Beweis, Potenzgesetze < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für [mm]x > 0, m, n, \in\IN: (x^n)^(1/m) = (x^m)^(1/n) [/mm] gilt, d.h. [mm]x^q[/mm] für rationale q und positive x wohldefiniert ist.
Weiterhin definiert man [mm] [mm] 0^q=0 [/mm] für [mm] q\in\IQ, [/mm] q > 0 [/mm]. Wir haben somit [mm] x^q[/mm] für rationale q und positive x definiert. |
Hallo,
Das ist ja sicher nicht so schwer... kann mir trotzdem jemand einen Gedankenanstoß geben?
Danke und LG, Fredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 05.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich glaube, du hast dich irgendwo verschrieben, denn so, wie es dort steht gilt es nicht
Nimm mal m=3, n=2:
[mm] (x^{3})^{\bruch{1}{2}}=x^{\bruch{3}{2}}\red{\ne}x^{\bruch{2}{3}}=(x^{2})^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Ansonsten: die Beweisführung läuft über die Anwendung diverser Potenzgesetze und evtl. der Tatsache, dass für [mm] x,y\in\IQ [/mm] gilt:
x*y=y*x und x+y=y+x.
Marius
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Hallo Marius,
Danke für deine Antwort. Auch wenn das Programm sich ja etwas weigert, es stimmt schon, so wie ich es geschrieben habe. Nur ich denke mir, klar wenn man eine Potenz potenziert, dann nimmt man die beiden Werte mal. Aber so einfach ist das doch nicht zu beweisen... das wäre zu simpel.
Stimmt, wenn man n= 2 und m=3 oder umgekehrt nimmt, stimmt das nicht :-/.
LG, Fredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 05.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du willst zeigen, dass [mm] x^{q} [/mm] auch für [mm] q\not\in\IN [/mm] definiert ist.
Dann zerlege mal q in einen Bruch
Also [mm] q=\bruch{z}{n}, [/mm] mit [mm] z,n\in\IN [/mm] Dann ist [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in [mm] \IN
[/mm]
Dann gilt:
[mm] x^{q}=x^{\bruch{z}{n}}=x^{z*\bruch{1}{n}} [/mm] und diese beiden Faktoren sind definiert, da [mm] z\in\IN [/mm] und [mm] \bruch{1}{n}\in\IN
[/mm]
Marius
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