Beweis Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Do 10.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mittels der Definition der Differenzierbarkeit, dass die Funktion f: [mm] \IR^2 \rightarrow\IR: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^2\cdot [/mm] y differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung. Betrachten Sie [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] (x-x_0), y_0 [/mm] + [mm] (y-y_0)) [/mm] für festes [mm] (x_0,y_0) \in \R^2. [/mm] |
Wir haben die Diffbarkeit gestern eingeführt und bei mir hängt das Verständnis schon bei der Definition:
f heißt diffbar in [mm] x_0, [/mm] falls es lineare Abbildung A [mm] \in L(\IK^n,\IK^m) [/mm] gibt mit:
[mm] f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x-x_0|), x\rightarrow x_0.
[/mm]
Leider findet der Übungsbetrieb noch nicht statt und ich habe meinen Prof auch ausgefragt, doch er meinte, es kämen noch Beispiele etc. Jedoch kamen diese natürlich nicht.
Könnte mir jemand also zunächst einmal jemand die Definition versuchen zu erklären und mir eine Vorgehensweise für solche Aufgaben geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 10.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie mittels der Definition der Differenzierbarkeit,
> dass die Funktion f: [mm]\IR^2 \rightarrow\IR:[/mm] (x,y) [mm]\mapsto x^2\cdot[/mm]
> y differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.
> Betrachten Sie [mm]f(x_0[/mm] + [mm](x-x_0), y_0[/mm] + [mm](y-y_0))[/mm] für festes
> [mm](x_0,y_0) \in \R^2.[/mm]
> Wir haben die Diffbarkeit gestern
> eingeführt und bei mir hängt das Verständnis schon bei
> der Definition:
>
> f heißt diffbar in [mm]x_0,[/mm] falls es lineare Abbildung A [mm]\in L(\IK^n,\IK^m)[/mm]
> gibt mit:
> [mm]f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x-x_0|), x\rightarrow x_0.[/mm]
>
> Leider findet der Übungsbetrieb noch nicht statt und ich
> habe meinen Prof auch ausgefragt, doch er meinte, es kämen
> noch Beispiele etc. Jedoch kamen diese natürlich nicht.
>
> Könnte mir jemand also zunächst einmal jemand die
> Definition versuchen zu erklären und mir eine
> Vorgehensweise für solche Aufgaben geben?
welche Probleme hast Du denn bei dieser Definition? Das "klein-o" ist Dir
bekannt? (Sonst siehe ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!)).
Schau' Dir mal
Analysisskript, Definition 19.6
an. Ist Dir klar, dass diese Definition zu Deiner obigen gleichwertig ist?
Grob gesagt kann man sagen:
[mm] $f\,$ [/mm] ist diff'bar in [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn man [mm] $f\,$ [/mm] "nahe bei [mm] $x_0$ [/mm] gut durch eine lineare
Funktion approximieren kann".
[mm] ($f(x)-f(x_0) \approx A*(x-x_0)$).
[/mm]
Das ist aber nur sehr grob gesprochen, mathematisch exakt steht es halt
in obiger Definition.
Ansonsten, wie sowas motiviert wird:
Siehe auch
54.1 Motivation (klick!)
Und zur Vorgehensweise für Deine Aufgabe: Hast Du schon das gemacht,
was als Hinweis gegeben wurde?
P.S. Was man auch wissen sollte:
[mm] $f=g+o(h)\,$
[/mm]
ist zu lesen als
[mm] $f-g=o(h)\,$
[/mm]
bzw. besser:
$f-g [mm] \in o(h)\,.$
[/mm]
(Wobei [mm] $o(h)\,$ [/mm] hier noch nicht vollständig ist - da sollte man schon wissen,
wie "$x [mm] \to x_0$" [/mm] dabei gemeint ist, wenn es nicht zusätzlich erwähnt wird...)
P.P.S. Mach' Dir obige Definition erstmal für reellwertige Funktionen einer
Variablen klar.
Frage: Welche Rolle nimmt dabei
[mm] $f\,'(x_0)$
[/mm]
ein?
