\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2} [/mm]

[mm] a^2\le [/mm] a

|a| [mm] \le \wurzel{a} [/mm]

Ist das richtig??

Silfide

Bezug
                        
Bezug
Beweis Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:57 Mo 23.04.2012
Autor: leduart

Hallo
da sind so viele fehlende Quadrate rechts, dass man nicht mehr korrigieren kann!
mach lieber die fallunterscheidungen, dabei kannst du jeweils [mm] a\le [/mm] b oder ungekehrt verwenden, Fälle a,b>0 a,b<0 a<0,b>0
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Beweis Betragsungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mo 23.04.2012
Autor: fred97

Ohne quadrieren, ohne Wurzeln und ohne Fallunterscheidung:

         $|a|= [mm] |\bruch{a}{2}+\bruch{b}{2}+\bruch{a}{2}-\bruch{b}{2}|$. [/mm]

Jetzt Dreiecksungl.

FRED

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