Beweis Höhenlinie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 16.09.2015 | | Autor: | JennMaus |
| Aufgabe | Gegeben sei eine beliebige Funktion f(a,b) und zwei ihrer Höhenlinien mit den Niveaus c und c'.
Beweisen Sie:
die beiden Höhenlinien können sich nicht schneiden. |
Hallo nochmal,
ich habe keine Ahnung wie ich den Beweis angehen soll.
Ich vermute, dass sie keinen Schnitpunkt haben, da die Höhenlinien quasi eine Parallelebene zur a,b-Ebene sind oder? Und somit sind auch alle anderen Höhenlinien (Ebenen) zueinander parallel.
Aber wie beweise ich das? Vielleicht durch die partiellen Ableitungen?
Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee. Vielen Dank schon mal :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 16.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei eine beliebige Funktion f(a,b) und zwei ihrer
> Höhenlinien mit den Niveaus c und c'.
>
> Beweisen Sie:
> die beiden Höhenlinien können sich nicht schneiden.
Dann sollte man aber noch $c [mm] \ne [/mm] c'$ voraussetzen !
> Hallo nochmal,
>
> ich habe keine Ahnung wie ich den Beweis angehen soll.
>
> Ich vermute, dass sie keinen Schnitpunkt haben, da die
> Höhenlinien quasi eine Parallelebene zur a,b-Ebene sind
> oder?
Mit Verlaub, das ist Quatsch. Eine Höhenlinie ist eine Teilmenge der a-b-Ebene.
> Und somit sind auch alle anderen Höhenlinien
> (Ebenen) zueinander parallel.
S.o.
>
> Aber wie beweise ich das? Vielleicht durch die partiellen
> Ableitungen?
Ganz bestimmt nicht, denn f ist eine beliebige Funktion. f muss also keinerlei Differenzierbarkeitseigenschaften haben.
>
> Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee. Vielen Dank
> schon mal :)
Man geht so eine Aufgabe an, indem man konkret hinschreibt, was man hat:
die Höhenlinien:
[mm] $H=\{(a,b) \in \IR^2: f(a,b)=c \}$
[/mm]
und
[mm] $H'=\{(a,b) \in \IR^2: f(a,b)=c' \}$.
[/mm]
dann überlegt man sich, was zu zeigen ist. Das ist zu zeigen:
(*) $H [mm] \cap [/mm] H'= [mm] \emptyset$.
[/mm]
Nun stellt sich die Frage, wie kriegt man das hin ? Man könnte zum Beispiel auf die Idee kommen, anzunehmen, dass (*) falsch ist und versuchen zu einem Widerspruch zu kommen (indirekter Beweis !). Probieren wir das mal:
Annahme, (*) wäre falsch. Dann git es also ein [mm] $(a_0,b_0) \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] H'$.
Da [mm] $(a_0,b_0) \in [/mm] H$ ist, haben wir
(1) [mm] f(a_0,b_0)=c.
[/mm]
Da auch [mm] $(a_0,b_0) \in [/mm] H'$ ist, haben wir
(2) [mm] f(a_0,b_0)=c'.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt: $c=c'$.
Bingo !!!! Wir haben also einen Widerspruch zu $c [mm] \ne [/mm] c'$.
Hurra, das bedeutet: (*) muss stimmen !
Ich habe fertig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 16.09.2015 | | Autor: | JennMaus |
Wow, vielen, vielen Dank.
Ich kann den Beweis zwar irgendwie nachvollziehen, aber von selbst wäre ich da wohl nie darauf gekommen.
Dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mi 16.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wow, vielen, vielen Dank.
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> Ich kann den Beweis zwar irgendwie nachvollziehen, aber von
> selbst wäre ich da wohl nie darauf gekommen.
Ich habe den Beweis sehr ausführlich gemacht, aber die Idee ist simpel: wenn sich die zwei Höhenlinien schneiden, so muss es ein (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] geben mit
$c=f(a,b)=c'$.
Das ist im wesentlichen alles.
FRED
>
> Dankeschön :)
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