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| Aufgabe | Ist [mm] \gamma' [/mm] stetig auf [a,b], dann ist [mm] \gamma [/mm] rektifizierbar und es gilt:
[mm] L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{l\gamma'(t)l dt}. [/mm] |
Hallo, ich versuche gerade den Beweis zum oben genannten Satz nachzuvollziehen und hänge an der folgenden Abschätzung:
Da gamma' stetig ist gilt:
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] \delta [/mm] so dass
[mm] l\gamma'(s) [/mm] - [mm] \gamma'(t)l [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] ls-tl<\delta [/mm] gilt.
Sei [mm] P=\{x_0, ..., x_n\} [/mm] eine Partition von [a,b] mit [mm] \Delta x_i [/mm] < [mm] \delta [/mm] für alle i. Für [mm] x_{i-1} \le [/mm] t [mm] \le x_{i} [/mm] folgt dann
[mm] l\gamma'(t)l \le l\gamma'(x_{i})l+\varepsilon
[/mm]
Also gilt:
[mm] \integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{l\gamma'(t)l dt}\le [/mm]
[mm] l\gamma'(x_{i})l\Delta x_i +\varepsilon\Delta x_i [/mm]
Diese letze Umformung verstehe ich nicht. Es ist klar, dass auf beiden Seiten mit [mm] $\Delta x_i$ [/mm] multipliziert wurde, aber wie kommt man auf das Integral. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Da ich keine Betragszeichen gefunden habe, habe ich kleine l verwendet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Mo 21.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist [mm]\gamma'[/mm] stetig auf [a,b], dann ist [mm]\gamma[/mm]
> rektifizierbar und es gilt:
> [mm]L(\gamma)=\integral_{a}^{b}{l\gamma'(t)l dt}.[/mm]
> Hallo, ich
> versuche gerade den Beweis zum oben genannten Satz
> nachzuvollziehen und hänge an der folgenden Abschätzung:
>
> Da gamma' stetig ist gilt:
> Für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]\delta[/mm] so dass
> [mm]l\gamma'(s)[/mm] - [mm]\gamma'(t)l[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für [mm]ls-tl<\delta[/mm]
> gilt.
> Sei [mm]P=\{x_0, ..., x_n\}[/mm] eine Partition von [a,b] mit
> [mm]\Delta x_i[/mm] < [mm]\delta[/mm] für alle i. Für [mm]x_{i-1} \le[/mm] t [mm]\le x_{i}[/mm]
> folgt dann
>
> [mm]l\gamma'(t)l \le l\gamma'(x_{i})l+\varepsilon[/mm]
>
> Also gilt:
> [mm]\integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{l\gamma'(t)l dt}\le[/mm]
> [mm]l\gamma'(x_{i})l\Delta x_i +\varepsilon\Delta x_i[/mm]
>
> Diese letze Umformung verstehe ich nicht. Es ist klar, dass
> auf beiden Seiten mit [mm]\Delta x_i[/mm] multipliziert wurde, aber
> wie kommt man auf das Integral. Für jede Hilfe wäre ich
> sehr dankbar.
>
> Da ich keine Betragszeichen gefunden habe, habe ich kleine
> l verwendet.
Für die Betragszeichen tippst du einfach einen senkrechten Strich ein: |\gamma'(t)| ergibt [mm]|\gamma'(t)|[/mm].
Zu deiner Frage: aus [mm]|\gamma'(t)| \le |\gamma'(x_{i})|+\varepsilon[/mm] folgt
[mm] \integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{|\gamma'(t)| dt}\le\integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{(|\gamma'(x_{i})|+\varepsilon) dt} [/mm]
Auf der rechten Seite hängt der Integrand nicht von t ab, du kannst ihn also vor das Integral ziehen:
[mm] \integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{(|\gamma'(x_{i})|+\varepsilon) dt} = (|\gamma'(x_{i})|+\varepsilon)\integral_{x_{i-1}}^{x_{i}}{dt} = (|\gamma'(x_{i})|+\varepsilon)(x_{i}-x_{i-1})[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank. Das hat mir sehr weiter geholfen!
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Jetzt habe ich doch noch einmal eine Frage...
Warum darf ich einfach die Integrale auf die Ungleichung setzen. Gilt das immer? Oder nur unter bestimmten Vorraussetzungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 24.04.2008 | | Autor: | taura |
Hallo!
> Warum darf ich einfach die Integrale auf die Ungleichung
> setzen. Gilt das immer? Oder nur unter bestimmten
> Vorraussetzungen?
Das gilt für das Riemann-Integral immer:
Sind f und g auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar mit [mm] $f(x)\le [/mm] g(x)$ für alle [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] dann gilt [mm] $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^bg(x)dx$.
[/mm]
Diese Eigenschaft heißt Monotonie des Riemann-Integrals.
Grüße taura
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