Beweis Quadratur des Kreises < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
schreibe in Mathe eine Facharbeit über die Quadratur des Kreises durch die Jahrhunderte und habe eine Frage.
Wollte auch die Näherungslösung von Franco von Lüttich vorstellen. Dieser nahm ja einen Kreis mit d=14 und teilte diesen in 44sektoren und machte daraus ein Rechteck mit den Seitenlängen 11 und 14.
Dies verstehe ich noch. Doch ich habe ein Buch in dem steht, das Franco von Lüttich unterscheidet, ob Flächen konstruktiv, inhaltlich oder auf beide Arten gleich sein können. Konstruktiv ist es seiner Meinung nach möglich (er löst es wie oben beschreiben), inhaltlich kann aber Kreis und Quadrat nicht gleich sein.
Die Erklärung steht wie folgt in dem Buch "Mathematik im Abendland" von Helmuth Gericke:
"Kann ein Kreis einem Quadrat zahlenmäßig gleich sein? Man erhält die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 14, indem man dessen Hälfte quadriert und mit 22/7 multipliziert, zu 154. Die Seite des Quadrats mit der Fläche 154 ist aber werder eine ganze Zahl - denn [mm] 12^2 < 154 < 13^2 [/mm] - aber auch kein Bruch. Denn [mm] (12\bruch{4}{12})^2 = (12\bruch{1}{3})^2 = 152 \bruch{1}{9} < 154 [/mm]
und [mm] (12\bruch{1}{3})^2 [/mm] = 154 + [mm] (\bruch{5}{12})^2"
[/mm]
Hier tritt schon das erste Problem auf: das mit der ganzen Zahl verstehe ich noch, doch wie kommt er genau darauf, dass es seine gewählten Brüche sind...er hätte doch genau so gut 1000tel nehmen können oder andere Brüche?
Dann geht es weiter:
"Franco überlegt allgemein: Wäre der Kreis durch einen Bruch zahlenmäßig quadrierbar, so wäre er auch durch Änderung der Maßeinheit ganzzahlig quadrierbar"
Diesen Satz verstehe ich überhaupt nicht, was meint er denn damit?
In Klammern steht dann noch folgende Erläuterung, die mir auch verschlüsselt bleibt...
"Wäre 154 = [mm] (\bruch{p}{q})^2, [/mm] p,q ganze Zahlen,
so wäre [mm] q^2*154=p^2 [/mm]
Da [mm] 154=(\bruch{d}{2})^2*\bruch{22}{7}, [/mm] brauchte man nur d durch q*d zu ersetzen. Franco beweist also, dass [mm] \wurzel{22/7} [/mm] irrational ist."
Auch diese Erklärung verstehe ich überhaupt nicht. Warum muss man denn d durch q*d ersetzen und was bringt mir das dann?
Und mein letztes Problem bei Franco von Lüttich: Er zerlegt den Umfang in 44 Stücke der Länge 1 bzw. den Kreis in 44gleich große Sektoren. Doch wie geht das konstruktiv überhaupt? Meiner Meinung nach kann man einen Kreis doch mit Zirkel und Lineal garnicht in 44Sektoren zerlegen, oder doch?
Hoffe mir kann jemand helfen und ich bedanke mich schonmal für die Antworten.
Lg, sommernacht112
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Sommernacht112,
das ist ja ein tolles Thema für eine Facharbeit. Ein bisschen umfangreich vielleicht... Andere schreiben so etwas, um Doktor(in) zu werden (Dissertation), und wenn die Arbeit wirklich umfassend ist, dann könnte das Thema für eine Habilitation genügen. Damit wird man erst einmal PD, Priv.Doz., Privatdozent(in) - und mit ein bisschen Glück dann auch irgendwann Professor(in).
Du musst also vor allem aufpassen, dass Du Dich nicht zu sehr vom Thema gefangen lassen nimmst. Ein Überblick reicht, und ein, zwei Vertiefungen sind sicher sinnvoll.
Von Franco von Lüttich, offenbar auch als Franco Leodiensis (manchmal mit dem Zusatz Scholasticus) bekannt, höre ich heute zum ersten Mal. Schon von daher danke für die Anfrage. Ich sehe, dass seine Schrift "De Quadratura Circuli Specimen" sogar im "Migne" geführt wird, in der Patrologia Latina, der großen Quellenausgabe lateinischer Kirchenväter. Mit dieser Ausgabe habe ich mich verschiedentlich beschäftigt, aber nicht im Rahmen von Mathematik.
Das 11. Jahrhundert, seine Zeit, war in verschiedener Hinsicht mit heute kaum vergleichbar. In mathematischer Hinsicht musst Du vor allem Dingen wissen, dass die griechische Mathematik fast verloren gegangen war. Erst ein Jahrhundert später kamen lateinische Übersetzungen der arabischen Überlieferungen griechischer Mathematik in Europa in Umlauf, vorerst noch zaghaft. Franco kann davon so gut wie nichts gekannt haben.
