Beweis Binomischeformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Abend/Morgen zusammen,
Ich sitze schon die ganze Nacht an dem Induktionsbeweis zur Binomischen Formel und komme mit meinen Mittschriften kaum zu was.
bei folgendem Schritt hänge ich:
... = [mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k+1} b^{n-k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k} b^{n-k+1}
[/mm]
bis hier war alles klar
= [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\pmat{ [red]n[/red] \\ k-1 } a^{k+1-1} b^{n-(k-1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k} b^{n-k+1}
[/mm]
mir ist das vorgehen soweit denke ich klar, man startet die summe anstatt bei k=0 jetzt bei 1 und endet bei n+1...also wird die ganze Zahlenreihe die eingesetzt wird quasi einen nach "hinten" verschoben. Damit das an den Ergebnissen nichts ändert wird dann in der Formel alles wieder umgekehrt. Aber wieso wirkt sich das "verschieben" nicht auf das (eigentlich) rot markierte n nicht aus? Müsste da nicht n-1 über k-1 stehen?
Besten Danke für die Hilfe
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:28 Do 05.11.2009 | | Autor: | Nelly12345 |
http://www.mathepedia.de/Binomischer_Satz.aspx
der Satz wird auch hier genau so bewiesen wie bei mir im Script. Da häng ich genau an der gleichen Stelle.
Umformung von Zeile 7 auf 8 (Zeile 1 ist "Die Behauptung....")
|
|
|
| |
|
> Abend/Morgen zusammen,
>
> Ich sitze schon die ganze Nacht an dem Induktionsbeweis zur
> Binomischen Formel und komme mit meinen Mittschriften kaum
> zu was.
>
> bei folgendem Schritt hänge ich:
>
> ... = [mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k+1} b^{n-k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k} b^{n-k+1}[/mm]
>
> bis hier war alles klar
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\pmat{ \red{ n}\\ k-1 } a^{k+1-1} b^{n-(k-1)}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k} b^{n-k+1}[/mm]
>
> mir ist das vorgehen soweit denke ich klar, man startet die
> summe anstatt bei k=0 jetzt bei 1 und endet bei n+1...also
> wird die ganze Zahlenreihe die eingesetzt wird quasi einen
> nach "hinten" verschoben. Damit das an den Ergebnissen
> nichts ändert wird dann in der Formel alles wieder
> umgekehrt. Aber wieso wirkt sich das "verschieben" nicht
> auf das (eigentlich) rot markierte n nicht aus? Müsste da
> nicht n-1 über k-1 stehen?
Hallo,
nein.
Das rote n ist ja eine feste Zahl, welche mit dem Summationsindex nichts zu tun hat, außer daß die Summation "zufällig" von 0 bis n bzw. von 1 bis n+1 ausgeführt wird.
Wenn Du die beiden Summen mal ausschreibst, wird es augenfällig:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } a^{k+1} b^{n-k}=\pmat{ n \\ 0 } a^{0+1} b^{n-0}+\pmat{ n \\ 1 } a^{1+1} b^{n-1}+\pmat{ n \\ 2 } a^{2+1} b^{n-2}+ [/mm] ... + [mm] \pmat{ n \\ n } a^{n+1} b^{n-n}
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\pmat{ \red{ n}\\ k-1 } a^{k+1-1} b^{n-(k-1)}= \pmat{n\\ 1-1 } a^{1+1-1} b^{n-(1-1)} +\pmat{ n\\ 2-1 } a^{2+1-1} b^{n-(2-1)}+ [/mm] ... + [mm] \pmat{ n\\ n+1-1 } a^{n+1+1-1} b^{n-(n+1-1)}$
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
