Beweis Grenzwert Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Mo 13.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) [mm] a_n:=\bruch{1}{n^2} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
[mm] b)a_n:=\bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1
[/mm]
c) [mm] a_n:=\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm] |
a) [mm] a_n:=\bruch{1}{n^2} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
Beweis:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN: [/mm] n>N [mm] \Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Wähle [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] N=\wurzel{\bruch{1}{e^2}}
[/mm]
Wenn n>N so folgt:
[mm] |a_n-0|=|\bruch{1}{n^2}|=\bruch{1}{n^2}<\bruch{1}{N^2}<\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{e^2}}}= [/mm] e
Ist mein N hier richtig gewählt?
[mm] b)a_n:=\bruch{1}{\bruch{1}{n}} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1
[/mm]
Beweis:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN: [/mm] n>N [mm] \Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Wähle [mm] N\in \IN [/mm] mit N=
Wenn n>N so folgt:
Hier scheitere ich am umformen, weil ich nicht weiß, wie ich das am sinnvollsten mache..hatte versucht den Nenner zu erweitern, dann erhalte ich [mm] \bruch{-\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n}} [/mm] aber das scheint mir nicht so sinnvoll. Sehe grad selbst nicht wie ich umformen muss.
Oder kann ich umformen zu: [mm] \bruch{-1}{n+1} [/mm] ? Dann wäre ja [mm] |\bruch{-1}{n+1}|=\bruch{1}{n+1}\le \bruch{1}{N+1}\le \bruch{1}{(\bruch{1}{e}-1)+1}=\bruch{1}{\bruch{1}{e}}=e
[/mm]
Aber kann ich [mm] N=(\bruch{1}{e}-1) [/mm] wählen oder ist das falsch???
c) [mm] a_n:=\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2} [/mm] und zeige [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0
[/mm]
Beweis:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN: [/mm] n>N [mm] \Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Wähle [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] N=\bruch{25}{e^2}
[/mm]
Wenn n>N so folgt:
[mm] |a_n-0|=|\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}|
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}*(\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2})}{\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2}} [/mm]
= [mm] \bruch{5}{\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2}} [/mm]
[mm] \le \bruch{5}{\wurzel{n+7}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{5}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{5}{\wurzel{N}}
[/mm]
[mm] \le \bruch{5}{\wurzel{\bruch{25}{e^2}}} [/mm] =e
Stimmt hier mein gewähltes N?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Mo 13.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]a_n:=\bruch{1}{n^2}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
>
> [mm]b)a_n:=\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1[/mm]
Lautet [mm] a_n [/mm] wirklich so ? Wenn ja, so ist [mm] a_n=n [/mm] für alle n !!! Damit divergiert [mm] (a_n) [/mm] !!!
>
> c) [mm]a_n:=\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
>
> a) [mm]a_n:=\bruch{1}{n^2}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN:[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Wähle [mm]N\in \IN[/mm] mit
> [mm]N=\wurzel{\bruch{1}{e^2}}[/mm]
Mit e meinst Du wohl [mm] \varepsilon [/mm] ! Aber bei Deiner Wahl wird N i.a. keine natürliche Zahl sein !
Wähle N [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm]N>\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}}[/mm]
> Wenn n>N so folgt:
> [mm]|a_n-0|=|\bruch{1}{n^2}|=\bruch{1}{n^2}<\bruch{1}{N^2}<\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{e^2}}}=[/mm]
> e
>
> Ist mein N hier richtig gewählt?
Siehe oben.
>
>
> [mm]b)a_n:=\bruch{1}{\bruch{1}{n}}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN:[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Wähle [mm]N\in \IN[/mm] mit N=
> Wenn n>N so folgt:
>
> Hier scheitere ich am umformen, weil ich nicht weiß, wie
> ich das am sinnvollsten mache..hatte versucht den Nenner zu
> erweitern, dann erhalte ich
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n}}[/mm] aber das scheint mir
> nicht so sinnvoll. Sehe grad selbst nicht wie ich umformen
> muss.
> Oder kann ich umformen zu: [mm]\bruch{-1}{n+1}[/mm] ?
