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| Aufgabe | Seien A, B Teilmengen einer Grundmenge X, und [mm] M^c [/mm] := X \ M bezeichne das Komplement einer Teilmenge M [mm] \subset [/mm] X in X. Zeigen Sie unter Verwendung von Teil a), dass A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = A gilt.
Aufgabenteil a war der Beweis mittels Wahrheitstabelle, dass A [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee [/mm] B) = A. |
Mir ist nicht klar, was der erste Teil in der Aufgabenstellung für eine Relevanz hat. Wenn es nur um den Beweis geht, dass A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = A [mm] \gdw [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (A [mm] \vee [/mm] B) = A, reicht ja einfach:
[mm] \cup \gdw \vee
[/mm]
[mm] \cap \gdw \wedge
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
> [mm]\cup \gdw \vee[/mm]
>
> [mm]\cap \gdw \wedge[/mm]
Ja, das wird der Kern des Beweises werden.
Allerdings kannst du diese Äquivalenz nicht einfach so hinschreiben, denn weder [mm] $\cup$ [/mm] noch [mm] $\vee$ [/mm] ist eine logische Aussage.
Was du allerdings sagen kannst, ist $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B$.
Nun bedenke nochmal, wie man Mengengleichheit zeigt, dann solltest du den Beweis hinkriegen.
Um es nochmal zu betonen: Ja, du benutzt das, was du oben angegeben hast.
Aber das tust du in einem größeren formalen Rahmen, nicht einfach so.
lg
Schadow
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So? War in der VL leider krank, muss mir das nun selbst zusammenreimen.
//Behauptung formulieren
Zu zeigen gilt, dass A $ [mm] \cap [/mm] $ (A $ [mm] \cup [/mm] $ B) = A
//Beweisanfang
$ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B $
$ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B $)
Dann würde ich mit A,B eine Wahrheitstabelle machen und so zeigen, dass es stimmt. Das ist aber wohl nicht gefragt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mi 31.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo gosejohann,
> //Behauptung formulieren
> Zu zeigen gilt, dass A [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) = A
>
> //Beweisanfang
> [mm]x \in A \cup B \gdw x \in A \vee x \in B[/mm]
> [mm]x \in A \cap (A \cup B) \gdw x \in A \wedge (x \in A \vee x \in B [/mm])
>
> Dann würde ich mit A,B eine Wahrheitstabelle machen und so
> zeigen, dass es stimmt. Das ist aber wohl nicht gefragt.
Doch. Stelle eine Wahrheitstabelle für [mm] $A'\wedge(A'\vee [/mm] B')$ auf, wobei $A'$ für die Aussage [mm] $x\in [/mm] A$ und $B'$ für die Aussage [mm] $x\in [/mm] B$ steht.
Wenn du alles richtig machst, solltest du [mm] $A'\wedge(A'\vee B')\gdw [/mm] A'$ erhalten.
Insgesamt erhältst du so:
[mm] $x\in A\cap(A\cup B)\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in B)\gdw A'\wedge(A'\vee B')\gdw A'\gdw x\in [/mm] A$.
Viele Grüße
Tobias
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