Beweis: Riemann-integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Di 09.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Beweise, dass die Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR \setminus \IQ\end{cases}[/mm]
nicht Riemann-integrierbar auf dem Intervall [0,1] ist.
|
Einen schönen Start in den Dienstag wünsche ich euch :)
Ich weiß/glaube zu wissen, dass nur stetige Funktion Riemann-integrierbar sind, muss ich demnach beweisen, dass die Funktion in dem Intervall [0,1] nicht stetig ist?
Oder muss hier ein anderer Ansatz gewählt werden?
Mopsi
//
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
hab ich vorhin vergessen: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweise, dass die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR \setminus \IQ\end{cases}[/mm]
>
> nicht Riemann-integrierbar auf dem Intervall [0,1] ist.
> Einen schönen Start in den Dienstag wünsche ich euch :)
Dir auch 
> Ich weiß/glaube zu wissen, dass nur stetige Funktion
> Riemann-integrierbar sind, muss ich demnach beweisen, dass
> die Funktion in dem Intervall [0,1] nicht stetig ist?
Nein.
Es gibt auch unstetige Funktionen, die Riemann-Integrierbar sind. (Merke dir: monotone Funktionen sind ebenfalls Riemann-integrierbar).
Die Charakterisierung lautet: f Riemann-integrierbar <--> Die Menge der Unstetigkeitsstellen ist eine Nullmenge.
---
> Oder muss hier ein anderer Ansatz gewählt werden?
Ja.
Am besten, du gehst von eurer Definition des Riemann-Integrals aus. Sicher habt ihr dazu Ober- und Untersummen oder Ähnliches benutzt.
Finde eine (immer feiner werdende) Unterteilung des Intervalls [0,1], sodass die Obersumme immer den Wert 1 annimmt, die Untersumme aber immer den Wert 0.
Weil Ober- und Untersumme nicht gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren, ist f dann nicht Riemann-integrierbar.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:47 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> hab ich vorhin vergessen: !
>
> > Beweise, dass die Funktion
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR \setminus \IQ\end{cases}[/mm]
>
> >
> > nicht Riemann-integrierbar auf dem Intervall [0,1] ist.
>
>
>
> > Einen schönen Start in den Dienstag wünsche ich euch :)
>
> Dir auch
>
> > Ich weiß/glaube zu wissen, dass nur stetige Funktion
> > Riemann-integrierbar sind, muss ich demnach beweisen,
> dass
> > die Funktion in dem Intervall [0,1] nicht stetig ist?
>
> Nein.
> Es gibt auch unstetige Funktionen, die
> Riemann-Integrierbar sind. (Merke dir: monotone Funktionen
> sind ebenfalls Riemann-integrierbar).
>
> Die Charakterisierung lautet: f Riemann-integrierbar <-->
> Die Menge der Unstetigkeitsstellen ist eine Nullmenge.
damit wäre man dann fertig - wenn man es benutzen darf. Denn [mm] $\Big.{\mathds{1}_{\IQ}}\Big|_{|[0,\,1]}$
[/mm]
ist sicher unstetig (auf $[0,1]$) - und [mm] $[0,\,1]$ [/mm] ist (bekanntlich) keine
Nullmenge...
P.S. Es gibt dann auch noch so einen tollen Zusammenhang zwischen
Funktionen beschränkter Variation und monotonen Funktionen, aus dem
folgt...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 09.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweise, dass die Funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR \setminus \IQ\end{cases}[/mm]
>
> nicht Riemann-integrierbar auf dem Intervall [0,1] ist.
>
>
>
>
> Einen schönen Start in den Dienstag wünsche ich euch :)
>
> Ich weiß/glaube zu wissen, dass nur stetige Funktion
> Riemann-integrierbar sind, muss ich demnach beweisen, dass
> die Funktion in dem Intervall [0,1] nicht stetig ist?
>
> Oder muss hier ein anderer Ansatz gewählt werden?
>
> Mopsi
>
> //
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ist Z eine Zerlegung von [0,1] und O(f,Z) (bzw. U(f,Z)) die zugeh. Obersumme (bzw. Untersumme), so gilt (unabhängig von Z !):
O(f,Z)=1 und U(f,Z)=0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:31 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > Beweise, dass die Funktion
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & x \in \IQ \\ 0, & x \in \IR \setminus \IQ\end{cases}[/mm]
>
> >
> > nicht Riemann-integrierbar auf dem Intervall [0,1] ist.
> >
> >
> >
> >
> > Einen schönen Start in den Dienstag wünsche ich euch :)
> >
> > Ich weiß/glaube zu wissen, dass nur stetige Funktion
> > Riemann-integrierbar sind, muss ich demnach beweisen, dass
> > die Funktion in dem Intervall [0,1] nicht stetig ist?
> >
> > Oder muss hier ein anderer Ansatz gewählt werden?
Stefan schrieb:
> Ja.
> Am besten, du gehst von eurer Definition des Riemann-Integrals aus. Sicher habt ihr dazu > Ober- und Untersummen oder Ähnliches benutzt.
> Finde eine (immer feiner werdende) Unterteilung des Intervalls [0,1], sodass die Obersumme > immer den Wert 1 annimmt, die Untersumme aber immer den Wert 0.
> Weil Ober- und Untersumme nicht gegen einen gemeinsamen Wert konvergieren, ist f dann nicht > Riemann-integrierbar.
Hier steht soetwas:
http://www10.pic-upload.de/10.04.13/e9m8gfvw9j6.png
Leider verstehe ich das mit diesem Epsilon und Delta nicht.
Ich probiere es mal mir selbst zu erklären:
Für alle Epsilon die größer Null sind, existiert ein Delta das größer Null ist, sodass gilt:
Der Betrag der Zerlegung ist kleiner als das Delta.
Warum kleiner als Delta? Heißt das, dass wir immer ein kleineres Delta wählen können, aber trotzdem immer noch kleinere Breiten für die Rechtecke finden?
Zu der Feinheit, also |Z| habe ich eine Frage. Der Betrag von Z ist definiert als [mm]|Z| = max(t_{j}-t_{j-1}:j=1,...,N)[/mm].
Aber warum sucht man das Maximum der Menge, in der alle Breiten der Rechtecke liegen, wenn alle Breiten doch den gleichen Wert haben? Ich unterteile die Fläche unter der Kurve doch in unendlich viele Rechtecke und lasse die Breite gegen Null gehen und das ist doch dieses dx, aber dann ist doch jedes Rechteck immer gleichbreit und zwar dx breit, warum suche ich dann das Maximum?
... wenn dieses |Z| also die Feinheit, kleiner als Delta ist, folgt daraus, dass der Betrag von I minus der Riemannschen Zwischensumme, kleiner ist als Epsilon.
Dieses I entspricht doch der exakten Fläche, die wir suchen, also stimmt zu 100% und die Riemannsche Zwischensumme ist doch nur eine Annäherung? Und wenn die Differenz kleiner als Epsilon ist, dann ist die Funktion Riemann integrierbar....
Also heißt das, dass wir ein beliebig kleines Epsilon wählen können, jedoch unsere Riemannsche Zwischensumme immer näher an I kriegen und dadurch die Differenz gegen Null geht und somit auch immer kleiner als Epsilon?
Wie kann ich dieses Epsilon und Delta denn nun für einen Beweis bei meiner Aufgabe verwenden?
Oder soll ich es nicht damit angehen? (es steht aber nur so im Skript)
Fred schrieb:
> Ist Z eine Zerlegung von [0,1] und O(f,Z) (bzw. U(f,Z))
> die zugeh. Obersumme (bzw. Untersumme), so gilt
> (unabhängig von Z !):
>
> O(f,Z)=1 und U(f,Z)=0.