Zugleich war nicht nur die mathematische Notation noch nicht entwickelt. Er konnte nicht einmal auf die ganzen Zahlen zurückgreifen; negative Zahlen galten als nicht denkbar (wenn in einem Raum drei Personen sind und fünf davon hinausgehen, dann müssen zwei hineinkommen, damit der Raum leer ist...). Rationale Zahlen und damit Brüche waren ebenfalls keine handhabbare Größe. 17 durch drei war natürlich fünf und ließ einen Rest von 2. Trotzdem wusste man, dass bestimmte Rechnungen geschickt darstellbar waren. Natürlich war 17 durch drei das gleiche wie 51 durch neun. Schließlich ist 51=3*17 und 9=3*3. Sogar die Umformung 17*9=51*3 war denkbar und bekannt.
Dass Franco sich also daran machte, die Irrationalität von [mm] \wurzel{\bruch{22}{7}} [/mm] zu zeigen, ist ein fast unglaublicher Schritt. Er muss seinen Lehrer Adelmann bei weitem übertroffen haben. Schon der galt als hochgelehrt und war - wenn man das so übersetzen darf - selbst ein Professor der Mathematik und später Bischof. Einer der vielen Mathematiker des Mittelalters, der als Theologe sein Brot verdiente, wie auch Franco. Nur so konnte man in dieser Zeit in der Wissenschaft hauptamtlich tätig sein!
Eine letzte Vorbemerkung: die ![[]](/images/popup.gif) Kreiszahl [mm] \pi [/mm] war noch nicht bestimmt. Man wusste sehr wohl, dass der Umfang jedes Kreises ein bestimmtes Vielfaches seines Durchmessers war, aber um wieviel? Mehr als 3, das war klar und leicht nachmessbar. Die nächstbeste griechische Näherung war m.W. schon [mm] \bruch{22}{7}, [/mm] aber wir wissen nicht, ob das im 11. Jahrhundert in Europa überhaupt bekannt war. Arabische Mathematiker verwendeten diese Näherung längst selbstverständlich. Verbesserungen waren zuweilen (und oft gut!) erraten oder sehr genau gemessen, aber ein wirklicher Fortschritt ergab sich erst ab dem späten 17. Jahrhundert mit der Reihenentwicklung von [mm] \pi, [/mm] auch wenn schon Ende des 16. Jahrhunderts ungeheure Rechenleistungen vollbracht worden waren. Möglich gemacht erst durch Leibniz und Newton, haben sich hier Taylor und andere verdient gemacht, wie oben schon verlinkt.
Zu den Wundern der (noch postulierten) Kreiszahl gehörte ja, dass sie nicht nur in die Berechnung des Umfangs, sondern auch der Fläche des Kreises einging. Dort hätte man doch günstigstenfalls ihr Quadrat oder ihre Wurzel vermutet (wovon wieder nur der erste Begriff existierte; Wurzeln kamen viel später, in der Zeit von Vieta). Noch mehr: selbst das Volumen der Kugel enthielt wohl den linearen Faktor "Kreiszahl". Das war mit guter Begründung und viel Erfahrung längst vermutet, ja postuliert. Aber niemand wusste, wie groß [mm] \pi [/mm] eigentlich war.
Das ist nebenbei auch die Hintergrundgeschichte für Deine Facharbeit. Die Quadratur des Kreises ist von jeher nicht nur ein Konstruktionsproblem, sondern sozusagen fleischgewordene Hoffnung auf die geometrische Bestimmung von [mm] \pi. [/mm] Wäre sie gelungen, hätte die Mathematik andere Wege eingeschlagen. Es zeigte sich später, dass noch nicht einmal die Irrationalität von [mm] \pi [/mm] als Aussage genügte. Es stellte sich ja heraus, dass [mm] \pi [/mm] zu jeder anderen bekannten Zahl inkommensurabel ist. [mm] \pi [/mm] musste also transzendent sein.
All das stand Franco von Lüttich nicht zur Verfügung.
Auf dieser Grundlage gehe ich nun Deine Anfrage einmal durch, aber in einem neuen Beitrag. Dieser hier ist sowieso schon ein bisschen lang geworden. 
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> das ist ja ein tolles Thema für eine Facharbeit. Ein
> bisschen umfangreich vielleicht... Andere schreiben so
> etwas, um Doktor(in) zu werden (Dissertation),
Wer macht sowas? Für einen Doktor in Geschichte, nehme ich an, oder wie?!
> und wenn die
> Arbeit wirklich umfassend ist, dann könnte das Thema für
> eine Habilitation genügen. Damit wird man erst einmal PD,
> Priv.Doz., Privatdozent(in) - und mit ein bisschen Glück
> dann auch irgendwann Professor(in).