(Hinweis: Für Matrizen $A=(a) [mm] \in \IR^{1 \times 1}$ [/mm] schreibt man nur noch
[mm] $a\,$
[/mm]
anstatt
[mm] $(a)\,.$
[/mm]
Zudem beachte: [mm] $A\,$ [/mm] hängt von [mm] $x_0$ [/mm] ab, man schreibt also besser:
[mm] $A=A_{x_0}\,.$
[/mm]
Zur Eindeutigkeit wird in obiger Definition übrigens erstmal noch nichts
gesagt...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 10.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Danke für die Arbeit, aber ich verstehe einfach erstmal die Grundaussagen überhaupt nicht. Ich brauche einfach Beispiele um es zu verstehen. Ich habe keine Ahnung, was dieses [mm] o(|x_0-x|) [/mm] sein soll bzw. dieses h.
Diese Skripte knallen mir auch wieder neue Definitionen an den Kopf. Die Defs die ich habe, habe ich mitgeliefert.
Vllt. könnte man mal ein Beispiel bringen, wie man so etwas nachweißt bzw. die Ableitung bestimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Fr 11.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo U_Brehm!
> Danke für die Arbeit, aber ich verstehe einfach erstmal
> die Grundaussagen überhaupt nicht. Ich brauche einfach
> Beispiele um es zu verstehen. Ich habe keine Ahnung, was
> dieses [mm]o(|x_0-x|)[/mm] sein soll bzw. dieses h.
Wenn du nicht weißt, was [mm]o(|x_0-x|)[/mm] bedeutet, brauchst du zunächst einmal die Bedeutung davon.
[mm] "$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x_0-x|)$ [/mm] für [mm] $x\to x_0$" [/mm] bedeutet:
Die Funktion [mm] $\psi$ [/mm] mit [mm] $f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\psi(x)$ [/mm] für alle $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ (also [mm] $\psi(x)=f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)$) [/mm] erfüllt [mm] $\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{\psi(x)}{|x-x_0|}=0$.
[/mm]
[mm] ($|x-x_0|$ [/mm] meint die euklidische Länge/Norm des Vektors [mm] $x-x_0$.)
[/mm]
(In diesem Fall wird also $f$ nahe [mm] $x_0$ [/mm] durch die affin lineare Abbildung [mm] $x\mapsto f(x_0)+A(x-x_0)$ [/mm] gut angenähert in dem Sinne, dass der "Fehlerterm" [mm] $\psi(x)$ [/mm] für $x$ gegen [mm] $x_0$ [/mm] so schnell gegen 0 geht, dass er selbst bei Division durch [mm] $|x-x_0|$ [/mm] noch gegen 0 konvergiert.)
> Vllt. könnte man mal ein Beispiel bringen, wie man so
> etwas nachweißt bzw. die Ableitung bestimmt?
(Ihr werdet noch lernen, wie die totale Differenzierbarkeit mit (stetiger) partieller Differenzierbarkeit zusammenhängt und wie in diesem Fall die partiellen Ableitungen mit der Ableitung zusammenhängen.
Aber das habt ihr vermutlich noch nicht zur Verfügung bzw. sollt direkt mit der Definition von totaler Differenzierbarkeit arbeiten.)
Sei [mm] $f\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto x^2$ [/mm] und [mm] $x_0\in\IR$.
[/mm]
Wir wollen die totale Differenzierbarkeit von $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] nachweisen sowie die Ableitung in [mm] $x_0$ [/mm] bestimmen.
Analog zu deiner Aufgabe könnten wir hier als Hinweis vorliegen haben: "Betrachten Sie [mm] $f(x_0+(x-x_0))$."
[/mm]
Dieser Hinweis erscheint vielleicht etwas unmotiviert, aber mal schauen, was er uns bringt...
Es gilt für alle [mm] $x\in\IR$:
[/mm]
[mm] $f(x)=f(x_0+(x-x_0))=(x_0+(x-x_0))^2=\green{x_0^2}+\blue{2x_0(x-x_0)}+\red{(x-x_0)^2}$.
[/mm]
Haben wir damit vielleicht zufällig schon die Gestalt
[mm] $f(x)=\green{f(x_0)}+\blue{A(x-x_0)}+\red{\psi(x)}$
[/mm]
mit einer linearen Abbildung [mm] $A\colon\IR\to\IR$ [/mm] und einer Abbildung [mm] $\psi\colon\IR\to\IR$, [/mm] die [mm] $\lim_{\substack{x\to\x_0\\x\not=x_0}}\frac{\psi(x)}{|x-x_0|}=0$ [/mm] erfüllt?
