Beweis Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Quotientenkriterium Beweis:
Wegen lim sup [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] < 1, gibt es ein q [mm] \in [/mm] (0,1) und N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] < q für alle k > N. es gilt also:
[mm] |a_{k}| [/mm] = [mm] |\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}| \* |\bruch{a_{k-1}}{a_{k-2}}| \* |\bruch{a_{k-2}}{a_{k-3}}| \* [/mm] ...... [mm] \* |\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}| \le q^{k-N} \* |a_{N}| [/mm] = [mm] |\bruch{a_{N}}{q^N}| \* q^{k}. [/mm] |
huhu,
bei diesem Beweis sind mir einige Sachen noch nicht ganz klar...
1. Wieso schreibt man [mm] |a_{k}| [/mm] als Produkt der ganzen, naja sagen wirs mal Anwendungen des Quotientenkriteriums? Mir ist klar, dass das meiste sich wegkürzt. Nur, ist dann [mm] |a_{k}| [/mm] nicht ungleich [mm] |\bruch{a_{k}}{a_{N}}| [/mm] wenn k > N? wenn mans so sieht würde die Gleichung ja gar nicht erst aufgehen.
2.wie kommt man auf die Abschätzung [mm] \le q^{k-N} \* |a_{N}| [/mm] ?
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Hiho,
> [mm]|a_{k}|[/mm] = [mm]|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}| \* |\bruch{a_{k-1}}{a_{k-2}}| \* |\bruch{a_{k-2}}{a_{k-3}}| \*[/mm]
> ...... [mm]\* |\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}| \le q^{k-N} \* |a_{N}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{a_{N}}{q^N}| \* q^{k}.[/mm]
Hier fehlt ein Faktor in deinem zweiten Term, es müsste korrekt heißen:
[mm]|a_{k}| = \left|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}\right| * \left|\bruch{a_{k-1}}{a_{k-2}}\right| * \left|\bruch{a_{k-2}}{a_{k-3}}\right| *\ldots * \left|\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}\right|* |a_N|[/mm]
Nun ist nach Voraussetzung [mm] $\left|\bruch{a_{k}}{a_{k-1}}\right| \le [/mm] q$ für k > N, d.h. für den Gesamtausdruck gilt:
[mm] $\le q*q*q*\ldots*q*|a_N| [/mm] = [mm] q^{k-N}*|a_N|$
[/mm]
MFG,
Gono.
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ah super, der letzte Faktor den du ergänzt hast steht gar nicht in meinem Buch! Blöder Fehler des Autors, aber naja, dank dir machts Sinn^^
Sag mal, man kann ja wenn als Ergebnis des Kriteriums genau 1 rauskommt offiziel keine Aussage treffen. Heißt dies, dass man generell keine Aussage treffen kann, oder dass man es auf andre Weise doch zeigen kann, dass die jeweilige Reihe divergiert/konvergiert?
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Hiho,
> Sag mal, man kann ja wenn als Ergebnis des Kriteriums genau
> 1 rauskommt offiziel keine Aussage treffen. Heißt dies,
> dass man generell keine Aussage treffen kann, oder dass man
> es auf andre Weise doch zeigen kann, dass die jeweilige
> Reihe divergiert/konvergiert?
"offiziell" ist nett gesagt. Wie wärs mit inoffiziell?
Wenn das Quotientenkriterium als Ergebnis 1 liefert, heißt das nicht zwangsläufig, dass andere Kriterien nicht doch ein Resultat liefern können.
Nimm Beispielsweise die alternierende harmonische Reihe:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch{(-1)^n}{n}$
[/mm]
Das Quotientenkriterium liefert dir 1, also keine Aussage. Das Leibnitz-Kriterium jedoch sagt dir, dass diese Reihe konvergiert.
MFG,
Gono.
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ah danke, nettes gegenbeispiel^^
mal allgemein interesse halber gefragt, gibt es Reihen bei denen man es gar nicht bestimmen ob sie divergiert oder konvergiert?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Di 07.02.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> mal allgemein interesse halber gefragt, gibt es Reihen bei
> denen man es gar nicht bestimmen ob sie divergiert oder
> konvergiert?
es gibt Folgen, von denen man nicht weiß, ob sie konvergieren, oder nicht, bspw. die ![[]](/images/popup.gif) Collatz-Folge.
Daraus kannst du dir nun eine Reihe konstruieren, wo dies ebenfalls unbekannt ist.
Beispielsweise: Sei [mm] a_n [/mm] eine Collatz-Folge, dann betrachte die Folge.
[mm] $b_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } a_n \in \{1,2,4\} \\ a_n , & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
Dann ist das Konvergenzverhalten von [mm] $\summe b_n$ [/mm] offensichtlich ebenfalls unbekannt 
MFG,
Gono.
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hey sry, nochmal vielleicht ne Frage, diesmal dazu, dass es mit dem Quotienten und Wurzelkriterium ist wie folgend:
wenn man das Quotientenkriteriumkriterium anwenden kann, dann auch das Wurzelkriterium, umgekehrt gilt dies aber nicht, da der "Anwendungsbereich" des Wurzelkriteriums größer ist.