Ich bin perplex - meinst du das ernst?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo SEcki,
warum sollte ich das nicht ernst meinen? Das gehört zu den großen Problemstellungen der Geistesgeschichte. Wissenschaftshistoriker und hier natürlich besonders Mathematikhistoriker hätten (und hatten) zu diesem Thema viel zu forschen. Heute habe ich versucht, ein bisschen mehr über Franco von Lüttich und seinen Lehrmeister Adelmann zu erfahren und bin ziemlich beeindruckt. Von dieser Schule der Mathematik wusste ich noch nichts, und es scheint tatsächlich, als wäre die griechische Mathematik dort schlechterdings nicht bekannt gewesen zu sein. Natürlich haben sich z.B. euklidische Axiome durch die Überlieferung der mathematischen Wissenschaft gezogen, aber nicht alle, und auch nicht die mit ihnen verbundenen Beweise. Ob z.B. Euklids Beweis der Irrationalität von [mm] \wurzel{2} [/mm] den Lüttichern bekannt gewesen ist, konnte ich nicht so schnell ermitteln. Wahrscheinlich ist es aber nicht.
Dass die klösterliche Bildung im 11. Jahrhundert Auftrieb erfuhr und Ende des 12., Anfang des 13. Jahrhunderts zur Gründung von Universitäten führte, war mir durchaus bekannt. Dass aber das Quadrivium in diesen sogenannten "dunklen Jahrhunderten" des Mittelalters ohne arabisch-griechische Befruchtung (die ja erst durch die weltoffenen maurischen Wissenschaftler der iberischen Halbinsel geschah) so weit gediehen war, war mir nicht bewusst.
Das Thema gibt wahrscheinlich nicht nur eine Habilitation her, sondern mehrere. Insofern ist Beschränkung unbedingt nötig.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> warum sollte ich das nicht ernst meinen?
Hörte sich bloß etwas komisch an - aber dann wäre das ganze weniger Mathematik als Geschichte, und ich bin total zu frieden. Wenn man den Mathematik-Alltag so betrachtet, dann ist so eine historische Betrachtung zwar mal ganz nett, allerdings bringt man damit kaum neues heraus. Der 500. Beweis für Pythagors mag zwar nett sein, aber weiter bringen tut er der heutigen Mathematik nichts. Ich hatte wie gesagt im ersten Ansatz an eine Mathematik-Professur gedacht - und die kriegt man so (hoffentlich?!) nicht.
> Wissenschaftshistoriker und hier natürlich besonders
> Mathematikhistoriker hätten (und hatten) zu diesem Thema
> viel zu forschen.
Quadratur des Kreises? Was gibt es denn da viel interessantes? Ohne die Axiome von Euklid ist die Fragestellung ja murks ... gab es, zB in China, ähnliches?
[viel Historie]
Puh, ich bin mir gar nicht mal sicher, ob, wenn ich ehrlich bin, ich mich dafür begeistern könnte, aber sicherlich hast du recht, dass man nicht zu viel reinstecken sollte davon in die Facharbeit.
> Das Thema gibt wahrscheinlich nicht nur eine Habilitation
> her, sondern mehrere. Insofern ist Beschränkung unbedingt
> nötig.
Ob es für soviele Habilitationen reicht - keine Ahnung. Aber das Zweite ist wohl wahr.
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo Sommernacht 112,
jetzt endlich genauer zu Deiner Anfrage. Ich fand die Vorbemerkungen nötig, bevor ich hier den eigentlich mathematischen Teil erledige:
> Wollte auch die Näherungslösung von Franco von Lüttich
> vorstellen. Dieser nahm ja einen Kreis mit d=14 und teilte
> diesen in 44sektoren und machte daraus ein Rechteck mit den
> Seitenlängen 11 und 14.
Aha. Das Wort ja finde ich oben überflüssig. Ich wusste das nicht und fühle mich damit so gar nicht allein auf der Welt...
> Dies verstehe ich noch. Doch ich habe ein Buch in dem
> steht, das Franco von Lüttich unterscheidet, ob Flächen
> konstruktiv, inhaltlich oder auf beide Arten gleich sein
> können. Konstruktiv ist es seiner Meinung nach möglich (er
> löst es wie oben beschreiben), inhaltlich kann aber Kreis
> und Quadrat nicht gleich sein.
Das Buch würde mich interessieren, womöglich auch ein Scan der betreffenden Seite. Wissenschaftlich zeigt das echte Größe, erst zu zeigen, dass man es lösen kann und wie, und dann auch noch zu zeigen, warum die Lösung gar nicht stimmen kann. Franco von Lüttich beginnt mir sympathisch zu werden.
> Die Erklärung steht wie folgt in dem Buch "Mathematik im
> Abendland" von Helmuth Gericke:
Ist das dann zugleich die Literaturangabe? Verrat doch auch noch die Seite, bitte.
> "Kann ein Kreis einem Quadrat zahlenmäßig gleich sein? Man
> erhält die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser 14,
> indem man dessen Hälfte quadriert und mit 22/7
> multipliziert, zu 154.
