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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mo 02.01.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Berechne folgende Determinante in Abhängigkeit von a,b (ungleich 0) und n (>0):
[mm] det(A_{n})=det\pmat{ a & b & b &... & b \\ b & a & b & ... & b \\ b & b & a & .. & b} [/mm] |
Bin mir nicht so ganz sicher, wie ich die Aufgabenstellung (Matrix) am besten eingeben soll . Es steht also überall ein ,,b'' und in der Diagonale ein a. Die Matrix ist natürlich ,,unendlich groß''
Ich hab zunächst die det für n=2 und n= 3 ausgerechnet und komme auf:
für n=2
[mm] det(A_{2})=(a-b)(a+b)
[/mm]
für n=3
[mm] det(A_{3})=a^{3}+2b^{3}-3ab^{2}=(a-b)^{2}(a+2b)
[/mm]
--> Hieraus hab ich dann versucht eine allgemeingültige Formel abzulesen:
[mm] det(A_{n})=(a-b)^{n-1}(a+(n-1)b).
[/mm]
Jetzt will ich beweisen , dass dies wirklich eine allgemeingültige Formel ist und zwar mit Vollständiger Induktion (ist das überhaupt möglich?).
Der Induktionsanfang für n=2 ist klar.
Bei der Induktionsvorraussetzug schreibe ich die Ausgangsmatrix gleich der Formel von [mm] det(A_{n}) [/mm] hin.
Jedoch ist mir der Induktionsschritt von n auf n+1 schleierhaft..
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mo 02.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Berechne folgende Determinante in Abhängigkeit von a,b
> (ungleich 0) und n (>0):
> [mm]det(A_{n})=det\pmat{ a & b & b &... & b \\ b & a & b & ... & b \\ b & b & a & .. & b}[/mm]
>
> Bin mir nicht so ganz sicher, wie ich die Aufgabenstellung
> (Matrix) am besten eingeben soll . Es steht also überall
> ein ,,b'' und in der Diagonale ein a. Die Matrix ist
> natürlich ,,unendlich groß''
>
> Ich hab zunächst die det für n=2 und n= 3 ausgerechnet
> und komme auf:
> für n=2
> [mm]det(A_{2})=(a-b)(a+b)[/mm]
> für n=3
> [mm]det(A_{3})=a^{3}+2b^{3}-3ab^{2}=(a-b)^{2}(a+2b)[/mm]
>
> --> Hieraus hab ich dann versucht eine allgemeingültige
> Formel abzulesen:
> [mm]det(A_{n})=(a-b)^{n-1}(a+(n-1)b).[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt will ich beweisen , dass dies wirklich eine
> allgemeingültige Formel ist und zwar mit Vollständiger
> Induktion (ist das überhaupt möglich?).
Moeglich ist das, hier geht es aber einfacher ohne.
Mache erst eine Fallunterscheidung:
a) $a = b$ -- der Fall ist einfach
b) $a [mm] \neq [/mm] b$. In dem Fall zieh die letzte Zeile von allen anderen ab. Danach sieht die Matrix viel einfacher aus. Benutze die ersten $n-1$ Zeilen, um die letzte Zeile auch zu vereinfachen. Danach hast du eine Diagonalmatrix und kannst die Determinante hinschreiben.
LG Felix
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Hallo Felix,
ich scheine in der gleichen Vorlesung wie der Fragesteller zu sitzen.
Deine Tips waren schonmal sehr nützlich. Nur krieg ich dauernd [mm] (a-b)^{n+1} [/mm] statt [mm] (a-b)^{n-1} [/mm] raus.
Wie beschrieben zieh ich zuerst die letzte Zeile von allen anderen ab. Anschließend will ich die ersten (n-1) Elemente der letzten Zeile nullen. Dazu multipliziere ich zuerst diese Zeile mit (a-b).
Ich erhalte also:
[mm] \pmat{ a-b & 0 & 0 & ... & b-a \\ 0 &a-b & 0 & ... & b-a \\ ... & ...&...&...&...\\ b(a-b) & b(a-b) &b(a-b) & ... &a(a-b) }
[/mm]
Nun noch jeweils das b-fache der ersten (n-1) Zeilen von der letzten abziehen:
[mm] \pmat{ a-b & 0 & 0 & ... & b-a \\ 0 &a-b & 0 & ... & b-a \\ ... & ...&...&...&...\\
0&0&0&...& a(a-b)-b(n-1)(b-a)}
[/mm]
Nun ist die Matrix in Dreiecksform.
Für die Determinante erhalte ich:
[mm] (a-b)^{n-1}*(a(a-b)-(n-1)*b(b-a))*(a-b)=(a-b)^{n+1}*(a+(n-1)*b)
[/mm]
Vor dem Gleicheitszeichen kommt der erste Term von den ersten (n-1)-Diagonaleneinträgen , der zweite vom letzten Diag.eintrag und der dritte von der Multiplikation der letzten Zeile mit (a-b) (bei der Umformung).
Ich wäre sehr froh, wenn mich jemand über meinen Fehler aufklären könnte.
Ein Frohes Neues Jahr
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moin MPStudent,
Du multiplizierst deine letzte Zeile mit (a-b).
Dann musst du, um die richtige Determinante zu erhalten, die erhaltene Determinante durch (a-b) teilen.
Die richtige Formel für die Determinante wäre also
$ [mm] (a-b)^{n-1}\cdot{}(a(a-b)-(n-1)\cdot{}b(b-a))\red{/}(a-b)$
[/mm]
Damit dürfte sich dein Problem in Luft aufgelöst haben. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mo 02.01.2012 | | Autor: | MPStudent |
Vielen Dank.
Ich habe den Artikel auf Wikipedia in einem Punkt missverstanden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | rollroll |
ich habe die umformungen ja soweit verstanden, mir ist aber immernoch unklar, wie man von $ [mm] (a-b)^{n-1}\cdot{}(a(a-b)-(n-1)\cdot{}b(b-a))\cdot{}(a-b)=(a-b)^{n+1}\cdot{}(a+(n-1)\cdot{}b) [/mm] $ auf die gewünschte Formel kommt, wenn man [mm] (a-b)^{n+1}\cdot{}(a+(n-1)\cdot{}b) [/mm] durch (a-b) dividiert, erhält man doch [mm] (a-b)^{n} [/mm] * ... und nicht [mm] (a-b)^{n-1} [/mm] * ... ??
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Der Punkt ist, dass man nicht mit (a-b) multiplizieren sondern dadurch dividieren muss.
Also:
> [mm][mm] (a-b)^{n-1}\cdot{}(a(a-b)-(n-1)\cdot{}b(b-a))\red{/}(a-b)
[/mm]
Dadurch fallen gleich zwei Potenzen weg, eine dadurch, dass man es nicht mehr ran multipliziert und eine weitere dadurch, dass man nun durch teilt.
lg
Schadow
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