Beweis Integral komplex konj. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $f,g:[a,b]\to\IC$ [/mm] Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise:
[mm] $\int_{a}^{b}f(x)*\overline{g(x)}\ [/mm] dx = [mm] \overline{\int_{a}^{b}\overline{f(x)}*g(x)\ dx}$
[/mm]
Gilt die Formel auch für uneigentliche Integrale? |
Hallo,
die Theorie der Integration fällt mir überhaupt nicht leicht.
Zu obiger Aussage habe ich mit folgendes überlegt: wir haben in der Vorlesung für [mm] $f:[a,b]\to\IC$ [/mm] definiert:
[mm] $\int_{a}^{b}f(x)\ [/mm] dx := [mm] \int_{a}^{b}Re(f(x))\ [/mm] dx + [mm] i*\int_{a}^{b}Im(f(x))\ [/mm] dx$.
Dann zeige ich damit einfach durch Einsetzen
[mm] $\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\ [/mm] dx = [mm] \overline{\int_{a}^{b}f(x)\ dx}$,
[/mm]
und danach
[mm] $\int_{a}^{b}f(x)*\overline{g(x)}\ [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b}\overline{\overline{f(x)}*g(x)}\ [/mm] dx = [mm] \overline{\int_{a}^{b}\overline{f(x)}*g(x)\ dx}$.
[/mm]
Geht das so?
Ich bin deswegen irritiert, weil als Hinweis zu der Aufgabe steht, man solle die Definition des Riemann-Integrals "rekapitulieren". Brauche ich das hier?
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Zu der Frage mit den uneigentlichen Integralen: Ich habe keine Ahnung, was ich dazu schreiben sollte. Ich sehe in meinen Beweisen zumindest keinen "Angriffspunkt", wo ich unterscheide, "wie riemannintegrierbar" die Integrale sind.
Was ist hier zu tun?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mi 21.04.2010 | | Autor: | fred97 |
1.
Zunächst einmal genügt es zu zeigen:
(*) [mm] \overline{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}}= \integral_{a}^{b}{\overline{f(x)}dx}
[/mm]
2.
Es gilt doch für endliche Summen:
(**) [mm] \overline{\summe_{i=1}^{n}a_i}= \summe_{i=1}^{n}\overline{a_i}
[/mm]
3.
aus [mm] z_n \to z_0 [/mm] folgt: [mm] \overline{z_n} \to \overline{z_0} [/mm]
So, nun schreib mal eine Riemannsumme für das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] hin und wende (**) an. mit 3. erhälst Du (*)
Zum uneig. Integral: dafür gilts natürlich auch (das folgt aus (*) und 3.)
FRED
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| Aufgabe | Seien f,g riemann-integrierbare, komplexwertige Funktionen [mm] f,g:[a,b]\to\IC. [/mm] Beweise:
[mm] $\left|\int_{a}^{b}f(x)*\overline{g(x)} dx\right| \le \left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{2} dx\right)^{1/2}*\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{2}dx\right)^{1/2}$ [/mm] |
Hallo fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Habe alles verstanden 
Es gibt noch eine zweite Aufgabe, die mir noch Probleme bereitet (siehe oben).
Gemäß den Hinweisen der Aufgabe soll man "die Eigenschaften von Skalarprodukten auf Vektorräumen" rekapitulieren... Es soll also wahrscheinlich darauf hinauslaufen, dass
[mm] $(f,g):=\sqrt{\int_{a}^{b}f(x)*\overline{g(x)} dx}$
[/mm]
ein Skalarprodukt über dem Raum der komplexwertigen, Riemann-integrierbaren Funktionen ist? Dann könnte ich die Schwarz'sche Ungleichung benutzen --> Aussage bewiesen.
Das Problem: Obiges ist doch gar kein Skalarprodukt, oder? Aus [mm] \int_{a}^{b}|f(x)|^{2} [/mm] dx = 0 folgt nicht notwendig f = 0. (Außer man identifiziert irgendwie alle Funktionen, die nur eine Nullmenge an Unstetigkeitsstellen haben und ansonsten 0 sind, mit f = 0; aber sowas haben wir noch nie gemacht und wir haben auch nicht das Lebesquesche Integrabilitätskriterium als Basis).