Ist die Riemannsche Zwischensumme die Obersumme?
Wir haben hier leider nichts zu Ober- und Untersumme stehen, sondern nur Riemannsche Zwischensumme [mm]o(f,Z,s) = \sum_{j=1}^{N} f(s_j)*(t_j-t_{j-1})[/mm].
Falls Riemannsche Zwischensumme=Obersumme, komme ich gerade einfach nicht darauf, wie ich deinen Ansatz mit Ober- und Untersumme auf den Ansatz in meinem Skript mit |I - o(f,Z,s)| < e in Beziehung stellen kann..
Ist das der gleiche Ansatz? Oder zwei ganz verschiedene?
Dankeschön an euch beide :)
Mopsi
|
|
|
| |
|
Hallo Mopsi,
> Hier steht soetwas:
> http://www10.pic-upload.de/10.04.13/e9m8gfvw9j6.png
>
> Leider verstehe ich das mit diesem Epsilon und Delta
> nicht.
>
> Ich probiere es mal mir selbst zu erklären:
> Für alle Epsilon die größer Null sind, existiert ein
> Delta das größer Null ist, sodass gilt:
> Der Betrag der Zerlegung ist kleiner als das Delta.
Nein, das ist nicht die Kernaussage. Übersetzt bedeutet die Definition:
"Es gibt einen Wert I (das ist dann das Integral), sodass:
Ich gebe einen Abstand [mm] $\varepsilon$ [/mm] vor.
Ich kann jetzt eine Feinheit [mm] $\delta$ [/mm] finden, sodass gilt:
Jede Zerlegung mit Feinheit < [mm] \delta [/mm] erzeugt eine Riemannschen Zwischensumme mit Abstand [mm] $<\varepsilon$ [/mm] zu I."
> Warum kleiner als Delta? Heißt das, dass wir immer ein
> [color=blue]kleineres Delta wählen können, aber trotzdem immer noch [/color]
> kleinere Breiten für die Rechtecke finden?
Nein, das Delta hat hier die Funktion einer "Schranke": Nur Zerlegungen mit Feinheit < [mm] \delta [/mm] erzeugen Riemannsche Zwischensummen mit Abstand < [mm] \varepsilon [/mm] zum Integralwert.
> Zu der Feinheit, also |Z| habe ich eine Frage. Der Betrag
> von Z ist definiert als [mm]|Z| = max(t_{j}-t_{j-1}:j=1,...,N)[/mm].
> Aber warum sucht man das Maximum der Menge, in der alle
> Breiten der Rechtecke liegen, wenn alle Breiten doch den
> gleichen Wert haben?
An die Zerlegung Z werden keine Bedingungen gestellt. Sowohl
0 < 1/4 < 2/4 < 3/4 < 1
ist eine Zerlegung von [0,1], als auch
0 < 1/8 < 1/2 < 1.
Die Zerlegungen müssen also nicht gleiche Abstände auf der x-Achse haben!
> Ich unterteile die Fläche unter der
> Kurve doch in unendlich viele Rechtecke und lasse die
> Breite gegen Null gehen und das ist doch dieses dx, aber
> [color=blue]dann ist doch jedes Rechteck immer gleichbreit und zwar dx [/color]
> breit, warum suche ich dann das Maximum?
Die Zerlegungen selbst sind immer endlich!
Erst für den Grenzübergang Feinheit gegen 0 werden sozusagen alle Teilintervalle der Zerlegung gleichbreit (nämlich mit Breite 0).
Es gibt keine "dx" breiten Rechtecke.
> ... wenn dieses |Z| also die Feinheit, kleiner als Delta
> ist, folgt daraus, dass der Betrag von I minus der
> Riemannschen Zwischensumme, kleiner ist als Epsilon.
Ja.
> Dieses I entspricht doch der exakten Fläche, die wir
> suchen, also stimmt zu 100% und die Riemannsche
> Zwischensumme ist doch nur eine Annäherung?
Genau!
> Also heißt das, dass wir ein beliebig kleines Epsilon
> wählen können, jedoch unsere Riemannsche Zwischensumme
> immer näher an I kriegen und dadurch die Differenz gegen
> Null geht und somit auch immer kleiner als Epsilon?
Ja. Wenn die Feinheit der Zerlegung genügend klein gewählt wird.
> Wie kann ich dieses Epsilon und Delta denn nun für einen
> Beweis bei meiner Aufgabe verwenden?
> Oder soll ich es nicht damit angehen? (es steht aber nur
> so im Skript)
Doch, das kannst du verwenden.
> > Ist Z eine Zerlegung von [0,1] und O(f,Z) (bzw. U(f,Z))
> > die zugeh. Obersumme (bzw. Untersumme), so gilt
> > (unabhängig von Z !):
> >
> > O(f,Z)=1 und U(f,Z)=0.
>
> Ist die Riemannsche Zwischensumme die Obersumme?
> Wir haben hier leider nichts zu Ober- und Untersumme
> stehen, sondern nur Riemannsche Zwischensumme [mm]o(f,Z,s) = \sum_{j=1}^{N} f(s_j)*(t_j-t_{j-1})[/mm].
>
> Falls Riemannsche Zwischensumme=Obersumme, komme ich gerade
> einfach nicht darauf, wie ich deinen Ansatz mit Ober- und
> Untersumme auf den Ansatz in meinem Skript mit |I -
> o(f,Z,s)| < e in Beziehung stellen kann..
Die Riemannsche Zwischensumme ist NICHT die Ober/Untersumme, aber du kannst den Beweis so ähnlich durchführen.
Zum Beweis:
Nimm dir mal die Zerlegung [mm] $Z_n$
[/mm]
$0 < [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{2}{n} [/mm] < ... < [mm] \frac{n-1}{n} [/mm] < 1$
vor (n [mm] \in \IN).
[/mm]
Überzeuge dich, dass die Feinheit dieser Zerlegung gegen 0 geht.
Angenommen, es GÄBE solch ein I wie bei euch in der Definition. Dann könntest du zu [mm] $\varepsilon [/mm] = 1/4$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ finden, was die Eigenschaften aus der Def. hat.
Überlege dir, dass für ein genügend großes [mm] $N\in \IN$ [/mm] die Bedingung [mm] $|Z_N| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] erfüllt ist.
Entsprechend der Def. muss die Zerlegung [mm] $Z_N$ [/mm] die Eigenschaft $|I - [mm] \sigma(f,Z_N,s)| [/mm] < [mm] \frac{1}{4}$ [/mm] haben (für alle Zwischenpunkte s). (**)
Überlege dir NUN, dass du als Zwischenpunkte [mm] $s_i$ [/mm] einmal nur rationale Zahlen und einmal nur irrationale Zahlen wählen könntest. Was erhältst du in diesen beiden Fällen für die Zwischensummen ?
Das muss dann einen Widerspruch zu (**) ergeben.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Stefan und danke für die tolle Antwort :)
...
Bis hierhin habe ich alles verstanden, danke!
> > Ich unterteile die Fläche unter der
> > Kurve doch in unendlich viele Rechtecke und lasse die
> > Breite gegen Null gehen und das ist doch dieses dx,
> aber
> > [color=blue]dann ist doch jedes Rechteck immer
> gleichbreit und zwar dx [/color]
> > breit, warum suche ich dann das Maximum?
>
> Die Zerlegungen selbst sind immer endlich!
