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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 14.10.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Berechnen Sie Df(x) für
f(x) = 1/2 [mm] x^T [/mm] A x - [mm] b^T [/mm] x, A: nxn Matrix x,b [mm] \in R^m [/mm] |
Hallo!
Ich habe hier leider ein Problem am Anfang der Aufgabe, ich weiß nämlich nicht, wie man hier beginnen muss.
ich weiß dass die Jacobimatrix (funktionalmaltrix) die partiellen ableitungen der funktion enthält. es ist mir also nich klar, wie ich das ganze umformen soll, um zu dieser Form zu kommen.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie Df(x) für
> f(x) = 1/2 [mm]x^T[/mm] A x - [mm]b^T[/mm] x, A: nxn Matrix x,b [mm]\in \red{R^m}[/mm]
Du meinst wohl $x,b [mm] \in \IR^{\blue{n}}$, [/mm] denn $x^TAx$ macht so, wie Du es oben schreibst, nur Sinn, wenn [mm] $m=n\,.$
[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe hier leider ein Problem am Anfang der Aufgabe, ich
> weiß nämlich nicht, wie man hier beginnen muss.
>
> ich weiß dass die Jacobimatrix (funktionalmaltrix) die
> partiellen ableitungen der funktion enthält. es ist mir
> also nich klar, wie ich das ganze umformen soll, um zu
> dieser Form zu kommen.
>
> lg
Was ist denn [mm] $Dg(x)\,$ [/mm] für $g(x):=-b^Tx$ ($x [mm] \in \IR^n$)? [/mm]
(Notfalls mach' es ein wenig konkreter, indem Du das ganze mal beispielhaft für [mm] $m=2\,$ [/mm] und somit [mm] $g(x)=g(x_1,x_2):=-(b_1,b_2)*\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] rechnest!)
Und wenn Dir [mm] $Dh(x)\,$ [/mm] für [mm] $h(x):=\frac{1}{2}\;x^TAx$ [/mm] nicht klar ist:
Vielleicht kannst Du auch ![[]](/images/popup.gif) hiermit (edit: Link korrigiert!) arbeiten, oder Du schreibst Dir mal hin, wie $x^TAx$ aussieht. Natürlich kannst Du auch erstmal wieder speziell [mm] $A\,$ [/mm] für [mm] $m=2\,$ [/mm] betrachten.
Also:
Wenn Dir alles unklar ist, dann überlege Dir zunächst mal, was [mm] $Df(x)\,$ [/mm] für
[mm] $$f(x)=f(x_1,x_2)=\frac{1}{2}\;(x_1,x_2)\pmat{a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}}\vektor{x_1\\x_2}-(b_1,b_2)\vektor{x_1\\x_2}$$
[/mm]
ist. Hierbei ist (nachrechnen) dann
[mm] $$f(x)=\frac{1}{2}\;\left(a_{11}x_1^2+a_{21}x_1x_2+a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2\right)-(b_1x_1+b_2x_2)$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{1}{2}\;\left(a_{11}x_1^2+(a_{21}+a_{12})x_1x_2+a_{22}x_2^2\right)-(b_1x_1+b_2x_2)$$
[/mm]
P.S.:
Wird die Matrix [mm] $A\,$ [/mm] evtl. zudem als symmetrisch vorausgesetzt? (Dann wäre insbesondere bei [mm] $m=2\,$ [/mm] oben [mm] $a_{12}=a_{21}$ [/mm] und Dir sollte was auffallen, wenn Du für [mm] $m=2\,$ $Df(x)\,$ [/mm] ausgerechnet hast.)
P.P.S.:
Evtl. hilft es Dir, für weitergehende Verallgemeinerung, auch hier mal ein wenig nachzulesen. Beachte aber:
Auch dort wird [mm] $A\,$ [/mm] als symmetrisch vorausgesetzt!
Gruß,
Marcel
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