Wohlgemerkt: [mm] \bruch{22}{7} [/mm] ist gerade die Zahl, die Franco hier für die beste Näherung von [mm] \pi [/mm] hält.
> Die Seite des Quadrats mit der
> Fläche 154 ist aber weder eine ganze Zahl - denn [mm]12^2 < 154 < 13^2[/mm]
> - aber auch kein Bruch. Denn [mm](12\bruch{4}{12})^2 = (12\bruch{1}{3})^2 = 152 \bruch{1}{9} < 154[/mm]
> und [mm](12\bruch{1}{3})^2[/mm] = 154 + [mm](\bruch{5}{12})^2"[/mm]
weder - aber auch?
Im übrigen ein Fehler beim Abschreiben. Die letzte Zeile müsste heißen:
und [mm] \blue{(12}\red{\bruch{5}{12}}\blue{)^2=154+(\bruch{5}{12})^2}
[/mm]
> Hier tritt schon das erste Problem auf: das mit der ganzen
> Zahl verstehe ich noch, doch wie kommt er genau darauf,
> dass es seine gewählten Brüche sind...er hätte doch genau
> so gut 1000tel nehmen können oder andere Brüche?
Gute Frage. Das wird nicht ersichtlich und ist, soweit von Herrn Gericke nicht angegeben, wohl nur durch die Lektüre von Francos Originalschrift zu klären.
Immerhin wissen wir nun: [mm] (12\bruch{4}{12})^2<154<(12\bruch{5}{12})^2
[/mm]
> Dann geht es weiter:
> "Franco überlegt allgemein: Wäre der Kreis durch einen
> Bruch zahlenmäßig quadrierbar, so wäre er auch durch
> Änderung der Maßeinheit ganzzahlig quadrierbar"
> Diesen Satz verstehe ich überhaupt nicht, was meint er
> denn damit?
Das ist ein bisschen hoch gegriffen. So viel kann Franco dann gar nicht zeigen. Gemeint ist aber dies: gäbe es eine Darstellung von [mm] \pi=\bruch{p}{q}, [/mm] dann würde aus einer exakten Lösung von [mm] A=\pi*r^2 [/mm] auch folgen, dass es ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi [/mm] und [mm] \a{}r [/mm] so geben muss, dass die gesamte Gleichung in ganzen (bzw. für Franco: natürlichen!) Zahlen adäquat darstellbar wäre.
In heutiger Schreibweise: sei [mm] \pi=\bruch{p}{q} [/mm] und [mm] r=\bruch{a}{b}, a,b,p,q\in \IN
[/mm]
Dann ist [mm] A=\pi*r^2=\left(\bruch{p}{q}\right)*\left(\bruch{a}{b}\right)^2=\bruch{pa^2}{qb^2} \Rightarrow A*qb^2=pa^2
[/mm]
Oder anders:
> In Klammern steht dann noch folgende Erläuterung, die mir
> auch verschlüsselt bleibt...
> "Wäre 154 = [mm](\bruch{p}{q})^2,[/mm] p,q ganze Zahlen,
> so wäre [mm]q^2*154=p^2[/mm]
Wäre die betrachtete Kreisfläche das Quadrat einer rationalen Zahl, müsste dies ja erfüllt sein. Achtung: dann wäre aber auch [mm] \pi [/mm] mit quadriert!
> Da [mm]154=(\bruch{d}{2})^2*\bruch{22}{7},[/mm]
Das ist die Anwendung der angenommenen allgemeinen Formel für die Kreisfläche mit dem postulierten Wert von [mm] \pi.
[/mm]
> brauchte man nur d
> durch q*d zu ersetzen.
Setz einmal die letzten beiden Gleichungen mit [mm] \a{}154= [/mm] zusammen:
[mm] 154=\left(\bruch{p}{q}\right)^2=\left(\bruch{d}{2}\right)^2*\bruch{22}{7}\quad |*q^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow p^2=\left(\bruch{q*d}{2}\right)^2*\bruch{22}{7}
[/mm]
Mehr ist erst einmal nicht gemeint als diese Umformung.
> Franco beweist also, dass
> [mm]\wurzel{22/7}[/mm] irrational ist."
Das ist in der Tat nicht unmittelbar einsichtig, aber wirklich gezeigt.
> Auch diese Erklärung verstehe ich überhaupt nicht. Warum
> muss man denn d durch q*d ersetzen (siehe oben) und was bringt mir das
> dann?
Das solltest Du nochmal alleine durchkauen. Hier liegt der eigentliche Knackpunkt: wieso ist nun gezeigt, dass [mm] \wurzel{22/7} [/mm] irrational ist? Wenn ein Mathematiker des 11. Jahrhunderts fand, dass es so hinreichend erklärt sei, dann solltest Du es verstehen können. Sogar Gericke fand ja offenbar, dass er den Beweis damit gut in heutige Sprache übersetzt habe. Dem kann ich noch nicht ganz zustimmen, aber ich bin sicher, dass Du es selbst so formulieren kannst, dass es noch mehr Leute verstehen können.
