Beweis Metrischer Raum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Charakterisierung des Abschlusses einer Menge A [mm] \subset [/mm] X, wobei (X,d)=metrischer Raum sei:
cl(a)={x [mm] \in [/mm] X | dist(x,A)=0} |
Hallo,
könnt ihr mir weiterhelfen?
Ich darf benutzen das folgende:
Sei(X,d)=metr. Raum , A [mm] \subset [/mm] X
cl(A)= {x [mm] \in [/mm] X | [mm] \exists (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] A, [mm] n\in \IN, x_n [/mm] -> x}
Ich probier mich mal mit dem Beweis:
Sei A [mm] \subset [/mm] X, weiter x [mm] \in [/mm] X
-> x [mm] \subset [/mm] A. Nach Def von cl(A) [mm] \exists (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] A, n [mm] \in \IN, [/mm] sowie [mm] x_n [/mm] -> x.
-> [mm] x_n \subset [/mm] X. Da gilt dist(x,A)=|A-x|
[mm] x_n(\in A)=x_1,...,x_m, [/mm] m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \to dist(x,A)=|x_n- [/mm] x|
Ausnutzen von [mm] x_n \to [/mm] x
[mm] x_1->x [/mm] , [mm] x_2->x [/mm] , ... [mm] x_n \to [/mm] x
[mm] \to [/mm] O.b.d.A [mm] x_n [/mm] -> x = 0 (konvergenz zu 0)
[mm] \to [/mm] x [mm] \subset [/mm] A -> |A-x|=0
[mm] \gdw [/mm] dist(x,A)=0
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen..
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Fr 12.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Sei A [mm]\subset[/mm] X, weiter x [mm]\in[/mm] X
Ist das x nicht in cl(A)?!
> -> x [mm]\subset[/mm] A.
x ist eher ein Element von A.
> Nach Def von cl(A) [mm]\exists (x_n)[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm]
> A, n [mm]\in \IN,[/mm] sowie [mm]x_n[/mm] -> x.
Also ist [m]x\in cl(A)[/m]?
>
> -> [mm]x_n \subset[/mm] X. Da gilt dist(x,A)=|A-x|
Was soll A-x denn sein? Das ist nicht definiert, es gibt kein -, das eine ist eine Menge, das andere einfach ein Element.
> [mm]x_n(\in A)=x_1,...,x_m,[/mm] m [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\to dist(x,A)=|x_n-[/mm] x|
Wieso geht die Folge nur bis m? Was soll das mit dem dist bedeuten?
> Ausnutzen von [mm]x_n \to[/mm] x
> [mm]x_1->x[/mm] , [mm]x_2->x[/mm] , ... [mm]x_n \to[/mm] x
Nein, das ist ganz falsche Notation. Einzelne Elemente konvergieren nicht, sondern nur eine Folge.
> [mm]\to[/mm] O.b.d.A [mm]x_n[/mm] -> x = 0 (konvergenz zu 0)
Es gibt keine 0 in einem metrischen Raum ohne Weiteres, also geht da snicht.
> [mm]\to[/mm] x [mm]\subset[/mm] A -> |A-x|=0
> [mm]\gdw[/mm] dist(x,A)=0
Siehe oben - was willst du hier ausdrücken?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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