Beweis: Positivität einer Norm < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 19.04.2005 | | Autor: | libero |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo!
Ich habe die Aufgabe, folgendes zu zeigen:
Für [mm]d(p,q) = ||p-q||[/mm] gilt:
[mm]d(p,q) \ge 0[/mm].
Ich muss also die Positivität einer (euklidischen) Norm zeigen. p und q sind aus einem Vektorraum (mit Skalarprodukt) über R oder C.
Mein Problem ist: Da [mm]||u|| = \wurzel{}[/mm] weiß ich nicht, wie ich ausschliessen kann, dass die Wurzel nicht negativ sein darf. Immerhin hat ja [mm]\wurzel{x}[/mm] auch eine negative reelle Lösung, wenn x > 0.
Gruß,
Michael
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Gruß!
Also, im Grunde ist das durch die Definition klar... gegeben ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum $V$, dann ist die Form positiv definit, das heißt für $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not= [/mm] 0$ ist [mm] $\langle [/mm] v, [mm] v\rangle [/mm] > 0$ und reell und damit ist [mm] $\sqrt{\langle v, v\rangle } [/mm] = : [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel$ [/mm] definiert - und gemeint ist dabei immer die positive Wurzel! Denn eine Norm ist auch nur dann eine Norm, wenn sie positiv ist...
Lars
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