Beweis: Polynom 3. Grades < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Domino |
| Aufgabe | | Hat die Ableitung eines Polynoms 3. Grades genau eine Nullstelle, dann liegt dort ein Sattelpunkt vor. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich weiß leider nicht, wie ich diesen Beweis durchführen soll.
Meine bisherige Erarbeitung:
Ableitungen eines Polynoms 3. Grades :
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
f'''(x)=6a
Bedingungen für einen Sattelpunkt:
f'(x)=0
f''(x)=0
f'''(x) ungleich 0
Somit:
[mm] 0=3ax^2+2bx+c [/mm]
[mm] 0=x^2+2bx/3a+c/3a
[/mm]
Einsetzen in die p-q-Formel...
Doch wie geht es ab diesem Schritt weiter?
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Keine Ahnung, ob das hilft, aber mir wäre da folgende Idee gekommen:
Wenn die Ableitung nur eine Nullstelle hat, heißt das doch, dass es höchstens ein Extremum gibt. Wenn es aber nur ein Extremum gibt, kann die Funktion aber nicht punktsymmetrisch sein, oder? Und genau das ist doch ein Polynom dritten Grades... Also kann es sich nicht um einen Extremumpunkt handeln.
Allerdings müsste diese Überlegung wohl noch etwas genauer durchdacht werden...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 29.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/mm]
Also nach Vorraussetzung lässt sich das ja eher so schreiben: [m]f'(x)=\alpha*(x-\gamma)^2, \alpha\neq 0[/m]. Was kannst du jetzt über die Monotonie dieser Funktion aussagen? Was ist also mit Extrema im Inneren?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Domino |
Ich verstehe nun jedoch die andere Schreibweise nicht.
Ich würde ja zudem gerne wissen, ob mein Lösungsvorschlag richtig ist und wie ich an diesem weiterarbeiten kann.
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Bei dieser Aufgabe wirst du mit Rechnen alleine nur schwer zu einem Ergebnis bekommen.
Überlege dir besser einmal, wie vorhin schon vorgeschlagen, wie eine solche Funktion aussieht und welche Eigenschaften sie hat.
Ein paar Tipps:
1) Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist eine Parabel (wie von dir richtig abgeleitet)
2) Eine Parabel, die genau einen Nullpunkt hat, berührt mit ihrem Scheitel die x-Achse
Welche Folgerungen kannst du daraus ziehen. Welche Eigenschaften weist die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades dann auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Domino
> Hat die Ableitung eines Polynoms 3. Grades genau eine
> Nullstelle, dann liegt dort ein Sattelpunkt vor.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine bisherige Erarbeitung:
>
> Ableitungen eines Polynoms 3. Grades :
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/mm]
> f''(x)=6ax+2b
> f'''(x)=6a
>
> Bedingungen für einen Sattelpunkt:
> f'(x)=0
> f''(x)=0
> f'''(x) ungleich 0
>
> Somit:
> [mm]0=3ax^2+2bx+c[/mm]
> [mm]0=x^2+2bx/3a+c/3a[/mm]
>
> Einsetzen in die p-q-Formel...
Tu das, eine Lösung heisst, die Wurzel verschwindet, dann siehst du, dass der Rest, also die EINE Lösung auch Lösung von f''=0 ist und f''' [mm] \not=0 [/mm] hast du ja schon!
Klar?
Gruss leduart
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