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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mo 26.04.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | | Sei A die darstellende Matrix einer Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf einem endlichdimensionalen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] V. Zeige, dass [mm] \beta [/mm] genau dann nicht entartet ist, wenn [mm] det(A)\not= [/mm] 0 git. |
Hallo!
Mir fehlt bei obiger Aufgabe leider ein Ansatz...
Also ich weiß, dass [mm] det(A)\not=0 [/mm] äquivalent zu "A ist invertierbar" ist.
"Nicht entartet" heißt, dass nur für v=0 [mm] \beta(v,w)=0 [/mm] für alle w ist.
Die Einträge in der Matrix A sind ja [mm] a_{ij}=\beta(b_i,b_j) [/mm] für eine Basis [mm] B=(b_1,...,b_n) [/mm] von V.
Nur fehlt mir die Fähigkeit aus diesen Zusammenhängen etwas Brauchbares herauszufiltern...
Kann mit jemand einen Tipp geben?
Viele Grüße von mathiko
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Hallo mathiko,
eine Möglichkeit ist es, den Spaltenvektorraum zu betrachten. Wenn wir mit [mm] $(s_1,\ldots,s_n)$ [/mm] das $n$-Tupel der Spalten der Matrix $A$ bezeichnen, dann bedeutet $det(A) = 0$, dass eine nicht-triviale Relation [mm] $\sum_i k_i s_i [/mm] = 0$, [mm] ($k_i \in \IK$) [/mm] existiert. Entartung für [mm] $\beta$ [/mm] bedeutet, dass es einen Vektor [mm] $v\not=0$ [/mm] gibt mit [mm] $\beta(v,w) [/mm] = 0$ für alle [mm] $w\in [/mm] V$. Drückt man das in der Basis [mm] $(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] aus, so bekommt man einen Zusammenhang mit einer Spaltenrelation. Reicht das als Tipp?
Gruß mathfunnel
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