Beweis Maximum im Raum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 05.05.2015 | | Autor: | laupl |
Hallo,
ich hätte mal wieder eine Frage aus der Praxis. Deswegen mit von mir beschriebener Aufgabe. Werde versuchen alles so exakt wie möglich zu beschreiben. Wenn was unklar ist, bitte nachfragen.
Folgende Größen tauchen auf:
Ein Vektor [mm] $\boldsymbol{h}_k \in \IC$ [/mm] der Dimension [mm] $[N\times [/mm] 1]$. Die $N$ Einträge von [mm] $\boldsymbol{h}_k$ [/mm] haben die Form [mm] $e^{-jxr_k}$. [/mm] Dabei ist $j$ die imaginäre Einheit, $x [mm] \in \IR$ [/mm] eine Variable und [mm] $r_k \in \IR$ [/mm] eine Länge, die von $k$ anhängig ist.
[mm] $\boldsymbol{C} \in \IC$ [/mm] ist eine hermitesche Matrix der Dimension [mm] $[N\times [/mm] N]$.
[mm] $A_k=\boldsymbol{h}^{H}_k\boldsymbol{C}\boldsymbol{h}_k$ [/mm] ist die Funktion, um die es geht. $k$ beschreibt eine Position im Raum.
Mich interessiert nun eine bestimmte Position $k=g$. Wenn ich [mm] $A_{k=g}$ [/mm] berechne, erhalte ich eine Zahl [mm] $\in \IR$, [/mm] die nicht von $k$ abhängt. Also ist die Ableitung [mm] $\frac{\partial}{\partial k}A_{k=g}=0$, [/mm] womit ich die notwendige Bedingung für ein Extremum bei $k=g$ hätte. Ich möchte nun aber ein Maximum bei $k=g$ beweisen. Dazu müsste ich [mm] $A_k$ [/mm] ja zweimal partiell nach $k$ ableiten und schauen, welcher Wert sich in der zweiten Ableitung bei $k=g$ ergibt. Leider stehe ich völlig auf dem Schlauch, wie ich diese Vektor-Matrix-Multiplikation korrekt ableiten muss ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Freue mich auf eure Antworten. Dankeschön! Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 05.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie kommt mir dein vorgehen so vor wie: ich habe eine funktion f(x,y) z.B. [mm] f(x,y)=x^2*y.
[/mm]
wenn ich x=3 einsetze hängt f nicht mehr von x ab f(3,y)=9y da das nicht mehr von x abhängt ist df/dx=0 also bei x=3 eine kritische stelle.
Was interpretiere ich falsch? , Wenn du ein festes k einsetzt ist doch klar, dass das Ergebnis nur von g nicht von k abhängt?
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 05.05.2015 | | Autor: | laupl |
Hi,
du interpretierst nichts falsch. Ich habe einen Denkfehler gemacht. Natürlich muss ich erst einmal ableiten, davon die Nullstelle finden und mir dann die zweite Ableitung anschauen um zu sehen, ob es ein Maximum ist oder nicht.
Wie leite ich also [mm] $A_k=\boldsymbol{h}_k^H\boldsymbol{Ch}_k$ [/mm] zweimal partiell nach $k$ richtig ab? Ich hatte noch vergessen zu erwähnen, dass $H$ komplex konjugiert und transponiert bedeutet.
Und noch etwas habe ich nicht korrekt dargestellt. Die Einträge von [mm] $\boldsymbol{h}_k$ [/mm] haben die Form [mm] $e^{-1jxr_{k,n}}$. [/mm] Die Länge [mm] $r_{k,n}$ [/mm] ist also auch von $n=1,2,...,N$ abhängig.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 05.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
nach Multiplikation ist [mm] A_k [/mm] dich eine komplexe Funktion [mm] A(r_k,x) [/mm] was willst du da maximieren? ich verstehe nichts, wie kommt dein k in die Funktion ausser durch [mm] r_{k,n}=r_n(k) [/mm] dabei sind x,r Vektoren im [mm] R^n? [/mm] oder reelle Größen, wenn du sagst k "beschreibt" den Ort in welcher Weise?
ich versteh leider nicht, was du machst.
Gru0 leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:46 Mi 06.05.2015 | | Autor: | laupl |
Hi,
nein, [mm] $A(r_k,x)$ [/mm] ist reell. Dadurch, dass [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] hermitesch ist und von links mit [mm] $\boldsymbol{h}_k^H$ [/mm] und von rechts mit [mm] $\boldsymbol{h}_k$ [/mm] multipliziert wird.
$k$ beschreibt einen Punkt im 3 dimensionalen Raum. [mm] $r_k$ [/mm] ist ein Abstand zwischen diesem Punkt und einem anderen Punkt. Und $x$ ist ebenfalls reell, ja.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Mi 06.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du eine explizite Funktion r(k) oder wie willst du nach k diferenzieren, , wie kann k als reelle Zahl einen Punkt im Raum beschreiben?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Do 07.05.2015 | | Autor: | laupl |
Hallo,
momentan ist die Lösung des Problems nicht mehr so relevant für mich. Ich habe einen anderen Weg gefunden, die dahinterstehende Aufgabe zu lösen.
Kann gut sein, dass mich das Problem aber nochmal einholt. Dann werde ich es mit den erhaltenen Anmerkungen noch genauer beschreiben.
An dieser Stelle jedenfalls schonmal vielen Dank für die Bemühungen!
Grüße
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