Beweis Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige, dass für eine konvergente Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] mit nichnegativen Gliedern [mm] a_{n}\in\IR [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm] auch die Reihen [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{k} [/mm] konvergent sind. |
Hallo!
Ich bin mir ein wenig unsicher bei meinem Beweis, da er so "einfach" ist. Also, ich zeig ihn mal:
Da [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergent, ist [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge. Außerdem gilt [mm] $a_{n} \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Damit existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] $a_{n} [/mm] < 1$ für alle $n > N$.
Für alle $n >N$ ist dann auch
[mm] $a_{n}^{k} [/mm] < [mm] a_{n}$
[/mm]
wegen [mm] $a_{n}<1$. [/mm] Damit habe ich eine konvergente Majorante zu [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{k} [/mm] gefunden, nämlich [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.
[/mm]
q.e.d.
Geht das so, oder habe ich irgendwas schlimmes übersehen?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
perfekt gelöst. Gute Idee!
Liebe Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:10 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass für eine konvergente Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] mit nichnegativen Gliedern
> [mm]a_{n}\in\IR[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] auch die Reihen
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{k}[/mm] konvergent sind.
> Hallo!
>
> Ich bin mir ein wenig unsicher bei meinem Beweis, da er so
> "einfach" ist. Also, ich zeig ihn mal:
>
> Da [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] konvergent, ist [mm]a_{n}[/mm] eine
> Nullfolge. Außerdem gilt [mm]a_{n} \ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
> Damit existiert ein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]a_{n} < 1[/mm] für alle [mm]n > N[/mm].
>
> Für alle [mm]n >N[/mm] ist dann auch
>
> [mm]a_{n}^{k} < a_{n}[/mm]
Ich kann unserem reverend nur zustimmen, Du hast die Aufgabe prima gelöst, bis auf eine Kleinigkeit. Du schreibst:
"Für alle [mm]n >N[/mm] ist dann auch [mm]a_{n}^{k} < a_{n}[/mm]"
Der Fall [mm] a_n [/mm] = 0 (für "einige" n) ist ja nicht ausgeschlossen. Also besser:
"Für alle [mm]n >N[/mm] ist dann auch [mm]a_{n}^{k} \le a_{n}[/mm]"
FRED
>
> wegen [mm]a_{n}<1[/mm]. Damit habe ich eine konvergente Majorante zu
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{k}[/mm] gefunden, nämlich
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}.[/mm]
>
> q.e.d.
>
> Geht das so, oder habe ich irgendwas schlimmes übersehen?
>
> Danke für Eure Hilfe,
> Grüße,
> Stefan
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Hallo reverend,
hallo Fred,
danke für Eure Antworten!
> Du hast die
> Aufgabe prima gelöst, bis auf eine Kleinigkeit. Du
> schreibst:
>
> "Für alle [mm]n >N[/mm] ist dann auch [mm]a_{n}^{k} < a_{n}[/mm]"
>
> Der Fall [mm]a_n[/mm] = 0 (für "einige" n) ist ja nicht
> ausgeschlossen. Also besser:
>
> "Für alle [mm]n >N[/mm] ist dann auch [mm]a_{n}^{k} \le a_{n}[/mm]"
Danke, das ist mir jetzt auch aufgefallen. Es ist wahrscheinlich allgemein besser, wenn ich ein kleinergleich-Zeichen verwende, weil ja auch k = 1 sein könnte, und dann ist es sicher nicht echt kleiner 
Grüße,
Stefan
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