Es gilt [mm] $\green{f(x_0)}=\green{x_0^2}$; [/mm] das passt schon einmal.
Es gilt [mm] $\blue{A(x-x_0)}=\blue{2x_0(x-x_0)}$ [/mm] für die lineare Abbildung
[mm] $A\colon\IR\to\IR,\quad r\mapsto [/mm] 2x_0r$.
(Beachte, dass diese Abbildung $A$ tatsächlich linear ist.)
Bleibt noch die Abbildung
[mm] $\psi\colon\IR\to\IR,\quad, x\mapsto \red{(x-x_0)^2}$
[/mm]
daraufhin zu untersuchen, ob sie
(*) [mm] $\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{\red{\psi(x)}}{|x-x_0|}=0$
[/mm]
erfüllt.
Offensichtlich gilt für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $x\not=x_0$:
[/mm]
[mm] $\frac{\red{\psi(x)}}{|x-x_0|}=\frac{\red{(x-x_0)^2}}{|x-x_0|}=\frac{|x-x_0|^2}{|x-x_0|}=|x-x_0|$.
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}|x-x_0|=0$ [/mm] folgt tatsächlich (*).
Damit ist die Differenzierbarkeit von $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] nachgewiesen.
Als Ableitung haben wir die lineare Abbildung
[mm] $A\colon\IR\to\IR,\quad r\mapsto [/mm] 2x_0r$
bzw. die zugehörige [mm] $1\times1$-Matrix
[/mm]
[mm] $(2x_0)$
[/mm]
ermittelt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 11.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Vielen vielen Dank für diese Antwort, jetzt habe ich zunächst schon einmal das Grundproblem verstanden!
also:
[mm] f(x,y)=f(x_0+(x-x_0),y_0+(y-y_0))
[/mm]
[mm] =(x_0+(x-x_0))^2(y_0+(y-y_0))
[/mm]
[mm] =(x_0^2+2x_0(x-x_0)+(x-x_0)^2)(y_0+(y-y_0))
[/mm]
= [mm] x_0^2y_0 [/mm] [mm] +x_0^2(y-y_0)+ [/mm] [mm] 2x_0y_0(x-x_0) [/mm] [mm] +2x_0(x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)^2y_0+(x-x_0)^2(y-y_0) [/mm]
Jetzt habe ich [mm] f(x_0,y_0) [/mm] schon einmal gefunden mit [mm] x_0^2y_0 [/mm] und A scheint auch dabei zu sein mit [mm] 2x_0y_0(x-x_0).
[/mm]
Demzufolge gibt es folgende Ableitung: A: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR: (x,y)\mapsto [/mm] 2xy.
Aber es gibt doch noch extrem viele andere Terme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Fr 11.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]f(x,y)=f(x_0+(x-x_0),y_0+(y-y_0))[/mm]
> [mm]=(x_0+(x-x_0))^2(y_0+(y-y_0))[/mm]
> [mm]=(x_0^2+2x_0(x-x_0)+(x-x_0)^2)(y_0+(y-y_0))[/mm]
> = [mm]x_0^2y_0[/mm] [mm]+x_0^2(y-y_0)+[/mm] [mm]2x_0y_0(x-x_0)[/mm]
> [mm]+2x_0(x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)^2y_0+(x-x_0)^2(y-y_0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt habe ich [mm]f(x_0,y_0)[/mm] schon einmal gefunden mit
> [mm]x_0^2y_0[/mm]
> und A scheint auch dabei zu sein mit
> [mm]2x_0y_0(x-x_0).[/mm]
>
> Demzufolge gibt es folgende Ableitung: A: [mm]\IR^2 \rightarrow \IR: (x,y)\mapsto[/mm]
> 2xy.
Dieses $A$ ist überhaupt keine lineare Abbildung.
Außerdem gilt dafür
[mm] $A(x-x_0,y-y_0)=2(x-x_0)(y-y_0)$
[/mm]
und nicht wie von dir gewünscht
[mm] $A(x-x_0,y-y_0)=2x_0y_0(x-x_0)$.