> Erst für den Grenzübergang Feinheit gegen 0 werden
> sozusagen alle Teilintervalle der Zerlegung gleichbreit
> (nämlich mit Breite 0).
>
> Es gibt keine "dx" breiten Rechtecke.
Wieso?
Ich rechne doch [mm] \sum_{x=a}^{b} f(x) * dx[/mm] um das Integral zwischen den Grenzen a und b zu berechnen.
Und die Fläche eines Rechtecks ist doch Breite mal Länge und die Länge ist f(x) und die Breite dx, oder verstehe ich da etwas falsch?
> Zum Beweis:
>
> Nimm dir mal die Zerlegung [mm]Z_n[/mm]
>
> [mm]0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < ... < \frac{n-1}{n} < 1[/mm]
>
> vor (n [mm]\in \IN).[/mm]
> Überzeuge dich, dass die Feinheit dieser
> Zerlegung gegen 0 geht.
Davon habe ich mich überzeugt.
>
>
> Angenommen, es GÄBE solch ein I wie bei euch in der
> Definition. Dann könntest du zu [mm]\varepsilon = 1/4[/mm] ein
> [mm]\delta > 0[/mm] finden, was die Eigenschaften aus der Def. hat.
>
>
> Überlege dir, dass für ein genügend großes [mm]N\in \IN[/mm] die
> Bedingung [mm]|Z_N| < \delta[/mm] erfüllt ist.
>
> Entsprechend der Def. muss die Zerlegung [mm]Z_N[/mm] die
> Eigenschaft [mm]|I - \sigma(f,Z_N,s)| < \frac{1}{4}[/mm] haben (für
> alle Zwischenpunkte s). (**)
>
>
> Überlege dir NUN, dass du als Zwischenpunkte [mm]s_i[/mm] einmal
> nur rationale Zahlen und einmal nur irrationale Zahlen
> wählen könntest. Was erhältst du in diesen beiden
> Fällen für die Zwischensummen ?
Mein erster Gedanke war, dass wenn ich nur Rationale Zahlen wählen könnte, dass wir einen beliebig kleinen Abstand zu I erreichen können, also kleiner als das vorgegebene Epsilon.
Aber wenn ich nur irrationale Zahlen wählen dürfte, dann wäre die Zwischensumme nicht ganz so genau, weil es (zumindest kenne ich nur) wenige irrationale Zahlen gibt?
Oder bin ich da auf dem falschen Dampfer?
Mopsi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber wenn ich nur irrationale Zahlen wählen dürfte, dann
> wäre die Zwischensumme nicht ganz so genau, weil es
> (zumindest kenne ich nur) wenige irrationale Zahlen gibt?
wer hat Dir denn so einen Unsinn beigebracht? Ich hoffe ja: niemand. Du
"rätst" vielleicht "entsprechend Deiner Erfahrung" vielleicht auch einfach
nur.
Beseitigen wir den Unsinn: Die Menge [mm] $\IQ$ [/mm] ist bekanntlich abzählbar, und
schon $[0,1]$ ist überabzählbar. Daraus folgt, dass $[0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)$ [/mm]
überabzählbar sein muss, weil die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen
wieder abzählbar ist (abzählbare Vereinigung meint: man vereinigt "über
abzählbar viele" Mengen!), genauer:
Wäre $[0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)$ [/mm] auch abzählbar, so wäre in
$$[0,1]=([0,1] [mm] \cap \IQ) \cup [/mm] ([0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ))$$
[/mm]
die Menge rechterhand als Vereinigung über zwei(!) abzählbare Mengen
insbesondere abzählbar. Dann wäre aber wegen der Gleichheit [mm] $[0,1]\,$ [/mm] abzählbar.
Widerspruch!
Kurzgesagt: "Alleine in $[0,1]$" gibt es schon "mehr" irrationale Zahlen,
als [mm] $\IQ$ [/mm] überhaupt insgesamt hat...
P.S. Betrachte mal die Folge [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=\sqrt{2}/(n+1)$ [/mm] für $n [mm] \in \IN=\{1,2,3,...\}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $a_n \in [/mm] [0,1] [mm] \setminus \IQ$ [/mm]
für alle [mm] $n\,.$ [/mm] (Warum?) "Wie groß" ist alleine mit dieser Überlegung, wenn
man zudem die Injektivität dieser Folge beachtet/beweist, dann $[0,1] [mm] \cap \blue{(\IR \setminus \IQ)}$ [/mm]
(edit: korrgiert!)"mindestens"?
P.P.S. Beachte, dass Teilmengen abzählbarer Mengen abzählbar sind, daher
ist wegen $([0,1] [mm] \cap \IQ) \subseteq \IQ$ [/mm] auch $[0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] abzählbar!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Hallo,
>
> > Aber wenn ich nur irrationale Zahlen wählen dürfte, dann
> > wäre die Zwischensumme nicht ganz so genau, weil es
> > (zumindest kenne ich nur) wenige irrationale Zahlen gibt?
>
> wer hat Dir denn so einen Unsinn beigebracht? Ich hoffe ja:
> niemand. Du
> "rätst" vielleicht "entsprechend Deiner Erfahrung"
> vielleicht auch einfach
> nur.
Ja, ich habe nur geraten :/
> Beseitigen wir den Unsinn: Die Menge [mm]\IQ[/mm] ist bekanntlich
> abzählbar
> , und
> schon [mm][0,1][/mm] ist überabzählbar.
Warum eigentlich überabzählbar?
Also endlich ist die Menge nicht und ob eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen möglich ist, da bin ich mir unsicher. Eigentlich sind in beiden Mengen doch unendlich viele Elemente, also warum sollte eine Bijektion nicht möglich sein?
Ich habe gerade diesen Satz gefunden "die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar; es gibt also eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl enthält." Muss ich mir die Eigenschaft abzählbar so merken? Es gibt eine Folge, die alle Elemente der Menge enthält?
Mit "Abzählbar -> Es gibt eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und der Menge A" kann ich nichts anfangen...
Ich stelle mir das so vor: Ich habe eine Tabelle mit zwei Spalten, in der ersten Spalte schreibe ich alle Elemente der natürlichen Zahlen Zeile für Zeile und in die zweite Spalte alle Elemente der anderen Menge die auch unendlich ist. Nun kann ich doch in jeder Zeile die beiden Elemente eindeutig verbinden... Also gibt es eine Bijektion...
Wo ist mein Denkfehler?
> Daraus folgt, dass [mm][0,1] \cap (\IR \setminus \IQ)[/mm]
> überabzählbar sein muss, weil die abzählbare Vereinigung
> abzählbarer Mengen
> wieder abzählbar ist
Wieso argumentierst du mit Vereinigung, wenn [mm][0,1] \cap (\IR \setminus \IQ)[/mm] doch den Durchschnitt zweier Mengen darstellt?
Oder beziehst du Vereinigung auf etwas anderes?
Vielleicht die Vereinigung von den rationalen und irrationalen Zahlen?
Das habe ich verstanden, dass wenn die reelen Zahlen überabzählbar sind und die rationalen Zahlen abzählbar sind, dass die irationalen Zahlen überabzählbar sein müssen, weil die Vereinigung von abzählbaren Mengen eine abzählbare Menge ist. (Also vorstellen kann ich mir das ja nicht, aber ich nehme das mal als Satz hin).
Welcher Satz gilt den für den Durchschnitt zweier Mengen?
