Beweis Int.Basis Determinante < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine andere Aufgabe, in der ich folgendes beweisen soll:
[mm] \vec{y}_{1}(x),...,\vec{y}_{n}(x) [/mm] Lösungen des homogenen Systems [mm] \vec{y}'=A(x)\vec{y} [/mm] , [mm] x\in [/mm] I
[mm] Y(x)=(\vec{y}_{1}(x),...,\vec{y}_{n}(x)) [/mm] Matrix mit den Spalten [mm] \vec{y}_{1}(x),...,\vec{y}_{n}(x)
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen: [mm] \vec{y}_{1}(x),...,\vec{y}_{n}(x) [/mm] Integralbasis [mm] \gdw [/mm] es ex. ein [mm] \mu \in [/mm] I mit [mm] detY(\mu)\not=0
[/mm]
Mein Ansatz ist folgender:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
trivial, da die Vektoren der Integralbasis linear unabhängig sind und somit ein [mm] \mu [/mm] existiert, so dass [mm] detY(\mu) \not=0
[/mm]
So richtig, oder ist es nicht trivial?
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] \mu \in [/mm] I mit [mm] detY(\mu)\not=0
[/mm]
[mm] \vec{y}_{i}(\mu)\in \IR^{n} \forall i\in [/mm] {1,...,n}
linear unabhängig sind sie, wenn die Linearkombination [mm] \summe_{i=1}^{n}c_{i}\vec{y}_{i}(\mu)=0 [/mm] nur erfüllt ist, wenn [mm] c_{1}=...=c_{n}=0 [/mm] ist.
Aber wie beweise ich das?
Gruß
Lord Pippin
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Halo,
ich habe noch einmal was versucht:
Sei [mm] c_{1}\vec{y}_{1}(\mu)+...+c_{n}\vec{y}_{n}(\mu)=\vec{y}_{0}(\mu) [/mm] ,und sei [mm] \vec{y}_{0}(\mu)=0
[/mm]
=> [mm] c_{1}\vec{y}_{1}(\mu)+...+c_{n}\vec{y}_{n}(\mu)=\vec{0}
[/mm]
Da die Determinante nach Voraussetzung [mm] \not=0 [/mm] ist, gibt es nur eine Lösung des Gleichungssystems, wenn [mm] c_{1}=...=c_{n}=0, [/mm] damit folgt die lineare Unabhängigkeit und somit sind die Vektoren [mm] \vec{y}_{1}(x),...,\vec{y}_{n}(x) [/mm] eine Integralbasis.
Ist das so korrekt?
Gruß
LordPippin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Fr 21.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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