[/mm]
Beachte, dass ein geeignetes [mm] $A\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] (beziehungsweise die dazugehörige [mm] $1\times [/mm] 2$-Matrix) die Ableitung von $f$ im fest betrachteten Punkte [mm] $(x_0,y_0)\in\IR^2$ [/mm] sein wird und nicht "die Ableitung von $f$ überhaupt".
Weiterhin scheint dich zu verwirren, dass $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] bei uns reelle Zahlen sind, während damit in der Definition der totalen Differenzierbarkeit Vektoren bezeichnet werden.
Ich schreibe die Definition der Differenzierbarkeit daher für unsere Funktion [mm] $f\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] explizit aus:
f heißt diffbar in [mm] $(x_0,y_0)$, [/mm] falls es eine lineare Abbildung [mm] $A\in L(\IR^2,\IR)$ [/mm] gibt mit
[mm] $f(x,y)=f(x_0,y_0)+A((x-x_0),(y-y_0))+\psi(x,y)$
[/mm]
für eine Funktion [mm] $\psi\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] mit
(*) [mm] $\lim_{\substack{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\not=(x_0,y_0)}}\frac{\psi(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$.
[/mm]
Der Term [mm] $2x_0y_0(x-x_0)$ [/mm] lässt sich als
[mm] $2x_0y_0(x-x_0)=B(x-x_0,y-y_0)$
[/mm]
schreiben mit der linearen (!) Abbildung
[mm] $B\colon\IR^2\to\IR,\quad (r,s)\mapsto 2x_0y_0*r$.
[/mm]
Tatsächlich lässt sich die Summe der beiden Terme [mm] $2x_0y_0(x-x_0)$ [/mm] und [mm] $x_0^2(y-y_0)$ [/mm] in der Form
[mm] $2x_0y_0(x-x_0)+x_0^2(y-y_0)=A((x-x_0),(y-y_0))$
[/mm]
für eine lineare Abbildung [mm] $A\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] schreiben.
Versuche du die passende lineare Abbildung $A$ zu finden!
> Aber es gibt doch noch extrem viele andere Terme?
Genau. Solange wir nicht wissen dass die durch Summe der restlichen Terme gegebene Funktion [mm] $\psi\colon\IR^2\to\IR$ [/mm] die Eigenschaft (*) hat, wissen wir nicht, ob wir die richtige lineare Abbildung $A$ gefunden haben.
Weise also für
[mm] $\psi\colon\IR^2\to\IR,\quad \psi(x,y)=2x_0(x-x_0)(y-y_0)+(x-x_0)^2y_0+(x-x_0)^2(y-y_0)$
[/mm]
nach, dass (*) gilt.
Ich mache es dir mal am Beispiel des ersten der drei Summanden aus der Definition von [mm] $\psi$ [/mm] vor:
Für alle [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] gilt wegen
[mm] $\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\ge\sqrt{(x-x_0)^2}=|x-x_0|$
[/mm]
die Abschätzung
[mm] $\left|\frac{2x_0(x-x_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\right|\le\frac{2|x_0||x-x_0||y-y_0|}{|x-x_0|}=2|x_0||y-y_0|$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\lim_{\substack{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\not=(x_0,y_0)}}2|x_0||y-y_0|=0$
[/mm]
folgt somit
[mm] $\lim_{\substack{(x,y)\to(x_0,y_0)\\(x,y)\not=(x_0,y_0)}}\frac{2x_0(x-x_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 11.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Cool, danke für die Hilfe!
Also ich habe:
[mm] 2x_0y_0(x-x_0)+x^2(y-y_0)=A(x-x_0,y-y_0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A: (r,s) [mm] \mapsto 2x_0y_0r+x_0^2s.
[/mm]
und kurzform:
[mm] |\bruch{(x-x_0)^2y_0}{x-x_0}|=|x-x_0||y_0| \rightarrow [/mm] 0
[mm] |\bruch{(x-x_0)^2(y-y_0)}{(x-x_0)}|=|x-x_0||y-y_0|\rightarrow [/mm] 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Fr 11.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Also ich habe:
>
> [mm]2x_0y_0(x-x_0)+x^2(y-y_0)=A(x-x_0,y-y_0)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A: (r,s) [mm]\mapsto 2x_0y_0r+x_0^2s.[/mm]
(Du meinst in der oberen Zeile natürlich [mm] $x_0^2$ [/mm] statt [mm] $x^2$.)