*
> (abzählbare Vereinigung meint: man
> vereinigt "über
> abzählbar viele" Mengen!), genauer:
> Wäre [mm][0,1] \cap (\IR \setminus \IQ)[/mm] auch abzählbar, so
> wäre in
> [mm][0,1]=([0,1] \cap \IQ) \cup ([0,1] \cap (\IR \setminus \IQ))[/mm]
>
> die Menge rechterhand als Vereinigung über zwei(!)
> abzählbare Mengen
> insbesondere abzählbar. Dann wäre aber wegen der
> Gleichheit [mm][0,1]\,[/mm] abzählbar.
> Widerspruch!
/*
Hierzu muss ich erstmal verstehen, was bei dem Durchschnitt von abzählbaren/überabzählbaren Mengen passiert.
> Kurzgesagt: "Alleine in [mm][0,1][/mm]" gibt es schon "mehr"
> irrationale Zahlen,
> als [mm]\IQ[/mm] überhaupt insgesamt hat...
Diesen Satz verstehe ich auch nicht.
In beiden Mengen gibt es doch unendlich viele irrationale Zahlen. Wie kann man dann von mehr sprechen?
> P.S. Betrachte mal die Folge [mm]{(a_n)}_n[/mm] mit
> [mm]a_n:=\sqrt{2}/(n+1)[/mm] für [mm]n \in \IN=\{1,2,3,...\}\,.[/mm] Dann
> ist [mm]a_n \in [0,1] \setminus \IQ[/mm]
> für alle [mm]n\,.[/mm] (Warum?) "Wie groß" ist alleine mit dieser
> Überlegung, wenn
> man zudem die Injektivität dieser Folge beachtet/beweist,
> dann [mm][0,1] \cap \IQ[/mm] "mindestens"?
>
> P.P.S. Beachte, dass Teilmengen abzählbarer Mengen
> abzählbar sind, daher
> ist wegen [mm]([0,1] \cap \IQ) \subseteq \IQ[/mm] auch [mm][0,1] \cap \IQ[/mm]
> abzählbar!
Ich muss glaube ich erst einmal den Teil davor verstanden haben.
Vielen Dank Marcel für deine Hilfe!
Mopsi
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ja, ich habe nur geraten :/
Die Ehrlichkeit ist schonmal zu loben 
> Warum eigentlich überabzählbar?
> Also endlich ist die Menge nicht und ob eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen möglich ist, da bin ich mir unsicher. Eigentlich sind in beiden Mengen doch unendlich viele Elemente, also warum sollte eine Bijektion nicht möglich sein?
Ja, warum sollte das nicht möglich sein, das ist eine gute Frage.
Die beantwortet sich aber später
> Ich habe gerade diesen Satz gefunden "die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar; es gibt also eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl enthält." Muss ich mir die Eigenschaft abzählbar so merken? Es gibt eine Folge, die alle Elemente der Menge enthält?
Ja, so kannst du dir das merken.
Findest du eine Folge, die alle Elemente einer Menge enthält, so ist sie abzählbar. Und umkehert.
> Mit "Abzählbar -> Es gibt eine Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und der Menge A" kann ich nichts anfangen...
Du hast es doch eben schön erklärt!
Eine Folge ist doch letztlich nichts anderes als eine solche direkte Zuordnung.
1. Folgenglied => [mm] a_1
[/mm]
2. Folgenglied => [mm] a_2
[/mm]
.
.
.
Lass nun das Wort "Folgenglied" weg und du hast eine eindeutige Zuordnung auf die natürlichen Zahlen.
> Ich stelle mir das so vor: Ich habe eine Tabelle mit zwei Spalten, in der ersten Spalte schreibe ich alle Elemente der natürlichen Zahlen Zeile für Zeile und in die zweite Spalte alle Elemente der anderen Menge die auch unendlich ist.
Eine gute Vorstellung. Ist letztlich aber das gleiche wie mit der Folge.
> Nun kann ich doch in jeder Zeile die beiden Elemente eindeutig verbinden... Also gibt es eine Bijektion...
> Wo ist mein Denkfehler?
Versuche doch mal eine solche Tabelle für die Menge [0,1] aufzustellen.
Dann mal los!
Um es kurz zu machen: Du wirst scheitern. Und weil das eben nicht geht, ist [0,1] überabzählbar.
Das kann man übrigens auch beweisen.
Können wir gern später noch machen, aber erstmal nimm es so hin.
> Wieso argumentierst du mit Vereinigung, wenn [mm][0,1] \cap (\IR \setminus \IQ)[/mm] doch den Durchschnitt zweier Mengen darstellt?
Machen wir es in kleinen Schritten:
Du hast die Menge aller reellen Zahlen [mm] $\IR$. [/mm] Die können wir nun "zweiteilen" in die rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] und "den Rest", eben alle reellen Zahlen außer die rationalen Zahlen [mm] $\IR\setminus\IQ$.
[/mm]
Nun haben wir [mm] \IR [/mm] also zweigeteilt, d.h. umgekehrt aber auch, dass wenn wir [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] wieder zusammenpacken kommt ganz [mm] \IR [/mm] aus.
In Formeln:
[mm] $\IQ \cup \IR\setminus\IQ [/mm] = [mm] \IR$
[/mm]
Nun beschränken wir uns auf [0,1] und erhalten:
$[0,1] = [0,1] [mm] \cap \IR$, [/mm] denn wenn wir uns in [0,1] auf die reellen Zahlen einschränken ändern wir nix (denn in [0,1] gibts nur reelle Zahlen).
Wir setzen das von oben ein:
$[0,1] = [0,1] [mm] \cap \IR [/mm] = [0,1] [mm] \cap \left(\IQ \cup \IR\setminus\IQ\right)$
[/mm]
"Ausmultiplizieren" mit Rechenregeln für Vereinigung und Schnitt ergibt (analog zum Distributivgesetz):
$[0,1] = [0,1] [mm] \cap \IR [/mm] = [0,1] [mm] \cap \left(\IQ \cup \IR\setminus\IQ\right) [/mm] = [mm] \left([0,1] \cap \IQ\right) \cup \left([0,1] \cap \IR\setminus\IQ\right)$
[/mm]
> Welcher Satz gilt den für den Durchschnitt zweier Mengen?
Ist eine Menge abzählbar, dann auch jeder Schnitt mit dieser Menge, denn der Schnitt ist ja immer nur "weniger".
Daraus folgt sofort, dass [mm] $\left([0,1] \cap \IQ\right)$ [/mm] abzählbar ist, denn [mm] \IQ [/mm] ist es ja.
Wären nun die "irrationalen Zahlen", also [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] auch abzählbar, so auch [mm] $\left([0,1] \cap \IR\setminus\IQ\right)$ [/mm] aus dem gleichen Grund.
Wir hätten dann also:
[mm] $\left([0,1] \cap \IQ\right)$ [/mm] da [mm] \IQ [/mm] abzählbar und
da [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] abzählbar
Damit wäre auch die Vereinigung der beiden Mengen abzählbar, also:
[mm] $\left([0,1] \cap \IQ\right) \cup \left([0,1] \cap \IR\setminus\IQ\right)$ [/mm]
Das ist nach oben aber gerade das Intervall [0,1].
Aber ich hab dir ja oben schon geschrieben, dass das nicht abzählbar ist: Widerspruch. Also ist [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] nicht abzählbar.
Soweit erstmal klar?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:24 Do 11.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Hiho,
>
> > Ja, ich habe nur geraten :/
>
> Die Ehrlichkeit ist schonmal zu loben
Danke :)
Aber auch traurig... :D
> > Ich habe gerade diesen Satz gefunden "die Menge der
> rationalen Zahlen ist abzählbar; es gibt also
> eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl
> enthält." Muss ich mir die Eigenschaft abzählbar so
> merken? Es gibt eine Folge, die alle Elemente der Menge
> enthält?