> Und mein letztes Problem bei Franco von Lüttich: Er zerlegt
> den Umfang in 44 Stücke der Länge 1 bzw. den Kreis in
> 44gleich große Sektoren. Doch wie geht das konstruktiv
> überhaupt? Meiner Meinung nach kann man einen Kreis doch
> mit Zirkel und Lineal garnicht in 44Sektoren zerlegen, oder
> doch?
Auch das ist eine gute Frage, die zeigt, dass Du verlässlich informiert bist. Hier ist ja genau das Problem: Franco führt eine seines Erachtens korrekte Konstruktion vor und zeigt dann, dass ihr Ergebnis nicht stimmen kann. Entweder die Konstruktion oder der Beweis müssen also falsch sein, nur kann er nicht entscheiden, was. Du aber kannst seinen Beweis nachvollziehen. Die Konstruktion muss also falsch sein. Erst Carl Friedrich Gauß hat gezeigt, dass es für die 44-Teilung keinen Weg geben kann. Du hast also Recht, aber mit allem mathematischen Sachverstand würdest Du es Franco nicht erklären können. Er könnte Dich nicht nur sprachlich nicht verstehen.
> Hoffe mir kann jemand helfen und ich bedanke mich schonmal
> für die Antworten.
> Lg, sommernacht112
Du bist dran...
Viel Erfolg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
vielen Dank für die Antwort.
Hoffe ich habe einiges richtig verstanden, bei manchem muss ich jedoch nochmal nachfragen;)
Bezüglich der Brüche die Lüttich benützt: Es ist also nicht ersichtlich, wie er auf die Brüche kommt. Werde das dann auch irgendwie in meiner Facharbeit erwähnen, ist nur ein bisschen doof, wenn ich seinen Gedankengang nicht erklären kann...
Die Umformungen die dann beschrieben werden sind mir dank der super Erklärung soweit klar, auch was Lüttich damit meint. Doch woraus man schließen kann das [mm] \wurzel{\bruch{22}{7}} [/mm] irrational ist habe ich noch nicht so richtig verstanden. Vielleicht könnte ich das auch einfach rauslassen?
Würde es denn reichen wenn ich seine Ansicht (konstruktiv und zahlenmäßig gleich, siehe nochmal Anhang) und seinen Konstruktionversuch vorstelle und dann am Schluss anmerke, dass es nur eine Näherung ist wegen [mm] \pi= \bruch{22}{7} [/mm] und eigenlich auch weil er Kreissektoren durch rechtwinklige Dreiecke ersetzt und weil er den Kreis konstruktiv nicht in 44Sektoren aufteilen kann?
Habe jetzt zum Schluss noch die zwei Seiten aus Mathematik im Abendland angehängt; edit: habe sie wieder gelöscht wegen Datenschutzgründen
lg, Sommernacht112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich hab die Leserechte vorsichtshalber eingeschränkt, weil da zwei gescannte Buchseiten dabei sind und sowas immer heikel sind könnte. Woher sind die Seiten denn eingescannt? Selber gemacht oder kann man diese (legal!) im Internet finden?
SEcki
|
|
|
| |
|
Oh entschuldigung,
da hab ich garnicht drangedacht...weiß nicht ob es sie im Internet auch gibts, hab die 2Seiten vorsichtshalber wieder gelöscht, da ich sie nicht aus dem Internet habe.
Sommernacht112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mo 19.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
ich hab mal reverend in die Leserechte mit einbezogen, damit er informiert ist.
Nachtrag: Da die Buchseiten aus der besagten Frage ja wieder raus sind, habe ich diese auch wieder für alle lesbar gemacht.
Schöne Grüße
sendet
ardik
|
|
|
| |
|
Hallo Sommernacht,
die Frage nach der Irrationalität ist ja nun schon in einem anderen Teil dieses Diskussionsstrangs geklärt. Interessant finde ich noch die Umordnung der Kreissektoren, die Franco dann auf einmal als rechtwinklige Dreiecke verwendet (wie Du ja schon schreibst). Das ist eigentlich ein grober Fehler, der aber darauf schließen lässt, dass seine Konstruktion nur zeichnerische Genauigkeit hatte.
Wenn wir das voraussetzen, ist umso erstaunlicher, dass er dann anfängt, aufgrund von Teilbarkeitsüberlegungen seine Lösung zu prüfen und auch noch zeigt, dass es sie gar nicht geben kann. Überhaupt ist das Zusammenspiel von Geometrie und Zahlentheorie m.E. für seine Zeit überhaupt nicht selbstverständlich.