Oder kann ich doch irgendwie den Hinweis benutzen?
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Wie könnte ich sonst an den Beweis herangehen? Kann man den Beweis von der Cauchy-Schwarz-Ungleichung einfach an den jeweiligen Stellen durch die Integrale ersetzen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
f und g sind och riemannintegrierbar, deine fkt mit den endlich vielen Unstetigkeitsstellen nicht. also kannst du folgern dass f=0
das Skalarprod. ist nicht die Wurzel, sondern das Integral selbst. denn [mm] (f,f)=f^2
[/mm]
Gruss leduart.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Mi 21.04.2010 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo,
danke für deine Antwort, leduart.
> Hallo
> f und g sind och riemannintegrierbar, deine fkt mit den
> endlich vielen Unstetigkeitsstellen nicht.
Wieso nicht? Funktionen mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen sind doch Riemann-integrierbar?
> das Skalarprod. ist nicht die Wurzel, sondern das Integral
> selbst. denn [mm](f,f)=f^2[/mm]
Ok, danke für den Hinweis
Kann ich das mit dem Skalarprodukt nun probieren oder nicht?
(Siehe obige Frage)
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe!
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Do 22.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm][mm] (f,g):=\sqrt{\int_{a}^{b}f(x)*\overline{g(x)} dx}[/mm
[/mm]
Ohne die Wurzel.
> ein Skalarprodukt über dem Raum der komplexwertigen,
> Riemann-integrierbaren Funktionen ist? Dann könnte ich die
> Schwarz'sche Ungleichung benutzen --> Aussage bewiesen.
Bzw. den Beweis immitieren.
> Das Problem: Obiges ist doch gar kein Skalarprodukt, oder?
Das mit der Wurzel nicht, dass ohne die Wurzel ist fast eines - aber die Definitheitheit fehlt. Das muss man bei der Imitation des Beweises der CSU berücksichtigen.
> Aus [mm]\int_{a}^{b}|f(x)|^{2}[/mm] dx = 0 folgt nicht notwendig f =
> 0.
Nein, aber, da g beschränkt (durch zB C) ist, folgt [m]|\int f*g|\le \int |f|*C[/m], also sollte man recht schnell sehen können, das obige Gleichung dann [m9]=0[/m] ist (man muss wohl was tun, um das aus [m]\int f^2 = 0[/m] zu folgern).
Rest ist dann Imitation des Beweises der CSU.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Du kannst es so machen: Wähle eine Zerlegung Z= [mm] (x_0, [/mm] ..., [mm] x_n) [/mm] von [a,b] und einen passenden Satz von Zwischenpunkten. Damit schreibst Du die zugeh. Riemmannsummen für die integrale in
(*)$ [mm] \left|\int_{a}^{b}f(x)\cdot{}\overline{g(x)} dx\right| \le \left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{2} dx\right)^{1/2}\cdot{}\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{2}dx\right)^{1/2} [/mm] $
hin. Für diese endlichen Summen gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungl. Daraus folgt dann durch grenzübergang die Ungl. (*)
FRED
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Hallo SEcki, hallo fred,
danke für eure Antworten!
Daraus werde ich einen Beweis zusammenbasteln können
Hier steht jetzt noch die Frage, ob diese Ungleichung wieder auch für uneigentliche Integrale gilt...
- Wenn es um Grenzübergänge der Form "Intervallgrenzen gegen unendlich" geht, würde ich sagen, ja (dann würde man einfach verifizieren, dass die Formel für alle b gilt, was ich wahrscheinlich voraussetzen darf).
- Wenn aber die Funktionen Pole haben etc., also gegen unendlich gehen, wenn eine Grenze gegen eine feste Zahl geht, weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll (und das ist ja wahrscheinlich das Hauptanliegen der Frage).
Muss ich wieder mit Summen arbeiten?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 24.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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