>
> Ja, so kannst du dir das merken.
> Findest du eine Folge, die alle Elemente einer Menge
> enthält, so ist sie abzählbar. Und umkehert.
Nur blöd, wenn ich bei einer abzählbaren Menge, die Folge nicht finde und daraus schließe, dass sie überabzählbar ist :P
> > Ich stelle mir das so vor: Ich habe eine Tabelle mit zwei
> Spalten, in der ersten Spalte schreibe ich alle Elemente
> der natürlichen Zahlen Zeile für Zeile und in die zweite
> Spalte alle Elemente der anderen Menge die auch unendlich
> ist.
>
> Eine gute Vorstellung. Ist letztlich aber das gleiche wie
> mit der Folge.
>
> > Nun kann ich doch in jeder Zeile die beiden Elemente
> eindeutig verbinden... Also gibt es eine Bijektion...
> > Wo ist mein Denkfehler?
>
> Versuche doch mal eine solche Tabelle für die Menge [0,1]
> aufzustellen.
> Dann mal los!
Dann versuch du es mal mit den natürlichen und rationalen Zahlen
Könnte man doch genauso gut sagen?
Beides ist doch ein unendlich langer Prozess
Oder auf was ist das "Du wirst scheitern" bezogen?
Komisch finde ich auch, dass die natürlichen Zahlen ja eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind und es neben der Menge der natürlichen Zahlen auch noch unendlich viele Elemente in der Menge der rationalen Zahlen gibt, die es nicht in der Menge der natürlich Zahlen gibt. Dennoch gibt es hier eine Bijektion?...
Beides sind zwar unendliche Mengen, aber ich habe einfach immer das Gefühl, dass in der Menge der rationalen Zahlen mehr drin ist :-P
>
> Um es kurz zu machen: Du wirst scheitern. Und weil das eben
> nicht geht, ist [0,1] überabzählbar.
> Das kann man übrigens auch beweisen.
> Können wir gern später noch machen, aber erstmal nimm es
> so hin.
Ja bitte, ich will es einfach nicht wahr haben...
Ich mache sobald ich Zeit haben noch einen neuen Diskussionsstrang dazu auf.
> Soweit erstmal klar?
Soweit ist alles klar :)
Das war wirklich super erklärt, vielen lieben Dank Gono! :)
Mopsi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hiho,
> >
> > > Ja, ich habe nur geraten :/
> >
> > Die Ehrlichkeit ist schonmal zu loben
>
> Danke :)
> Aber auch traurig... :D
ich bin ehrlich: ein wenig schon. Denn wie sagte einmal einer meiner
Dozenten: "Wenn Mathematiker schon raten, dann bitte nicht blind.
Eigentlich sollten wir nie raten. Sondern: Wir suchen eine Lösung mit
System!" (Wobei wir das System eventuell noch ausreifen müssen!)
> > > Ich habe gerade diesen Satz gefunden "die Menge der
> > rationalen Zahlen ist abzählbar; es gibt also
> > eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl
> > enthält." Muss ich mir die Eigenschaft abzählbar so
> > merken? Es gibt eine Folge, die alle Elemente der Menge
> > enthält?
> >
> > Ja, so kannst du dir das merken.
> > Findest du eine Folge, die alle Elemente einer Menge
> > enthält, so ist sie abzählbar. Und umkehert.
>
> Nur blöd, wenn ich bei einer abzählbaren Menge, die Folge
> nicht finde und daraus schließe, dass sie überabzählbar
> ist :P
Es gibt Kontruktionsbeweise, dann gibt's extra so Aussagen, wie die, die
ich verwendete ("abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind
abzählbar") und zudem gibt's auch Widerspruchsbeweise (Angenommen,
die Menge wäre ... ) - letztere verwenden eventuell auch Aussagen, die ich
hier schon zuvor erwähnte.
Zudem: Schau' Dir mal die Cantorschen Diagonalverfahren an!
P.S. Übrigens funktioniert der Schluss auch nicht so, wie Du es oben
sagtest:
> Nur blöd, wenn ich bei einer abzählbaren Menge, die Folge
> nicht finde und daraus schließe, dass sie überabzählbar
> ist :P
Denn natürlich heißt (bei Euch) eine (unendliche) Menge [mm] $M\,$ [/mm] genau dann
abzählbar, wenn es eine Bijektion [mm] $\IN \to [/mm] M$ gibt. Und wenn Du nun sagst:
Ich finde aber keine bijektive Abbildung [mm] $\IN \to M\,,$ [/mm] so DARFST DU DARAUS NICHT
schließen, dass es auch keine solche gibt. Du kannst daraus also nicht schließen,
dass [mm] $M\,$ [/mm] nicht abzählbar wäre. (Das könntest Du nur, wenn
Du zudem beweist: Egal, wer mit welchem Verfahren auch immer nach so
einer sucht, der-/diejenige wird nie fündig werden.
Und da sind wir an der Stelle, wo es darum geht: Du musst dann beweisen,
dass es keine solche bijektive Abbildung gibt, wenn Du behauptest, dass
[mm] $M\,$ [/mm] nicht abzählbar ist!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Nur blöd, wenn ich bei einer abzählbaren Menge, die Folge nicht finde und daraus schließe, dass sie überabzählbar ist :P
dann darfst du das eben nicht schließen, wie Marcel bereits schrieb.
Denn sonst würdest du ja annehmen "Wenn ich sie nicht finde, findet sie niemand." Ein bisschen angemessen, oder?
> Dann versuch du es mal mit den natürlichen und rationalen Zahlen
> Könnte man doch genauso gut sagen?
> Beides ist doch ein unendlich langer Prozess
> Oder auf was ist das "Du wirst scheitern" bezogen?
Der Prozess an sich mag unendlich sein, aber man kann ja stattdessen eine Konstruktionsvorschrift angeben, wie man das aufschreibt, oder die Tabelle so aufschreiben, dass man erkennt, wie es weitergeht:
Bei [mm] \IZ [/mm] würde das bspw. so aussehen (und damit keine Diskussionen losgehen: Ich nehme an [mm] $0\in\IN$)
[/mm]
[mm] \vmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \\ 4 & -2 \\ 5 & 3 \\ 6 & -3 \\ \vdots & \vdots}
[/mm]
Und ich denke, man erkennt, wie es weitergeht
> Komisch finde ich auch, dass die natürlichen Zahlen ja
> eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind und es neben der
> Menge der natürlichen Zahlen auch noch unendlich viele
> Elemente in der Menge der rationalen Zahlen gibt, die es
> nicht in der Menge der natürlich Zahlen gibt. Dennoch gibt
> es hier eine Bijektion?...
> Beides sind zwar unendliche Mengen, aber ich habe einfach
> immer das Gefühl, dass in der Menge der rationalen Zahlen
> mehr drin ist :-P
Das ist bei [mm] \IZ [/mm] doch genauso, und da glaubst du es?
Es gibt doch in [mm] \IZ [/mm] alle natürlichen Zahlen und unendlich mehr!
Trotzdem gibt es (wie oben angedeutet) eine Bijektion.
> Ja bitte, ich will es einfach nicht wahr haben...
> Ich mache sobald ich Zeit haben noch einen neuen Diskussionsstrang dazu auf.