Übrigens: was die Einstellung eines Scans hier betrifft, geht es nicht um Datenschutz, sondern um Urheberrechte.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Sommernacht112,
ich schreibe vorsichtshalber mal eine Mitteilung zu meinem eigenen Artikel. Deine darauf reagierende Anfrage habe ich gelesen, auch die inzwischen wieder gelöschten Anhänge. Es ist sicher richtig, den Schutz des Urheberrechts zu respektieren. Dass dies wissenschaftliche Arbeit erschwert, ist schade, es bedarf hier noch einer Klarstellung, wie umfangreich das (rechtlich erlaubte) Zitat sein darf. Trotzdem unterstütze ich gerne die notwendige Klärung; es gibt ein paar Dinge, die ich selbst urheberrechtlich geschützt wissen möchte.
Du hast vielleicht inzwischen an Deiner Fähigkeit gezweifelt, Francos Beweis [mm] \a{}^{*} [/mm] nachzuvollziehen.
Es fehlen ja wesentliche Rechenschritte und Argumente, und durch seine Forderung eines ganzzahligen Maßes erschwert er sich die Arbeit erheblich.
Für ein Referat oder eine Facharbeit ist das also nicht unbedingt vorzuführen, zumal wir ja nicht wissen, was er nun wirklich geschrieben hat. Die von mir aus nächste Ausgabe von Mignes Patrologia Latina steht in Bochum, etwa 55km entfernt. Wenn ich da wieder einmal in der Uni bin, was eher selten vorkommt, hoffe ich mich noch daran zu erinnern, dass ich Francos Schrift einsehen wollte... Diese Ausgabe ist übrigens nicht (mehr) durch Urheberrechte geschützt.
Ein letztes: bei den mittelalterlichen (und antiken) Autoren hat sich schon früh eingebürgert, sie mit ihrem Vornamen und einem Herkunftsort zu benennen, wobei letzterer fast immer nur der Ort des ersten Wirkens ist. Bei vielen ist nicht bekannt, woher sie ursprünglich stammen, so wohl auch bei Franco. Die Namensform besagt hier nichts, da sie latinisiert ist. Immerhin dürfte er aus dem Frankenreich gekommen sein, aber das hatte ja einst fast ganz Westeuropa umfasst. Jedenfalls sagt man, wenn man nicht den ganzen Namen verwendet, nie diese Ortsangabe, sondern immer den einzigen echten Namen, der für uns nach "Vorname" klingt. Es gibt keine Ausnahmen von dieser Regel, auch wenn es einzelne gibt, die wahlweise auch mit dem Ortsnamen bzw. einem Derivat davon bezeichnet werden, so z.B. Thomas von Aquin, der entweder Thomas oder "der Aquinat" genannt wird.
Nun aber zur Mathematik.
Ich vermute, dass Franco "gesehen" hat, dass die Seitenlänge seines gesuchten Quadrats nicht rational ist, also nicht im Verhältnis von ganzen Zahlen zueinander steht. Du kennst gewiss Euklids Beweis der Irrationalität von [mm] \wurzel{2}. [/mm] Vielleicht kannte Franco den auch.
Sein Argument, das wir heute [mm] p^2=154q^2 [/mm] schreiben würden, ist leichter zu erkennen, wenn wir 154 in Primfaktoren zerlegen:
[mm] p^2=2*7*11*q^2
[/mm]
Es ist vorausgesetzt, dass [mm] \bruch{p}{q} [/mm] ein vollständig gekürzter Bruch ist. Da nun die rechte Seite der Gleichung durch 2,7 und 11 teilbar ist, muss die linke es auch sein, also muss [mm] p^2 [/mm] und damit auch p durch alle drei Zahlen teilbar sein, also [mm] p=2*7*11*p_0
[/mm]
Eingesetzt erhalten wir:
[mm] 2^2*7^2*11^2*p_0^2=2*7*11*q^2\quad [/mm] nun auf beiden Seiten 2,7,11 kürzen
[mm] \Rightarrow 2*7*11*p_0^2=q^2
[/mm]
Mit dem Argument von vorhin muss also nun auch q durch die drei Zahlen teilbar sein. Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass der Bruch vollständig gekürzt war, womit ja p und q teilerfremd sein müssten. Fertig.
Doch was ist nun gezeigt? Eigentlich "nur", dass [mm] \wurzel{154} [/mm] keine rationale Zahl ist. Nun behauptet Gericke ja etwas anderes. Schauen wir uns das also an.
Ein neues p, ein neues q, wieder teilerfremd, das gleiche Spiel. Nur tritt ein d hinzu, das keinen weiteren Beschränkungen unterliegt, außer dass es eine natürliche Zahl ist.
Die zu untersuchende Gleichung war nun diese:
[mm] p^2=\left(\bruch{q\cdot{}d}{2}\right)^2\cdot{}\bruch{22}{7} [/mm]
[mm] p^2=q^2d^2*\bruch{22}{4*7}
[/mm]
[mm] 2*7p^2=11q^2d^2
[/mm]
Hier wird die Argumentation mühsamer (und wird über mehrere Schritte gehen) - ob Franco sie auch vollzogen hat?
