Beweis Korrektur < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen sie folgende Aussage:
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M (Schwerpunkt des Dreiecks). Der Punkt M teilt jede Strecke vom Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seitenmitte im Verhältnis 1:1 |
Hi,
ich hab meinen "Beweis" mal eingescannt, wäre toll, wenn mal jemand drüber schaut:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße,
exeqter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mo 04.02.2008 | | Autor: | weduwe |
hallo, das kann man sehr schlecht erkennen.
aber im prinzip sollte es passen.
ich würde es so angehen:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b}
[/mm]
dann hast du
[mm] \overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AS}=\lambda\overrightarrow{AM}_a=\lambda\cdot (\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}))
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SB}=\mu\overrightarrow{M_bB}=\mu\cdot (\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b})
[/mm]
und damit im vektorzug ASBA, bereits nach den linear unabhängigen vektoren sortiert:
[mm] \vec{a}(\lambda-\frac{\lambda}{2}+\mu-1)+\vec{b}(\frac{\lambda}{2}-\frac{\mu}{2})=\vec{o}
[/mm]
wegen der linearen unabhängigkeit müssen BEIDE faktoren null werden:
daraus hast du [mm] \lambda=\mu [/mm] und [mm] \lambda=\frac{2}{3},
[/mm]
also teilt der schwerpunkt die seitenhalbierenden [mm] s_a [/mm] und [mm] s_b [/mm] im verhältnis [mm]t=2:1[/mm].
nun mußt du noch zeigen, dass auch [mm] s_c [/mm] durch S geht und die seite c teilt:
[mm] \overrightarrow{CS}=\overrightarrow{AS}-\vec{b}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}_a-\vec{b}=\frac{\vec{a}-2\vec{b}}{3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}+\rho\overrightarrow{CS}-\sigma\vec{a}=\vec{o}
[/mm]
wieder zusammenfassen usw. ergibt [mm] \rho=\frac{3}{2} [/mm] und [mm] \sigma=\frac{1}{2}, [/mm] wie gewünscht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Di 05.02.2008 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
danke für deine Antwort. Es tut mir leid, wenn man es schlecht lesen konnte, aber da ich das ganze gerade erst fertig gestellt hatte, war ich nicht in der Stimmung das ganze gleich wieder abzutippen, ist doch immer ziemlich langwierig, naja nächstes mal beiße ich in den sauren Apfel.
Vielen Dank nochmals,
exeqter
|
|
|
|