[/mm]
> und kurzform:
>
> [mm]|\bruch{(x-x_0)^2y_0}{x-x_0}|=|x-x_0||y_0| \rightarrow[/mm] 0
>
> [mm]|\bruch{(x-x_0)^2(y-y_0)}{(x-x_0)}|=|x-x_0||y-y_0|\rightarrow[/mm]
> 0.
Das erscheint mir sehr verkürzt.
Sicherlich sind Gleichheitszeichen und die Konvergenzaussagen, die ich in diese Kurzform hineinlesen kann, korrekt.
Warum gilt nun z.B.
[mm] $\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{(x-x_0)^2y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0$?
[/mm]
Schließlich solltest du noch erwähnen, dass aus den Konvergenzresultaten für die einzelnen Summanden folgt:
[mm] $\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{\psi(x)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=(\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{2x_0(x-x_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}})+(\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{(x-x_0)^2y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}})+(\lim_{\substack{x\to x_0\\x\not=x_0}}\frac{(x-x_0)^2(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}})=0+0+0=0$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 11.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Vielen Dank für die Hilfe.
Die Matrix ist dann: [mm] Df(x_0,y_0)=(2x_0y_0,x_0^2)?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Fr 11.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Vielen Dank für die Hilfe.
>
> Die Matrix ist dann: [mm]Df(x_0,y_0)=(2x_0y_0,x_0^2)?[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
ist keine Kritik an Dir, aber ich will mal etwas dazu sagen, was U_Brehm sich
selbst hätte erarbeiten können:
> Hallo U_Brehm!
>
>
> > Danke für die Arbeit, aber ich verstehe einfach erstmal
> > die Grundaussagen überhaupt nicht. Ich brauche einfach
> > Beispiele um es zu verstehen. Ich habe keine Ahnung, was
> > dieses [mm]o(|x_0-x|)[/mm] sein soll bzw. dieses h.
> Wenn du nicht weißt, was [mm]o(|x_0-x|)[/mm] bedeutet, brauchst du
> zunächst einmal die Bedeutung davon.
>
> "[mm]f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x_0-x|)[/mm] für [mm]x\to x_0[/mm]" bedeutet:
> Die Funktion [mm]\psi[/mm] mit [mm]f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+\psi(x)[/mm] für
> alle [mm]x[/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm]f[/mm] (also
> [mm]\psi(x)=f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)[/mm]) erfüllt
> [mm]\lim_{\substack{x\to\x_0\\x\not=x_0}}\frac{\psi(x)}{|x-x_0|}=0[/mm].
>
> ([mm]|x-x_0|[/mm] meint die euklidische Länge/Norm des Vektors
> [mm]x-x_0[/mm].)
Genau das hätte er sich erarbeiten können. (Dass "Klein-o" findet man in
meinem Link mit der Landau-Symbolik:
[mm] $f=o(g)\,$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$) $\iff$ $\lim_{x \to x_0} [/mm] |f(x)/g(x)|=0$
Und was [mm] $f=g+o(h)\,$ [/mm] (besser: $f(x)=g(x)+o(h(x))$ bei $x [mm] \to x_0$) [/mm] bedeutet, habe
ich ja auch ergänzt...)
Und da das anscheinend nicht so wirklich klar war, dass die Puzzleteile alle
in meiner Antwort stehen:
[mm] $f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(|x-x_0|)$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$)
[/mm]
[mm] $\iff$ $\red{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)} \in o(|x-x_0|)$ [/mm] ($x [mm] \to x_0$).
[/mm]
Und letzteres bedeutet per Definitionem von "Klein-o":
[mm] $\lim_{x \to x_0} \left|\frac{\red{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}}{|x-x_0|}\right|=0\,,$
[/mm]
was wegen der Reellwertigkeit gleichwertig zu
[mm] $\lim_{x \to x_0} \frac{\red{f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)}}{|x-x_0|}=0\,$
[/mm]
ist.