Sicher ist, dass [mm] p^2 [/mm] und damit p durch 11 teilbar sein muss. Auf der anderen Seite wird eine Fallunterscheidung nötig, je nachdem ob q oder d die 2 (bzw.) die 7 enthalten sollen. Wenn Du in jedem Schritt die möglichen Unterscheidungen triffst, hast Du einen kleinen Baum von Möglichkeiten zu durchforsten. Das Argument funktioniert aber immer gleich. Hier zeige ich nur einen Weg, nämlich den längsten. Alle anderen enden früher, alle mit dem gleichen Ergebnis.
1.) [mm] p=11p_0, d=2*7d_0
[/mm]
[mm] \quad\Rightarrow 2*7*11^2*p_0^2=2^2*7^2*11*q^2d_0^2
[/mm]
[mm] \quad\Rightarrow 11p_0^2=2*7*q^2d_0^2
[/mm]
2.) [mm] p_0=2*7p_1 (p=2*7*11p_1), d_0=11d_1 (d=2*7*11d_1)
[/mm]
[mm] \quad\Rightarrow 2^2*7^2*11p_1^2=2*7*11^2q^2d_1^2
[/mm]
[mm] \quad\Rightarrow 2*7p_1^2=11q^2d_1^2
[/mm]
Zwischenüberlegung: in weiteren Schritten könnten nun die Potenzen der drei Primteiler in p und d erhöht werden, was keinen unmittelbaren Widerspruch ergibt. Allerdings funktioniert die Beschränkung auf p und d nur, wenn sie ad infinitum fortgeführt wird, was ein Widerspruch zur Annahme darstellt, beide seien endlich!
Also:
3.) [mm] p_1=11*p_2 (p=2*7*11^2p_2), [/mm] d wie in 2), [mm] q=2*7*q_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] unmittelbarer Widerspruch: p und q sind nicht teilerfremd.
Damit ist zwar der Beweis fertig, aber wieder nicht leicht zu sagen, was eigentlich bewiesen ist. Bei genauer Betrachtung ist in der Tat Gerickes Deutung zu finden [mm] (\wurzel{\bruch{22}{7}}\not\in\IQ), [/mm] aber noch mehr: wenn die Kreiszahl tatsächlich [mm] \bruch{22}{7} [/mm] wäre, dann können der Durchmesser eines Kreises und die Seitenlänge a des flächengleichen Quadrats nicht beide rational sein, also [mm] d\in\IQ \Rightarrow a\not\in\IQ \wedge a\in\IQ \Rightarrow d\not\in\IQ.
[/mm]
All das nur zum Verständnis. Für eine Facharbeit oder ein Referat ist das zu viel, außerdem zu spekulativ - nicht mathematisch gesehen, sondern aufgrund der vorliegenden Quellenlage zu urteilen. Aus der Darstellung Gerickes ist das nicht zu folgern, und Francos Schrift liegt uns nicht vor. Dies ist also nur die Rekonstruktion eines möglichen Gedankengangs.
Hoffentlich hilft er Dir noch weiter. Gestern abend war ich zu müde, daher erst jetzt.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
Ah ok, jetzt verstehe ich auch das mit der Irrationalität, wie aber vorhin schon vermutet ist das wohl doch ein bisschen zu umfangreich und ich werde es rauslassen.
Trotzdem danke für die Erklärung, so hab ich es wenigstens als Hintergrundwissen.
Gut, ich werde also dann in meine Facharbeit immer Franco und nicht von Lüttich schreiben, danke für den netten Hinweis (wäre bestimmt in der Facharbeit ein bisschen blöd rübergekommen) *g*
Tausend Dank nochmal für die schnelle Hilfe, vielleicht werde ich mich nochmal melden wegen der Irrationalität und Transzendenz von Pi...mal schauen wie weit ich da ohne Hilfe komme;)
lg sommernacht112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 20.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ah ok, jetzt verstehe ich auch das mit der Irrationalität,
> wie aber vorhin schon vermutet ist das wohl doch ein
> bisschen zu umfangreich und ich werde es rauslassen.
Also imo finde ich das nicht zu umfangreich - wieviele Seiten sollen es denn werden? Dieser Beweis nimmt doch nur eine halbe Seite ein ...
> Tausend Dank nochmal für die schnelle Hilfe, vielleicht
> werde ich mich nochmal melden wegen der Irrationalität und
Die ist übrigens gar nicht so schwer zu zeigen - im Wesentlichen muss man da Integrale berechnen, aber es braucht länger, da man die Sachen für e gleich mitbeweist.
> Transzendenz von Pi...mal schauen wie weit ich da ohne
> Hilfe komme;)
Hier kenne ich keinen Beweis (also ich weiß nicht, wie er geht). So als Namen kenne ich nur Lindemann, der dies bewiesen hat.