Oder guckst dir eben diesen Beweis an:
Annahme: [0,1) sei abzählbar, dann kann ich [0,1) als Folge darstellen, also:
$[0,1] = [mm] \{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$
[/mm]
Nun schauen wir uns die Dezimalbruchentwicklung von diesen Zahlen an, die haben alle folgende Form:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] 0,a_{11}a_{12}a_{13}\ldots$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = [mm] 0,a_{21}a_{22}a_{23}\ldots$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] 0,a_{31}a_{32}a_{33}\ldots$
[/mm]
[mm] $\;\vdots$
[/mm]
Nun definieren wir:
$x= [mm] 0,x_1x_2x_3\ldots$
[/mm]
wobei: [mm] $x_1 \not= a_{11}, x_2\not=a_{22},\ldots$
[/mm]
Dann gilt offensichtlich: [mm] $x\in [/mm] [0,1)$
[mm] $x_1 \not= a_{11}$ [/mm] stellt sicher, dass x an der ersten Dezimalstelle nicht mit [mm] a_1 [/mm] übereinstimmt, also gilt: $x [mm] \not= a_1$.
[/mm]
[mm] $x_2 \not= a_{22}$ [/mm] stellt sicher, dass x an der zweiten Dezimalstelle nicht mit [mm] a_2 [/mm] übereinstimmt, also gilt: $x [mm] \not= a_2$.
[/mm]
Und so weiter.
D.h. $x [mm] \not= a_j$ [/mm] für alle j! D.h. aber, [mm] $x\not\in [/mm] [0,1)$, da [0,1] ja aus den [mm] a_j [/mm] bestand.
Widerspruch
MFG
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Nur blöd, wenn ich bei einer abzählbaren Menge, die Folge
> nicht finde und daraus schließe, dass sie überabzählbar
> ist :P
>
> dann darfst du das eben nicht schließen, wie Marcel
> bereits schrieb.
> Denn sonst würdest du ja annehmen "Wenn ich sie nicht
> finde, findet sie niemand." Ein bisschen angemessen, oder?
>
> > Dann versuch du es mal mit den natürlichen und rationalen
> Zahlen
> > Könnte man doch genauso gut sagen?
> > Beides ist doch ein unendlich langer Prozess
> > Oder auf was ist das "Du wirst scheitern" bezogen?
>
> Der Prozess an sich mag unendlich sein, aber man kann ja
> stattdessen eine Konstruktionsvorschrift angeben, wie man
> das aufschreibt, oder die Tabelle so aufschreiben, dass man
> erkennt, wie es weitergeht:
>
> Bei [mm]\IZ[/mm] würde das bspw. so aussehen (und damit keine
> Diskussionen losgehen: Ich nehme an [mm]0\in\IN[/mm])
>
> [mm]\vmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \\ 4 & -2 \\ 5 & 3 \\ 6 & -3 \\ \vdots & \vdots}[/mm]
>
> Und ich denke, man erkennt, wie es weitergeht
>
> > Komisch finde ich auch, dass die natürlichen Zahlen ja
> > eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind und es neben der
> > Menge der natürlichen Zahlen auch noch unendlich viele
> > Elemente in der Menge der rationalen Zahlen gibt, die es
> > nicht in der Menge der natürlich Zahlen gibt. Dennoch gibt
> > es hier eine Bijektion?...
> > Beides sind zwar unendliche Mengen, aber ich habe
> einfach
> > immer das Gefühl, dass in der Menge der rationalen Zahlen
> > mehr drin ist :-P
>
> Das ist bei [mm]\IZ[/mm] doch genauso, und da glaubst du es?
> Es gibt doch in [mm]\IZ[/mm] alle natürlichen Zahlen und unendlich
> mehr!
> Trotzdem gibt es (wie oben angedeutet) eine Bijektion.
>
>
> > Ja bitte, ich will es einfach nicht wahr haben...
> > Ich mache sobald ich Zeit haben noch einen neuen
> Diskussionsstrang dazu auf.
>
> Oder guckst dir eben diesen Beweis an:
>
> Annahme: [0,1) sei abzählbar, dann kann ich [0,1) als
> Folge darstellen, also:
>
> [mm][0,1] = \{a_1,a_2,a_3,\ldots\}[/mm]
>
> Nun schauen wir uns die Dezimalbruchentwicklung von diesen
> Zahlen an, die haben alle folgende Form:
>
> [mm]a_1 = 0,a_{11}a_{12}a_{13}\ldots[/mm]
> [mm]a_2 = 0,a_{21}a_{22}a_{23}\ldots[/mm]
>
> [mm]a_3 = 0,a_{31}a_{32}a_{33}\ldots[/mm]
> [mm]\;\vdots[/mm]
>
> Nun definieren wir:
>
> [mm]x= 0,x_1x_2x_3\ldots[/mm]
> wobei: [mm]x_1 \not= a_{11}, x_2\not=a_{22},\ldots[/mm]
>
> Dann gilt offensichtlich: [mm]x\in [0,1)[/mm]
>
> [mm]x_1 \not= a_{11}[/mm] stellt sicher, dass x an der ersten
> Dezimalstelle nicht mit [mm]a_1[/mm] übereinstimmt, also gilt: [mm]x \not= a_1[/mm].
>
> [mm]x_2 \not= a_{22}[/mm] stellt sicher, dass x an der zweiten
> Dezimalstelle nicht mit [mm]a_2[/mm] übereinstimmt, also gilt: [mm]x \not= a_2[/mm].
>
> Und so weiter.
> D.h. [mm]x \not= a_j[/mm] für alle j! D.h. aber, [mm]x\not\in [0,1)[/mm],
> da [0,1] ja aus den [mm]a_j[/mm] bestand.
> Widerspruch
Hallo Gono,
da hast Du Dir die Sache aber ein wenig einfach gemacht !
Bedenke: [mm] $\bruch{1}{2}=0,50000000..... [/mm] = [mm] 0,4\overline{9}$
[/mm]
FRED
>
> MFG
> Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 11.04.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> da hast Du Dir die Sache aber ein wenig einfach gemacht !
>
> Bedenke: [mm]\bruch{1}{2}=0,50000000..... = 0,4\overline{9}[/mm]
auch Cantor wurde unliebst auf diese, nennen wir es mal "Feinheit" gestoßen.
Letztlich stimmt der Einwand natürlich, kann aber behoben werden.
Ändert aber nicht an der Beweisidee und des -inhalts.
Aber soweit ich weiß ist das auch (inkl. Fehler) immer noch der "Standardbeweis" des zweiten Cantorschen Diagonalarguments.
edit: Oder meinst du, man sollte sich einfach auf [mm] x_i \in \{1,\ldots,8\} [/mm] beschränken?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > P.S. Betrachte mal die Folge [mm]{(a_n)}_n[/mm] mit
> > [mm]a_n:=\sqrt{2}/(n+1)[/mm] für [mm]n \in \IN=\{1,2,3,...\}\,.[/mm]
> Dann
> > ist [mm]a_n \in [0,1] \setminus \IQ[/mm]
> > für alle [mm]n\,.[/mm]
> (Warum?) "Wie groß" ist alleine mit dieser
> > Überlegung, wenn
> > man zudem die Injektivität dieser Folge
> beachtet/beweist,
> > dann [mm]\red{[0,1] \cap \IQ}[/mm] "mindestens"?
hier hatte ich einen Verschreiber: Ersetze [mm] $\red{[0,1] \cap \IQ}$ [/mm] durch [mm] $\blue{[0,1] \cap (\IR \setminus \IQ)}\,.$
[/mm]
Ich korrigiere das auch jetzt nochmal in meiner Antwort!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Do 11.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur noch kurz dazu:
> Ich habe gerade diesen Satz gefunden "die Menge der
> rationalen Zahlen ist abzählbar; es gibt also
> eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl
> enthält." Muss ich mir die Eigenschaft abzählbar so
> merken? Es gibt eine Folge, die alle Elemente der Menge
> enthält?