Ansonsten vielleicht auch mal ein weiterer Tipp für U_Brehm: Wenn man
eine Idee für [mm] $A=A_{x_0}$ [/mm] hat:
[mm] $\frac{f(x)-f(x_0)-A*(x-x_0)}{|x-x_0|}$
[/mm]
kann man sich dann hinschreiben und danach schauen, was bei $x [mm] \to x_0$
[/mm]
[mm] ($\iff$ $|x-x_0| \to [/mm] 0$) passiert.
P.S. Damit es keine Missverständnisse gibt: Das hier ist erstmal überhaupt
keine Kritik (weder an U_Brehm noch auf gar keinen Fall an Dir, Tobi),
sondern ich will nur ein wenig motivieren, dass man sich mal solche
*Puzzleteile* einfach zusammenbasteln kann. Das sollte man auch lernen,
und wie man vielleicht sieht, ist es auch nicht (immer) wirklich schwer. [Aus
meiner Sicht sieht man das vielleicht auch leichter als aus der einer etwas
*dahingehend unerfahreneren* Person.]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Fr 11.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
Offensichtlich kam ich (wie ich dir ja auch geschrieben hatte) mit deiner Antwort nicht klar und ich fand es gut, dass mir Tobi mal ein Beispiel geliefert hat und einfach mal auf meine Frage geantwortet hat.
Ich habe es nicht verstanden, auch weil wir keine Übungen dazu haben (bis nächste Woche).
Es kann doch nicht sein, dass man sich dann über gute Hilfe beschwert, nur weil man selbst nicht in der Lage ist, diese zu geben. Und nein, es ist keine Hilfe für mich zu sagen: Schau mal hier und hier und hier ... Dort findest du noch 6 weitere Definitionen, die alle dasselbe bedeuten...
Wie kann man sich denn beschweren, sobald es endlich mal jemand didaktisch macht? Ich kann nichts dafür, dass dir das in den Schoß fällt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo U_Brehm,
es steht jedem frei, den einen Tipp besser zu finden als den anderen und das auch als Feedback zu artikulieren. Aber das hier:
> Es kann doch nicht sein, dass man sich dann über gute
> Hilfe beschwert, nur weil man selbst nicht in der Lage ist,
> diese zu geben.
das geht zu weit, das ist mit Verlaub gesagt unverschämt. Marcel hat sich hier nicht beschwert, und zu behaupten, er sei nicht in der Lage Hilfestellung zu leisten, das ist einfach der Gipfel.
Das einzige, was er versucht hat, ist dich zu einer selbstständigeren Arbeitsweise zu motivieren, und diese Reaktion:
> Und nein, es ist keine Hilfe für mich zu
> sagen: Schau mal hier und hier und hier ... Dort findest du
> noch 6 weitere Definitionen, die alle dasselbe bedeuten...
>
spricht dann schon für sich.
Hier bei uns im Forum ist es üblich, Lösungen im Dialog zu erarbeiten, solche Beiträge wie der von Marcel sind absoluter Standard und insbesondere vorgesehen und wenn dir das nicht passt: dann bist du im falschen Forum in meinen Augen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 11.04.2014 | | Autor: | U_Brehm |
In deinem Augen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo U_Brehm,
ich mach's jetzt nochmal kurz:
> In deinem Augen.
Das ist eine ignorante Haltung, die Du hier darlegst. In meiner Mitteilung
steht deutlich drin, warum ich sie geschrieben habe, und es ist vor allem
deutlich erkennbar, dass ich - im Gegensatz zu Dir - niemanden angreife. Du
vergreifst Dich hier völlig im Ton, und ich werde jetzt auch mal deutlich:
Lies' Dir die
Forenregeln
durch. Ich darf Dich schonmal direkt auf den ersten Punkt hinweisen:
Freundlicher Umgangston (und was daraus folgt: respektvolle
Umgangsweise miteinander).
Der (in meinen Augen) nächste wichtige Punkt ist es, eigene Ideen und
Lösungsansätze mitzuposten.
Wie Du siehst, bin ich dahingehend sehr nachsichtig, denn meistens stellen
die Leute schon fragen, wo der Anfang fehlt. Ich kann diese Nachsicht aber
gerne auch bei Dir seinlassen und darauf bestehen, falls Du nicht in der
Lage bist, Deinen Umgangston zumindest auf *normalen zwischenmenschlichen
Umgang* anzupassen.
