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Hallo!
Ich habe einige Fragen zu einigen Bemerkungen aus einem Buch (Soeren Asmussen, Applied probability and queues, ![[]](/images/popup.gif) Hier, Seite 3,4,5):
Eine Markov-Kette [mm] X_0,X_1,X_2,... [/mm] wobei die [mm] X_i [/mm] Werte aus dem Zustandsraum [mm] \{i,j,k,...\} [/mm] annehmen, hat die Eigenschaft:
[mm]\IP(X_0 = i_0,X_1 = i_1,...,X_n = i_n) = \mu_{i_0}*p_{i_0,i_1}*p_{i_1,i_2}*...*p_{i_{n-1},i_n}[/mm]
1. Frage: Ist das wichtig, dass hier n steht oder kann n beliebig sein? Das ist mir noch nicht so klar.
Man schreibt für den Fall, dass [mm] X_0 [/mm] degeneriert an der Stelle i ist, [mm]\IP_{i}[/mm] sodass [mm] \IP_{i}(X_0=i) [/mm] = 1.
2. Frage: Heißt das, dass [mm] \IP_i [/mm] eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung ist?
Es gilt dann die starke Markov-Eigenschaft: (F die kanonische Filtration der [mm] X_i [/mm] ) Für eine beliebige Stoppzeit [mm] \sigma [/mm] gilt auf [mm] \{\sigma < \infty\} [/mm] :
[mm]E[h(X_\sigma,X_{\sigma+1},...)|F_{\sigma}] = E_{X_{\sigma}}[h(X_0,X_1,...)][/mm].
Nun wird definiert: [mm]\tau(i) := \inf\{n\ge 1: X_n = i\}[/mm]. Dann heißt [mm]i[/mm] rekurrent, wenn [mm]\IP_{i}(\tau(i) < \infty) = 1[/mm]. Für einen Beweis wird nun folgendes gezeigt und hier kommen meine (hauptsächlichen) Fragen:
Definiere [mm]\tau(i,1) := \tau(i)[/mm], [mm]\tau(i,k+1) := \inf\{n > \tau(i,k):X_n = i\}[/mm], [mm]\theta := \IP_{i}(\tau(i,1) < \infty)[/mm]. Dann gilt:
[mm]\IP_{i}(\tau(i,k+1) < \infty) = E_{i}\IP(\tau(i,k+1)<\infty, \tau(i,k) < \infty | F_{\tau(i,k)})[/mm]
3. Frage: Der Schritt ist mir im Moment noch schleierhaft. Mein Problem ist, dass hier immer zwischen Bezeichnungen mit Index i herumgesprungen wird... Meine Ideen für Zwischenschritte:
[mm] $\IP_{i}(\tau(i,k+1) [/mm] < [mm] \infty)= \IP_{i}(\tau(i,k+1) [/mm] < [mm] \infty, \tau(i,k) [/mm] < [mm] \infty) [/mm] + [mm] \underbrace{\IP_{i}(\tau(i,k+1)<\infty, \tau(i,k) = \infty)}_{=0} [/mm] = [mm] E_{i}[1_{\{\tau(i,k+1) < \infty, \tau(i,k) < \infty\}}] [/mm] = [mm] E_{i}\Big[E[1_{\{\tau(i,k+1) < \infty, \tau(i,k) < \infty\}} [/mm] | [mm] F_{\tau(i,k)}]\Big] [/mm] = [mm] E_{i}\Big[\IP(\tau(i,k+1) [/mm] < [mm] \infty, \tau(i,k) [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] F_{\tau(i,k)})\Big]$
[/mm]
Ich glaube aber nicht, dass die letzten Schritte stimmen...
[mm]= E_{i}[\IP(\tau(i,k+1)<\infty | F_{\tau(i,k)})*1_{\{\tau(i,k) < \infty\}}][/mm]
4. Frage: Das ist doch einfach, weil die Indikatorfunktion messbar bzgl. der Sigma-Algebra ist, oder?
[mm]= E_{i}[\IP_{X_{\tau(i,k)}}(\tau(i,1)<\infty)*1_{\{\tau(i,k) < \infty\}}][/mm]
5. Frage: Hier wurde die Markov-Eigenschaft angewendet? Und zwar mit [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau(i,k)$, [/mm] aber was genau ist denn die Funktion h? Ist das: [mm] $h(x_0,x_1,x_2,...) [/mm] = [mm] \inf_{n \ge 1: x_n = i}$ [/mm] ?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 05.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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