>
>
>
> c) [mm]a_n:=\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}[/mm] und zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N\in \IN \forall n\in \IN:[/mm]
> n>N [mm]\Rightarrow |a_n-0|<\varepsilon[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Wähle [mm]N\in \IN[/mm] mit [mm]N=\bruch{25}{e^2}[/mm]
Gleiche Kritik wie bei a)
FRED
> Wenn n>N so folgt:
>
> [mm]|a_n-0|=|\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{n+7}-\wurzel{n+2}*(\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2})}{\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{5}{\wurzel{n+7}+\wurzel{n+2}}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{5}{\wurzel{n+7}}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{5}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{5}{\wurzel{N}}[/mm]
>
> [mm]\le \bruch{5}{\wurzel{\bruch{25}{e^2}}}[/mm] =e
>
> Stimmt hier mein gewähltes N?
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Mo 13.05.2013 | | Autor: | heinze |
Das hab ich mir gedacht, dass N aus [mm] \IN [/mm] sein muss. Aber ich bin ratlos bei den Aufgaben..sitze ewig davor, komme aber auf kein anderes N!
LG
heinze
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Moin heinze,
> Das hab ich mir gedacht, dass N aus [mm]\IN[/mm] sein muss. Aber ich
> bin ratlos bei den Aufgaben..sitze ewig davor, komme aber
> auf kein anderes N!
hm, ganz ehrlich: ein intensives Studium deiner Unterlagen (Skript/Lehrbuch/Aufschreib) wäre wohl der beste Rat, den man dir geben kann. Du hast den Sinn und Zweck des Epsilon-Kriteriums nicht verstanden, das ist das Problem. Und das wird auch nicht durch solche blindlings durchgestolperten Rechnungen besser.
Es geht darum, ob man die aus dem Epsilon-Kriterium folgende Ungleichung so nach n auflösen kann, dass sie die Form
[mm] n>f(\epsilon)
[/mm]
besitzt. Dann gibt es eine kleinste natürliche Zahl N, ab der die Ungleichung auf jeden Fall erfüllt ist. Dies bedeutet aber nichts anderes, als dass alle Folgenglieder ab dem N. Glied in der Epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen und daraus folgt die Konvergenz.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mo 13.05.2013 | | Autor: | heinze |
was [mm] \varepsilon [/mm] bedeutet das ist mir schon klar!!! aber mir fällt es einfach schwer bei diesen Beweisen ein geeignetes N zu finden!! Das sehe ich irgendwie nicht logisch!
Ich weiß auch nicht wie ich mir das aneignen soll. mir würde es schon helfen, wenn es mir jemand von euch nochmal an einem von meinen Beispielen aufzeigt (oder halt einem anderen Beispiel) .
LG
heinze
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> aber mir
> fällt es einfach schwer bei diesen Beweisen ein geeignetes
> N zu finden!! Das sehe ich irgendwie nicht logisch!
Hallo,
ich habe Deine Rechnung nicht geprüft, gehe einfach davon aus, daß alles richtig ist.
Du wählst ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] und mußt ja eine natürliche Zahl N sagen, so daß alles schön paßt.
Nun hattest Du rumgerechnet und festgestellt, daß für [mm] N=\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}} [/mm] alles fein funktioniert.
Wie Fred anmerkt, hat dieses N einen Schönheitsfehler: es wird i.a. keine natürliche Zahl sein.
Nun bist Du verzeifelt, weil Du nicht weißt, wo Du eine natürliche Zahl herkriegen sollst.
Du mußt aber einfach das tun, was Fred Dir sagt.
Schreib nicht:"Wähle [mm] N=\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}}",
[/mm]
sondern schreibe: "Wähle [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] N>\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}}".
[/mm]
Genauer mußt Du diese natürliche Zahl gar nicht angeben. Es reicht, wenn Du sagst, daß sie einfach größer sein muß als die von Dir errechnete Schwelle.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 13.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke angela!!! jetzt hab ich es verstanden!!! Allerdings habe ich einfach vom Skript abgeschrieben ohne nachzudenken!! (scheint ein Tippfehler im Skript zu sein!!)
Also sind meine N soweit ok, wenn ich statt "=" richtigerweise "<" schreibe?
Danke nochmals,
LG
heinze
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Hallo,
> Danke angela!!! jetzt hab ich es verstanden!!! Allerdings
> habe ich einfach vom Skript abgeschrieben ohne
> nachzudenken!! (scheint ein Tippfehler im Skript zu
> sein!!)
>
> Also sind meine N soweit ok, wenn ich statt "="
> richtigerweise "<" schreibe?
Nein, ich schrieb doch schon, dass es im Fall der Konvergenz
[mm] N>f(\epsilon)
[/mm]
heißen muss. Das geht auch aus allen anderen gegebenen Antworten hervor!
Gruß, Diophant
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