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Hallo alle zusammen,
ich soll folgendes beweisen und habe schon viel rumprobiert, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen. habe auch schon ein paar bEispiele durchgerechnet udn es scheint zu stimmen.
Vorraussetzung: Seien A und B symmetrische Matrizen (A = [mm] A^{T} [/mm] , B = [mm] B^{T} [/mm] ) und 0 [mm] \le [/mm] A [mm] \le [/mm] B
Behauptung: det(A) [mm] \le [/mm] det(B)
Die Sache wäre ziemlich einfach wenn es sich um Dreiecksmatrizen handeln würde, was hier leider nicht der fall ist.
Ich komme einfach nicht drauf. Würde mich freuen wenn jemand einen Tipp für mich hat.
Viele Grüße, Liane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo alle zusammen,
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> ich soll folgendes beweisen und habe schon viel
> rumprobiert, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen. habe
> auch schon ein paar bEispiele durchgerechnet udn es scheint
> zu stimmen.
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> Vorraussetzung: Seien A und B symmetrische Matrizen (A =
> [mm]A^{T}[/mm] , B = [mm]B^{T}[/mm] ) und 0 [mm]\le[/mm] A [mm]\le[/mm] B
Wie soll ich diese Relation verstehen? Jeer einzelne Eintrag verglichen?
>
> Behauptung: det(A) [mm]\le[/mm] det(B)
>
Also wenn das pro Eintrag verglichen wird, hab ich nn Gegenbeispiel:
$ [mm] \det [/mm] A = [mm] \det \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1} [/mm] = 1$
aber:
$ [mm] \det [/mm] B = [mm] \det \pmat{0&0\\ 0 & 0 } [/mm] = 0$
Vielleciht sagst du mal, wie ihr diese Relation definiert habt.
Gruß Micha 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Micha!
> > Vorraussetzung: Seien A und B symmetrische Matrizen (A =
> > [mm]A^{T}[/mm] , B = [mm]B^{T}[/mm] ) und 0 [mm]\le[/mm] A [mm]\le[/mm] B
>
> Wie soll ich diese Relation verstehen? Jeer einzelne
> Eintrag verglichen?
Ja, so kann es eigentlich nur gemeint sein.
> > Behauptung: det(A) [mm]\le[/mm] det(B)
> >
> Also wenn das pro Eintrag verglichen wird, hab ich nn
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]\det A = \det \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1} = 1[/mm]
[mm] $0\le [/mm] A$
Viele Grüße,
Marc
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Da hab ich wohl vergessen noch etwas zu erklären. Entschudigt bitte!
Leider habt ihr mit der Interpretation nicht ganz recht.
Wenn die Matrix A kleiner gleich B, ist, ist die Spur von A kleiner gleich der Spur von B. (Das haben wir auch bereits bewiesen) Den werd ich mir nochmal anschauen und mich nochmal ransetzen.
A [mm] \le [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] spur[A] [mm] \le [/mm] spur[B]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Aber dies ist doch nur eine Folgerung, nicht die Definition, oder?
Die Definition dürfe doch (wie üblich) komponentenweise zu verstehen sein. Am besten wird sein, du stellst die exakte Definition von $A [mm] \le [/mm] B$ sowie den Beweis der Folgerung mal ins Forum.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Sa 11.06.2005 | | Autor: | mathedman |
> Vorraussetzung: Seien A und B symmetrische Matrizen (A =
> [mm]A^{T}[/mm] , B = [mm]B^{T}[/mm] ) und 0 [mm]\le[/mm] A [mm]\le[/mm] B
>
> Behauptung: det(A) [mm]\le[/mm] det(B)
>
> Die Sache wäre ziemlich einfach wenn es sich um
> Dreiecksmatrizen handeln würde, was hier leider nicht der
> fall ist.