> lg sommernacht112
Mal als Frage: wieviel Mathematik (also in Richtung Beweise) soll denn in der Facharbeit stehen? Oder mehr Geschichte? In so fern sollte man wohl weiter vorgehen.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo SEcki,
mach doch bitte mal die offene Frage zu. Wenn sie keiner mehr lesen kann, wird sie auch keiner beantworten können, schon rein technisch nicht. Ich bekomme noch nicht einmal mehr die drei Einträge angezeigt, die bei mir mit einem grünen Schlüssel in der Liste stehen.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Di 20.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
> mach doch bitte mal die offene Frage zu. Wenn sie keiner
> mehr lesen kann, wird sie auch keiner beantworten können,
> schon rein technisch nicht.
Es müsste jeder sie lesen können, da die Leserechte auf "+guest +user +mod +Sommernacht112" stehen.
> Ich bekomme noch nicht einmal
> mehr die drei Einträge angezeigt, die bei mir mit einem
> grünen Schlüssel in der Liste stehen.
Das ist dann m.E. eine Fehlfunktion, wir sollten die unverändert lassen, damit Marc da mal nachschauen kann, was los ist.
Schöne Grüße
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
ok, das finde ich sinnvoll, ardik.
Informierst Du Marc?
|
|
|
| |
|
Hallo SEcki,
die Facharbeit soll mindestens 10Seiten umfassen, nach oben sind keine Grenzen gesetzt *G*
ich habe meine Facharbeit so gegliedert, dass im "ersten" Teil eher auf das Geschichtliche eingegangen wird (von Ägyptern über Inder und Griechen bis zu Lindemann) und im "zweiten" Teil wollte ich dann noch 4Beispiele zu Näherungskonstruktionen erkläutern mit den exakten Beweisen (u.a. Franco von Lüttich, Kochanski, Ramanujan).
Dieser zweite Teil ist so gut wie fertig und umfasst mit Bildern ca.15 Seiten. Deswegen hab ich mir gedacht, ich könnte die Irrationalität bei Franco von Lüttich rauslassen (werde es mir aber nochmal überlegen, wenn ich mir der gesamten Facharbeit fertig bin).
mfg Sommernacht112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Sommernacht,
ich würds rauslassen. Lang genug ist Deine Arbeit, und die Dir vorliegende Quellenlage ist einfach zu schlecht. Bloß weil Gericke schließt, dass die Irrationalität der Wurzel von Francos [mm] "\pi" [/mm] gezeigt sei, ist eine Rekonstruktion wie meine nach historischen Kriterien noch längst nicht glaubhaft. Außerdem wüsste ich nicht, warum jemals jemand die Irrationalität von [mm] \wurzel{\pi} [/mm] hätte untersuchen wollen, bevor [mm] \pi [/mm] selbst deutlicher bestimmt war.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ein vorerst letztes:
Ich kann mir keinen Reim auf die Zahl nach Deinem username/Nick machen.
Es geht wohl kaum um die Notrufnummer für Feuerwehr und Notarztdienste.
Wenn es um ein Datum geht, dann wohl um das Geburtsdatum. Die Zeugung wäre dann allerdings meteorologisch und kalendarisch betrachtet noch im Frühling erfolgt. Wenn 112 das Zeugungsdatum meint, dann wäre die Geburt wohl gerade noch im Spätsommer wahrscheinlich. Andererseits: wer weiß denn sein Zeugungsdatum und trägt sich auch noch damit in einem Forum ein? Das habe ich doch erst einmal als unwahrscheinlich verworfen.
Bleibt noch die Zerlegung [mm] 7*2^4. [/mm] Auch dazu fällt mir nichts Signifikantes ein, wie auch nicht zu Beobachtungen wie [mm] 112=11^2-3^2=8^3-20^2.
[/mm]
Falls Du einen Tipp geben kannst und magst, würde ich mich freuen.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
habe mich gerade köstlich amüsiert über die Überlegungen, die die Zahl nach meinem Usernamen betreffen.
Manchmal ist nämlich die banalste Anwort auch die richtige ;) In der Tat war damit die Notrufnummer 112 gemeint. Als ich mich nämlich vor 8Jahren zum ersten mal im Internet auf einer Seite anmelden wollte, war nur Sommernacht nicht mehr frei. Und da ich noch "kleiner" war und mir nicht so viele Nummer merken wollte hab ich denn einfach die 112 genommen.
Seitdem ist es dann bei diesem Usernamen geblieben, denn dank dieser komischen Zahl ist er fast immer und auf jeder Internetseite verfügbar *G*
lg Sommernacht112
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Sommernacht,
nette Erklärung. 
Bloß gut, dass Du nicht in den USA aufgewachsen bist. Wenn Du Dich da vor acht Jahren als summernight911 (die dortige Notrufnummer) angemeldet hättest, hättest Du sicher interessierten Besuch bekommen.
lg,
reverend
|
|
|
|
