Beweis Hessesche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Vivil |
| Aufgabe | Jeder Punkt [mm] \bar [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} \bar x_1 \\ \bar x_2 \end{pmatrix} [/mm] der Ebene ist durch die Operation [mm] \barx [/mm] = s + [mm] \beta [/mm] *r + [mm] \gamma [/mm] *a darstellbar; s, r und a sind hier Vektoren, [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] sind reelle Zahlen (Gleichung 1).
Setzt man [mm] \gamma [/mm] = 0 und lässt nur den reellen Parameter [mm] \beta [/mm] frei, so erhält man die Punkte der Geraden [mm] \left\{ x I x = s + \beta*r, \beta \in \IR \right\}. [/mm] Wenn unmissverständlich, bezeichnen wir sie auch kurz mit
x = s + [mm] \beta*r. [/mm] Den Vektor s nennt man Stützvektor, r heißt Richtungsvektor und a Orthogonalvektor der Geraden.
Die allgemeine Gleichung (Gleichung 1) kann man durch Multiplikation mit
[mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}} [/mm] und Umstellung umformen zu [mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}*\bar [/mm] x - [mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}*s [/mm] = [mm] \gamma [/mm] * [mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}*a [/mm] (Gleichung 2)
Die Gleichung 2 ergibt sich aus der Gleichung 1, da das Skalarprodukt [mm] a^T*r [/mm] der orthogonalen Vektoren a und r gleich 0 ist. Der Vektor [mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}} [/mm] in der Gleichung zwei ist normiert, hat also die Länge 1.
Definiert man [mm] \delta [/mm] = [mm] \gamma*{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}, [/mm] so gilt zweierlei:
1. Durch Einsetzen von [mm] \gamma [/mm] in Gleichung 2 erhält man wegen [mm] \bruch{a^T*a}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}^2} [/mm] = 1 :
[mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}*\bar [/mm] x - [mm] \bruch{a^T}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}*s [/mm] = [mm] \delta [/mm] (Gleichung 3),
2. [mm] \begin{vmatrix}\delta \end{vmatrix} [/mm] ist der Abstand des Punktes [mm] \bar [/mm] x von der Geraden x = s + [mm] \beta*r.
[/mm]
[mm] \delta [/mm] ist > 0, falls [mm] \bar [/mm] x auf der Seite der Geraden liegt, in die a weist.
[mm] \delta [/mm] ist < 0, falls [mm] \bar [/mm] x auf der Seite der Geraden liegt, in die a nicht weist.
[mm] \delta [/mm] ist = 0, falls [mm] \bar [/mm] x auf der Geraden liegt.
Die Geradengleichung (Gleichung 3) für [mm] \delta [/mm] = 0 heißt Hessesche Normalform:
[mm] \bruch{a^Tx}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}} [/mm] - [mm] \bruch{a^Ts}{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}} [/mm] = 0. |
Hallo,
leider stehe ich mit der Vektorrechnung auf Kriegsfuß.
Dem o.g. Beweis für die Hessesche Normalform kann ich bis zu dem Punkt "Definiert man [mm] \delta [/mm] = [mm] \gamma*{\begin{Vmatrix} a \end{Vmatrix}}, [/mm] so gilt zweierlei: ..." folgen. Dann fängt mein großes Problem an:
Wieso erhalte ich durch Einsetzten von [mm] \gamma [/mm] in Gleichung 2 die Gleichung 3, wo kommt das [mm] a^2 [/mm] unter dem Bruchstrich her?
Kann mir das bitte jemand aufschlüsseln, bzw. die Zwischenschritte von der Gleichung 2 bis zur Gleichung 3 schreiben?
Danke,
Vivil
P.s.: _x: Der Strich sollte eigentlich über dem x sein, wie bei [mm] \bar x_1. [/mm] Hat aber leider nicht mit dem passenden Code funktioniert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Vivil,
also Gleichung 2 war:
[mm] \bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*x-\bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*s=\gamma*\bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*a
[/mm]
und [mm] \delta=\gamma*\parallel a\parallel, [/mm] also [mm] \gamma=\bruch{\delta}{\parallel a\parallel}
[/mm]
und das für [mm] \gamma [/mm] oben einsetzen:
[mm] \bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*x-\bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*s=\bruch{\delta}{\parallel a\parallel}*\bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*a
[/mm]
und die rechte Seite lässt sich zusammenfassen zu
[mm] \delta*\bruch{a^T*a}{\parallel a\parallel^2} [/mm]
und da [mm] \parallel a\parallel=\wurzel{a^T*a} [/mm] ist (Stichwort: das Skalarprodukt induziert eine Norm) gilt
[mm] \bruch{a^T*a}{\parallel a\parallel^2}=1
[/mm]
und es bleibt stehen
[mm] \bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*x-\bruch{a^T}{\parallel a\parallel}*s=\delta
[/mm]
und das ist Gleichung 3
Alles klar? 
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 So 09.04.2006 | | Autor: | Vivil |
Danke, das hat mir sehr weiter geholgen.
LG, Vivil
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