A und B sind diagonalisierbar. Vielleicht könnte man das so in Angriff nehmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 So 12.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, solange ich nicht gesagt bekomme, wie $0 [mm] \le [/mm] A [mm] \le [/mm] B$ zu verstehen ist, muss ich davon ausgehen, dass es -wie üblich- komponentenweise zu verstehen ist. Dann aber ist die Aussage offenbar falsch, wie das Gegenbeispiel
[mm] $\det \pmat{1 & 1 \\ 1 & 1} [/mm] = 0 > -3 = [mm] \det \pmat{1 & 2 \\ 2 & 1}$
[/mm]
lehrt. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich denke mal das war auch vorher schon jedem klar, aber ich habe es jetzt einfach mal aufgeschrieben.
Viele Grüße
Stefan
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Da hat Stefan schon recht. Nur leider habe ich keine Definition zu [mm]0 \le A \le B[/mm]. Ich bin dem aber auf der Spur und haben meinen alten Algebra Dozenten um Hilfe gebeten. Zusätzlich denke ich nicht, dass die Aussage falsch ist. Sowie ich mehr weiß, werde ich es euch wissen lassen.
Viele Grüße und vielen DAnk für die Hinweise
Liane
> Hallo!
>
> Also, solange ich nicht gesagt bekomme, wie [mm]0 \le A \le B[/mm]
> zu verstehen ist, muss ich davon ausgehen, dass es -wie
> üblich- komponentenweise zu verstehen ist. Dann aber ist
> die Aussage offenbar falsch, wie das Gegenbeispiel
>
> [mm]\det \pmat{1 & 1 \\ 1 & 1} = 0 > -3 = \det \pmat{1 & 2 \\ 2 & 1}[/mm]
>
> lehrt.
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> Ich denke mal das war auch vorher schon jedem klar, aber
> ich habe es jetzt einfach mal aufgeschrieben.
>
> Viele Grüße
> Stefan
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Hallo alle miteinander, hallo stefan,
hier nun die angeforderte Definition. DAmit wäre das thema doch wieder im Gespräch ;)
A [mm] \le [/mm] B [mm] \gdw c^{T}*A*c \le c^{T}*B*c [/mm] für alle c [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
ich habe versucht das irgendwie in die Berechnugn von Determinanten mit einzubringen. Aber noch ist es mir nicht geglückt.
det A = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}*a_{ij}* A_{ij} [/mm]
, [mm] A_{ij} [/mm] ist Unterdeterminante des Elementes [mm] a_{ij}
[/mm]
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen. Ich tüftle erstmal weiter.
Viele Grüße, Liane
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Hallo!
Sei $B=L^TL$ die Choleskyzerlegung von $B$.
Ohne Einschränkung können wir voraussetzen, dass [mm] $\det(B)\ne [/mm] 0$. Denn wäre [mm] $\det(B)=0$, [/mm] so wäre auch [mm] $\det(A)=0$ [/mm] und es wäre nichts zu zeigen.
Für jedes [mm] $c\in\IR^n$ [/mm] ist:
[mm] $c^T\big((L^{-1})^TAL^{-1}\big)c=\big(L^{-1}c\big)^TA\big(L^{-1}c\big)\stackrel{A\le B}\le \big(L^{-1}c\big)^TB\big(L^{-1}c\big)=\big(L^{-1}c\big)^TL^TL\big(L^{-1}c\big)=c^Tc$.
[/mm]
Also ist [mm] $C:=(L^{-1})^TAL^{-1}\le [/mm] I$.
Für jeden Eigenvektor $v$ von $C$ gilt also: [mm] $\lambda v^Tv=v^TCv\le [/mm] v^Tv$. Also sind alle Eigenwerte von $C$ kleiner 1.
Sie sind aber auch größer als 0, weil wegen [mm] $0\le [/mm] A$ auch [mm] $0\le [/mm] C$ gilt.
Seien [mm] $\lambda_1, \dots,\lambda_n$ [/mm] die Eigenwerte von $C$.
Jetzt muss man eigentlich nur noch wissen, dass die Determinante ja das Produkt der Eigenwerte ist:
[mm] $1\ge\prod \lambda_i=\det(C)=\det((L^{-1})^TAL^{-1})=\det(B)^{-1}\det(A)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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