Und nein, das hat nichts mit "Unterwürfigkeit" zu tun: Wir alle helfen hier
gerne, wenn wir es können (und gerade Zeit haben und es wollen).
Vergleiche es mal mit Freundschaften: Niemand wird Dir einen *Freundschaftsdienst*
erweisen wollen, wenn Du ihm, salopp gesagt, bei der Bitte um Mithilfe ans
Bein pinkelst.
Ich glaube auch nicht, dass Tobi sich von mir kritisiert gefühlt hat, denn es
ging mir nicht darum, ihn zu kritisieren. Ich finde es auch gut, dass Du mit
seiner Antwort vielleicht mehr anfangen kannst. Das ändert aber nichts
daran, dass ich es nicht gut finde, dass Du Dir hier lieber alles vorkauen
läßt, anstatt selbstständig zu arbeiten.
Für DICH(!!) sinnvoller wäre es, Dir mal das, was ich Dir in der
Mitteilung gesagt habe, durch den Kopf gehen zu lassen und dann selbst
zu prüfen, ob Du das nicht wenigstens im Nachhinein so nachvollziehen
kannst. Dann käme nämlich vielleicht der "Aha"-Effekt, wo Du Dir die Hand
an den Kopf haust und merkst: "Ohja, das war ja doch gar nicht so schwer..."
oder es gäbe einen Moment, wo Du gemerkt hättest:
"Achso, so ist das [mm] $o(|x-x_0|)$ [/mm] hier zu verstehen."
Solche Lerneffekte vermeidest Du anscheinend gerne, damit machst Du Dir
aber selber das Lernen schwer. Denn genau solche Momente bleiben Dir
in Erinnerung und würden Dir in Zukunft enorm weiterhelfen.
Aber was soll's: Solange Du weder in der Lage bist, mir Deinen Tonfall zu
erklären oder, falls Du es für angebracht halten würdest: Dich für so
manche Aussage zu entschuldigen, ist's mir - ehrlich gesagt - auch ziemlich
egal.
Sollten aber erneut solche Reaktionen von Dir kommen: Dann lies' Dir doch
nochmal die Forenregeln durch, und wenn Du der Meinung bist, dass diese
für Dich nicht angemessen sind, dann stelle Deine Fragen doch bitte in
einem Forum, wo Du Dich wohler fühlst.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo U_Brehm,
>
> es steht jedem frei, den einen Tipp besser zu finden als
> den anderen und das auch als Feedback zu artikulieren. Aber
> das hier:
>
> > Es kann doch nicht sein, dass man sich dann über gute
> > Hilfe beschwert, nur weil man selbst nicht in der Lage
> ist,
> > diese zu geben.
>
> das geht zu weit, das ist mit Verlaub gesagt
> unverschämt. Marcel hat sich hier nicht beschwert, und zu
> behaupten, er sei nicht in der Lage Hilfestellung zu
> leisten, das ist einfach der Gipfel.
so deutlich hätte ich es nicht gesagt, aber im Prinzip stimmt das, was Du
sagst.
> Das einzige, was er versucht hat, ist dich zu einer
> selbstständigeren Arbeitsweise zu motivieren,
Das war der einzige Sinn und Zweck meiner Mitteilung. Das hätte U_Brehm
auch selbst herauslesen können. Es steht mehrmals deutlich drin!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Fr 11.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> so deutlich hätte ich es nicht gesagt, aber im Prinzip
> stimmt das, was Du
> sagst.
ja, du hast ja schon Recht. Mein Problem: ich habe meinen Buntstiftkasten verlegt und jetzt habe ich nur noch ein paar von den ganz dicken Eddings zur Hand. Vielleicht, wenn noch ein paar User kommen, die ihre Fragen sorgfältig vortragen und sich auch an Anregungen zum selber Denken freuen, vielleicht finden sich ja dann auch die fein gespitzten Buntstifte wieder. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Fr 11.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Es kann doch nicht sein, dass man sich dann über gute
> Hilfe beschwert,
Das hat Marcel in keinster Weise getan.
> nur weil man selbst nicht in der Lage ist,
> diese zu geben.
Dass Marcel nicht in der Lage sei, gute Hilfe zu geben, ist nun wirklich an den Haaren herbeigezogen.
Viele Grüße
Tobias
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