Warum genau ist das so? ist vlt ne blöde Frage sie so zu stellen, aber würd ich gern wissen ;P
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dazu gibt es auf Wikipedia einen Beweis. Falls Fragen aufkommen, kannst du sie ja nochmal stellen. :)
Klick
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hmm
das find ich ziemlich kompliziert auch noch mit [mm] \varepsilon [/mm] ;P und Unterscheidung von superior und inferior ;/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Teufel |
Die Sachen mit dem liminf und den Alphas kannst du auch alle ignorieren, wenn du willst. Wichtig für dich sind nur die limsup-Sachen und die Ungleichungen mit den Betas.
Also setze [mm] \beta=\limsup_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] und [mm] \beta '=\limsup_{n \to \infty}\wurzel[n]{a_n}. [/mm] Nun wird gezeigt: [mm] $\beta [/mm] ' [mm] \le \beta$, [/mm] denn daraus folgt ja, dass wenn das Quotientenkriterium klappt, auch dass Wurzelkriterium klappt. Denn wenn [mm] $\beta [/mm] < 1$, so ist ja auch [mm] $\beta [/mm] ' < 1$.
Nun kommt das [mm] \varepsilon [/mm] ins Spiel. Das kann ich aber leider nicht wegdiskutieren. :)
Wegen [mm] \beta=\limsup_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] gilt ja, dass [mm] \beta [/mm] der größte Häufungspunkt der Folge [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] ist. Das heißt, dass für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ unendlich viele Folgenglieder im Intervall [mm] $[\beta [/mm] - [mm] \varepsilon, \beta [/mm] + [mm] \varepsilon]$ [/mm] liegen. Das ist einfach die Häufungspunkteigenschaft. Daraus folgt, dass es $m [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k} \le \beta [/mm] + [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] m$. (Würde das nicht gelten, so gäbe es unendlich viele Folgenglieder, die [mm] $>\beta [/mm] + [mm] \varepsilon$ [/mm] wären, was aber dem limsup wiederspricht.)
Ist der Rest, der dann folgt, klar? Es wird noch benutzt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_m}=1 [/mm] ist. Das liegt daran, dass [mm] a_m [/mm] eine konstante Zahl ist und die n-te Wurzel von Konstanten gegen 1 geht.
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ah super,
bei dir klingts direkt viel verständlicher ;P
Geh ich Recht in der Annahme, dass du gezeigt hast, dass wenn das Q. - Kriterium funktioniert, auch das Wurzelkriterium anwendbar ist, und dass wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_m}=1 [/mm] ist, spricht mit dem wurzelkriterium versagt, dann auch das Quotientenkriterium versagt?
Fehlt noch der beweis, dass das Wurzelkriterium klappen kann, ohne dass das Quotientenkriterium klappt oder? Oder geht das auch aus der Ungleichung der Betas am Anfang hervor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ah super,
>
> bei dir klingts direkt viel verständlicher ;P
>
> Geh ich Recht in der Annahme, dass du gezeigt hast, dass
> wenn das Q. - Kriterium funktioniert, auch das
> Wurzelkriterium anwendbar ist, und dass wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_m}=1[/mm] ist, spricht
> mit dem wurzelkriterium versagt, dann auch das
> Quotientenkriterium versagt?
Es gilt:
[mm] $\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \sqrt[n]{a_n} \le \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$
[/mm]
Was kannst Du darus ablesen ?
> Fehlt noch der beweis, dass das Wurzelkriterium klappen
> kann, ohne dass das Quotientenkriterium klappt oder? Oder
> geht das auch aus der Ungleichung der Betas am Anfang
> hervor?
In dem Link von Teufel findest Du ganz unten ein Beispiel einer Reihe, bei der das QK keine Entscheidung liefert, das WK aber schon.
FRED
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hey
Aus der Ungleichung les ich ab, was ich iwie gefragt hatte oder? Dass ich sehe an dieser Ungleichung, dass wenn Wurzelkriterium versagt, auch das Q- Kriterium versagt.
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Ok..
vielleicht nochmal für mich Dummerchen damit ich sicher bin:
mir klar: ab einem gewissen Glied, in dem Fall ab m, sprich k > oder gleich m liegen unendlich viele folgenglieder in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von dem Häufungspunkt. Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_m}=1 [/mm] ist (Begründung nach Teufel),
jetzt fällt mir grad was ein: wenn ich Konvergenz mithilfe des Q-Kriteriums habe ab dem Glied m, aber gleichzeitig ich mit [mm] \wurzel[n]{a_m}=1 [/mm] keine Konvergenzaussage machen kann, da beim Kriterium für 1 keine Aussage machbar ist, ist das nicht irgendwie ein Widerspruch? >Dann wäre ja Q-Kriterium schärfer als Wurzel, und ist eig ja umgekehrt o.0....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Teufel |
Ok, also du hast ja in dem Beweis den Ausdruck [mm] \wurzel[n]{a_m}. [/mm] Du musst nun aber beachten, dass [mm] $a_m$ [/mm] eine feste Zahl (ein konkretes, festes Folgenglied) ist, d.h. sie verändert sich nicht, wenn du n gegen unendlich laufen lässt. Denn das m war ja fest gewählt (es existiert ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] sodass ... für alle k>m).
Und die n-te Wurzel aus konstanten Zahlen läuft gegen 1 wenn n gegen unendlich strebt.
Es ist nicht das gleiche wie [mm] \wurzel[n]{a_n}!
[/mm]
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ohman
jetzt hab ichs verstanden, danke ;)
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