Beweis Boolscher Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Vectro |
Hallo, ich habe meine Zweifel bezüglich einer Aufgabe...
Ein Ring (B,+, ·) mit Einselement heißt Boolescher Ring, wenn für
alle Elemente [mm]a\not=0 [/mm] gilt [mm] a \cdot a=a[/mm] (solche Elemente heißen Idempotent). Zeigen Sie: für alle a,b aus B gilt: a·b=b·a
so weit hab ich 2 mögliche Lösungen bin mir aber nicht sicher, welche bzw. ob überhaupt eine, richtig ist.
1.
[mm]a \cdot a=a \Rightarrow (a+b)\cdot(a+b)=(a+b) [/mm]
[mm]a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b= (a+b)[/mm]
[mm]a + a \cdot b + b \cdot a + b = (a+b) [/mm]
[mm](a+b) + a \cdot b + b \cdot a = (a+b) [/mm]
[mm]a \cdot b + b \cdot a = 0 [/mm]
[mm]a \cdot b + a \cdot b + b \cdot a = a \cdot b [/mm]
[mm]\Rightarrow b \cdot a = a \cdot b [/mm]
Zum letzten Schritt muss man sagen, dass ich a+a=0 bereits eine Aufgabe vorher bewiesen habe.
2.
dazu muss man sagen das ich davon nicht sehr überzeugt bin...
[mm] a \cdot 1 = a[/mm]
[mm] a \cdot a = a[/mm]
[mm] \rightarrow a=1[/mm]
[mm]a \cdot b= a \cdot b \rightarrow a \cdot b = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b \cdot a = 1 \cdot b \cdot a = b \cdot a[/mm]
Dazu muss man sagen das Lösung. 2 die eines Komilitonen ist, der meinte meine 1. Lösung sei falsch... womit mit er mich völlig verwirrt hat.
Ich wäre für Antworten sehr dankbar.
MfG Axel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 19.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> 1.
> [mm]a \cdot a=a \Rightarrow (a+b)\cdot(a+b)=(a+b)[/mm]
> [mm]a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b= (a+b)[/mm]
>
> [mm]a + a \cdot b + b \cdot a + b = (a+b)[/mm]
> [mm](a+b) + a \cdot b + b \cdot a = (a+b)[/mm]
>
> [mm]a \cdot b + b \cdot a = 0[/mm]
> [mm]a \cdot b + a \cdot b + b \cdot a = a \cdot b[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b \cdot a = a \cdot b[/mm]
>
> Zum letzten Schritt muss man sagen, dass ich a+a=0 bereits
> eine Aufgabe vorher bewiesen habe.
dieser beweis ist meiner meinung nach völlig korrekt.
> 2.
>
> dazu muss man sagen das ich davon nicht sehr überzeugt
> bin...
>
> [mm]a \cdot 1 = a[/mm]
> [mm]a \cdot a = a[/mm]
> [mm]\rightarrow a=1[/mm]
warum sollte das denn gelten? $a$ muss im allgemeinen nicht invertierbar sein. damit wäre ja auch gezeigt, dass der ring nur $0$ und $1$ enthalten würde, was aber im allgemeinen nicht der fall ist.
> Dazu muss man sagen das Lösung. 2 die eines Komilitonen
> ist, der meinte meine 1. Lösung sei falsch... womit mit er
> mich völlig verwirrt hat.
aus welchem grund meinte denn dein komilitone, dass deine lösung falsch wäre?
grüße
andreas
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