>
> Mit "Abzählbar -> Es gibt eine Bijektion zwischen den
> natürlichen Zahlen und der Menge A" kann ich nichts
> anfangen...
warum nicht? Mal abgesehen davon, dass ich diesen Begriff nicht so
benutze, denn bei mir bedeutet "abzählbar"="(abzählbar) endlich" oder
"abzählbar unendlich". Das, wie ich das benutze, nennt ihr vermutlich
"höchstens abzählbar"...
Also nehmen wir mal Eure Definition her: Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist genau dann
abzählbar (abzählbar unendlich), wenn es eine Bijektion [mm] $\IN \to [/mm] M$ gibt.
Das heißt, eine Menge ist genau dann abzählbar unendlich, wenn es eine
Abbildung $f [mm] \colon \IN \to [/mm] M$ gibt, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Und was bedeutet das nun, dass es eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $M=\{a_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] geschrieben werden kann? (Beachte, dass die
Folge mit Sicherheit nicht injektiv sein muss!)
Das bedeutet, dass es eine Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] M$ gibt, die surjektiv ist.
(Beweis?)
Und wie findet man damit eine injektive Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] M$? Im
Allgemeinen wird das gar nicht gehen - [mm] $M\,$ [/mm] darf einfach nicht endlich sein.
Wenn also [mm] $M\,$ [/mm] nicht endlich ist, dann geht's: Und die Frage ist dann, wie
das dann geht. Ich sag's mal kurz: "Wähle/konstruiere" eine geeignete
Teilfolge!
Was lernen wir bisher? Wenn es eine solch' erwähnte Folge gibt, und
zudem [mm] $M\,$ [/mm] NICHT ENDLICH ist, dann gibt es sicher Bijektion $f [mm] \colon \IN \to [/mm] M$
und damit ist dann [mm] $M\,$ [/mm] zu [mm] $\IN$ [/mm] gleichmächtig!
(D.h. [mm] $M\,$ [/mm] ist abzählbar.)
Und wenn Du nun $f [mm] \colon \IN \to [/mm] M$ bijektiv hast, dann definiere [mm] ${(a_n)}_n$
[/mm]
durch [mm] $a_n:=f(n)\,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und zeige, dass damit [mm] $M=\{a_n:\;\;n \in \IN\}\,.$
[/mm]
Und auch noch kurz hierzu:
> > Kurzgesagt: "Alleine in $ [0,1] $" gibt es schon "mehr"
> > irrationale Zahlen,
> > als $ [mm] \IQ [/mm] $ überhaupt insgesamt hat...
> Diesen Satz verstehe ich auch nicht.
> In beiden Mengen gibt es doch unendlich viele irrationale Zahlen. Wie
> kann man dann von mehr sprechen?
Das "mehr" steht nicht umsonst in Anführungszeichen. Die Vorstellung ist
grob: Wenn es eine injektive Abbildung $I [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ gibt, dann wird
[mm] $B\,$ [/mm] "mindestens so viele Elemente wie [mm] $A\,$ [/mm] haben". "Grob formuliert:
Man findet im Wesentlichen [mm] $A\,$ [/mm] in der Menge [mm] $B\,$ [/mm] wieder" - wobei das
aber wirklich sprachlich und inhaltlich schon fast eigentlich nur verständlich
ist, wenn man eh weiß, was die Existenz solch' einer Injektion $A [mm] \to [/mm] B$ bedeutet
/beinhaltet. Jedenfalls: In diesem Sinne hat [mm] $B\,$ [/mm] dann "mehr" (wobei ich hier
NICHT 'echt mehr' meine) Elemente!
(Etwas "komisch" gesagt: Das eine solche injektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$ existiert,
bedeutet "grob" gesagt folgendes: Wir haben einen vollen Sack [mm] $A\,.$ [/mm] Mit
der Funktion $I [mm] \colon [/mm] A [mm] \to B\,,$ [/mm] die injektiv sein soll, machen wir folgendes:
Ein "Element $b [mm] \in [/mm] B$ soll 'im Besitz von $a [mm] \in [/mm] A$' heißen, wenn [mm] $I(a)=b\,.$" [/mm]
Wir wenden $I [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ an, um [mm] $A\,$ [/mm] "an Elemente aus [mm] $B\,$" [/mm] zu verteilen. Weil der Definitionsbereich
von [mm] $I\,$ [/mm] halt [mm] $A\,$ [/mm] ist, werden alle Elemente aus [mm] $A\,$ [/mm] auch an Elemente
von [mm] $B\,$ [/mm] verteilt. (Nach der Verteilung ist der Sack leer!)
Es bleibt also kein Element aus [mm] $A\,$ [/mm] "zurück". Was bedeutet nun die
Injektivität? Sie bedeutet: Ist $b [mm] \in [/mm] B$ ein Element, welches bei der
Verteilung NICHT LEER ausgegangen ist (es kann ja Elemente $b [mm] \in [/mm] B$
geben, die "nichts aus [mm] $A\,$ [/mm] bekommen haben - sie 'besitzen also kein Element aus [mm] $A\,$'"), [/mm]
so besitzt das [mm] $b\,$ [/mm] auch nicht mehr Elemente als dieses eine.
Grobgesagt kann man mit einer Injektion $A [mm] \to [/mm] B$ also folgendes machen:
Man gibt alle Elemente aus [mm] $A\,$ [/mm] raus (Definitionsbereich von [mm] $I\,$ [/mm] ist [mm] $A\,$!) [/mm]
an Elemente aus [mm] $B\,,$ [/mm] wobei die Elemente aus [mm] $B\,,$ [/mm] die dabei NICHT leer
ausgehen, auch nicht mehr als ein Element aus [mm] $A\,$ [/mm] erhalten. (Injektivität!)
D.h., "jedes besitzende Element aus [mm] $B\,$" [/mm] 'spiegelt' "genau ein Element
aus [mm] $A\,$ [/mm] wieder" - und kein Element aus [mm] $A\,$ [/mm] "wird dabei vergessen"!
(Letzteres wieder, weil [mm] $A\,$ [/mm] der Definitionsbereich von [mm] $I\,$ [/mm] ist!)
Viel besser kann ich das gerade nicht ausdrücken...
Beispiele: 1.) Es gibt keine injektive Abbildung [mm] $\IN \to \{1\}\,.$ [/mm] (Warum?)
Es gibt aber eine injektive Abbildung [mm] $\{1\} \to \IN$ [/mm] (Warum?) Damit hat
[mm] $\IN$ [/mm] "mehr" (hier könnte man sich die Anführungszeichen sparen) Elemente
als [mm] $\{1\}\,.$
[/mm]
2.) Es gibt eine injektive (sogar bijektive) Abbildung $f [mm] \colon \IN \to 2\IN:=\{2n: \;\;n \in \IN\}\,.$ [/mm]
Was folgt - aus der Existenz einer injektiven Abbildung [mm] $\IN \to 2\IN$ [/mm] -
bzgl. "der Elementzahlen" erstmal nur?
(Erinnerung: [mm] $B\,$ [/mm] hat "mehr" Elemente als [mm] $A\,,$ [/mm] falls es eine injektive Abbildung $A [mm] \to [/mm] B$
gibt! Und was "klingt dabei verwunderlich", wenn doch $B [mm] \subseteq [/mm] A$ ist?)
