Beweis: Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 22.11.2008 | | Autor: | frost- |
| Aufgabe | Beweisen Sie, daß die Folge (xn) mit xn := [mm] \bruch{n}{2^{n}} [/mm] eine Nullfolge ist,
d.h. daß gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{2^{n}} [/mm] = 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße, liebe Mathematiker
Bei mir hapert es bei Beweisen die mit Folgen zu tun haben.
Ich weiß zwar, dass gilt dass, wenn man eine Folge hat, die gegen einen Grenzwert [mm] x\* [/mm] konvergiert, dass es dann für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N gibt, so dass gilt [mm] |x_{n} [/mm] - x*| < [mm] \varepsilon [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] N.
Das ist ja auch soweit einleuchtend, doch habe ich keinen blassen Schimmer, wie ich damit nun Aussagen wie z.B. die obige beweisen kann. Wenn ich konkrete Zahlen benutze ist die Allgemeingültigkeit ja nicht mehr gegeben, wenn ich weiter mit den Variablen hantiere habe ich so viele Unbekannte, dass ich diese nicht zueinander in Relation setzen kann.
Aus den Aufzeichnungen der Vorlesung werde ich leider auch nicht wirklich schlau.
Über Hinweise, wie ich damit umgehen kann, oder auch über einen Ansatz würde ich mich freuen.
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Hallo frost- und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie, daß die Folge (xn) mit xn := [mm]\bruch{n}{2^{n}}[/mm]
> eine Nullfolge ist,
> d.h. daß gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{2^{n}}[/mm]
> = 0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße, liebe Mathematiker
>
> Bei mir hapert es bei Beweisen die mit Folgen zu tun
> haben.
>
> Ich weiß zwar, dass gilt dass, wenn man eine Folge hat, die
> gegen einen Grenzwert [mm]x\*[/mm] konvergiert, dass es dann für
> jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein N gibt, so dass gilt
> [mm]|x_{n}[/mm] - x*| < [mm]\varepsilon[/mm] für jedes n [mm]\ge[/mm] N.
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> Das ist ja auch soweit einleuchtend, doch habe ich keinen
> blassen Schimmer, wie ich damit nun Aussagen wie z.B. die
> obige beweisen kann. Wenn ich konkrete Zahlen benutze ist
> die Allgemeingültigkeit ja nicht mehr gegeben, wenn ich
> weiter mit den Variablen hantiere habe ich so viele
> Unbekannte, dass ich diese nicht zueinander in Relation
> setzen kann.
Mache es doch allg. wie nach dem obigen Kriterium.
Schätze [mm] $|x_n-x^{\star}|=\left|\frac{n}{2^n}-0\right|=\frac{n}{2^n}$ [/mm] ab
Eine Möglichkeit ist, zu benutzen, dass [mm] $2^n [/mm] \ > \ [mm] n^2$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 5$ (Induktion), damit also [mm] $\frac{1}{2^n} [/mm] \ < \ [mm] \frac{1}{n^2}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{n}{2^n} [/mm] \ < \ [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 5$
Das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Daraus kannst du doch bequem dein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] konstruieren ...
> Aus den Aufzeichnungen der Vorlesung werde ich leider auch
> nicht wirklich schlau.
>
> Über Hinweise, wie ich damit umgehen kann, oder auch über
> einen Ansatz würde ich mich freuen.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 23.11.2008 | | Autor: | frost- |
Okay, bin dann jetzt so vorgegangen:
Habe es soweit gemacht wie du gesagt hast.
Um zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist, habe ich aus [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gefolgert, dass auch [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] > 0 gilt.
Dann wähle ich N als die kleinste natürliche Zahl die größer als [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] ist:
[mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] < N
[mm] \gdw \bruch{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{n}{2^{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
Kann ich das so stehen lassen, oder fehlt da noch etwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du denn nun gezeigt, dass [mm] n^2<2^n [/mm] ist?
Wenn du das hast musst dus natuerlich noch was ausfuehrlicher hinschreiben aber deine Skizze ist richtig.
(dass 1/n ne Nullfolge ist darf man meist annehmen, da es in allen vorlesungen eigentlich schon benutzt wird.
Gruss leduart
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