Und nochmal kurz:
$$A:=[0,1] [mm] \cap \IQ$$
[/mm]
ist sicher Teilmenge von [mm] $\IQ$ [/mm] und damit abzählbar.
$$B:=[0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)$$
[/mm]
muss überabzählbar sein. Denn wäre [mm] $B\,$ [/mm] abzählbar, so auch
$$A [mm] \cup B\,,$$
[/mm]
weil [mm] $A\,$ [/mm] abzählbar ist, und wir die Annahme trafen, dass [mm] $B\,$ [/mm] abzählbar sei.
Aber die Mengengleichheit
$$[0,1]=A [mm] \cup [/mm] B$$
widerspricht dem Ganzen, denn linkerhand steht dann eine überabzählbare
Menge, und rechterhand eine abzählbare.
(Nebenbei: Merke Dir, dass TEILMENGEN ABZÄHLBARER MENGEN stets ABZÄHLBAR
sind, und dass OBERMENGEN ÜBERABZÄHLBARER MENGEN auch ÜBERABZÄHLBAR
sind! (Hierbei meine ich mit "abzählbar" halt "höchstens abzählbar"!)
P.S. Warum kann man, mit einer (injektiven) Abbildung $I [mm] \colon [/mm] A [mm] \to B\,,$ [/mm] ein Element
aus [mm] $A\,$ [/mm] oben eigentlich nicht "an echt mehr als ein Element aus [mm] $B\,$ [/mm] 'verteilen'?"
(Das ginge auch nicht, wenn man auf die Voraussetzung der Injektivität
von [mm] $I\,$ [/mm] verzichten würde - zu was steht sowas wie [mm] $I(a)=b_1$ [/mm] und [mm] $I(a)=b_2$ [/mm]
mit [mm] $b_1 \not=b_2$ [/mm] im Widerspruch?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Mopsi,
> > > Ich unterteile die Fläche unter der
> > > Kurve doch in unendlich viele Rechtecke und lasse die
> > > Breite gegen Null gehen und das ist doch dieses dx,
> > aber
> > > dann ist doch jedes Rechteck immer
> > gleichbreit und zwar dx
> > > breit, warum suche ich dann das Maximum?
> >
> > Die Zerlegungen selbst sind immer endlich!
> > Erst für den Grenzübergang Feinheit gegen 0 werden
> > sozusagen alle Teilintervalle der Zerlegung gleichbreit
> > (nämlich mit Breite 0).
> >
> > Es gibt keine "dx" breiten Rechtecke.
>
> Wieso?
> Ich rechne doch [mm] \sum_{x=a}^{b} f(x) * dx[/mm] um das
> Integral zwischen den Grenzen a und b zu berechnen.
Nein, so sieht die Formel für das Integral nicht aus. Das Integral ist Grenzwert von Riemannschen Zwischensummen, und die sehen so aus:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}f(s_k)\cdot (x_k [/mm] - [mm] x_{k-1})$
[/mm]
Für das Verständnis ist es OK, sich das mit "dx" vorzustellen.
Aber: Das "dx" ist keine Zahl. Du kannst mit "dx" nicht rechnen. Es wird nur als "Codewort" verwendet, als mathematische Bezeichnung, um zu sagen, dass der Abstand gegen Null geht.
Das dx in [mm] $\int [/mm] f(x) dx $ bedeutet NICHTS, das ist nur Definition. Man definiert den Ausdruck [mm] $\int [/mm] f(x) dx $ als Grenzwert von Riemannschen Zwischensummen der Funktion f(x).
Wenn ich also schreibe, "es gibt keine dx breiten Rechtecke", so meine ich 1.) dass dx ohnehin keine Zahl bezeichnet und 2.) Wenn es eine Zahl wäre, dann am ehesten die "0", und dann hätte das Rechteck ja Seitenlänge 0 und wäre gar kein Rechteck, sondern nur ein Strich.
> > Zum Beweis:
> >
> > Nimm dir mal die Zerlegung [mm]Z_n[/mm]
> >
> > [mm]0 < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < ... < \frac{n-1}{n} < 1[/mm]
>
> >
> > vor (n [mm]\in \IN).[/mm]
> > Überzeuge dich, dass die Feinheit
> dieser
> > Zerlegung gegen 0 geht.
>
> Davon habe ich mich überzeugt.
Gut . Die Feinheit von [mm] Z_n [/mm] ist nämlich einfach 1/n, und das geht gegen Null.
> > Angenommen, es GÄBE solch ein I wie bei euch in der
> > Definition. Dann könntest du zu [mm]\varepsilon = 1/4[/mm] ein
> > [mm]\delta > 0[/mm] finden, was die Eigenschaften aus der Def.
> hat.
> >
> >
> > Überlege dir, dass für ein genügend großes [mm]N\in \IN[/mm]
> die
> > Bedingung [mm]|Z_N| < \delta[/mm] erfüllt ist.
Das ist deswegen der Fall, weil [mm] |Z_n| [/mm] = 1/n. Und das geht gegen Null, für [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt es also sicher ein N mit [mm] |Z_N| [/mm] = 1/N < [mm] \delta.
[/mm]
> > Entsprechend der Def. muss die Zerlegung [mm]Z_N[/mm] die
> > Eigenschaft [mm]|I - \sigma(f,Z_N,s)| < \frac{1}{4}[/mm] haben
> (für
> > alle Zwischenpunkte s). (**)
> >
> >
> > Überlege dir NUN, dass du als Zwischenpunkte [mm]s_i[/mm]
> einmal
> > nur rationale Zahlen und einmal nur irrationale Zahlen
> > wählen könntest. Was erhältst du in diesen beiden
> > Fällen für die Zwischensummen ?
> Mein erster Gedanke war, dass wenn ich nur Rationale Zahlen
> wählen könnte, dass wir einen beliebig kleinen Abstand zu
> I erreichen können, also kleiner als das vorgegebene
> Epsilon.
> Aber wenn ich nur irrationale Zahlen wählen dürfte, dann
> wäre die Zwischensumme nicht ganz so genau, weil es
> (zumindest kenne ich nur) wenige irrationale Zahlen gibt?
Marcel hat dir ja schon geschrieben, dass es sehr viele rationale und irrationale Zahlen gibt. Es ist also kein Problem, solche Zahlen zu wählen, denn in jedem Intervall [mm] [x_i,x_{i+1}] [/mm] liegt mit Sicherheit eine rationale und eine irrationale Zahl.
Was du da oben zu dem Abstand zu I schreibst, ist schon ein Schritt zu weit.
1) Angenommen, es sind jetzt alle [mm] $s_i \in \IQ$. [/mm] Welchen Wert (du kannst ihn BERECHNEN, indem du die Def. von f anwendest), hat dann die Riemannsche Zwischensumme
[mm] \sigma(f,Z_N,s)
[/mm]
?
2) Angenommen, es sind jetzt alle [mm] $s_i \in \IR \backslash \IQ$. [/mm] Welchen Wert hat dann die Riemannsche Zwischensumme
[mm] \sigma(f,Z_N,s)
[/mm]
?
Ist das mit (**) vereinbar?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Do 11.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Hallo Mopsi,
>
>
>
> > > > Ich unterteile die Fläche unter der
> > > > Kurve doch in unendlich viele Rechtecke und lasse
> die
> > > > Breite gegen Null gehen und das ist doch dieses dx,
> > > aber
> > > > dann ist doch jedes Rechteck immer
> [color=blue] > > gleichbreit und zwar dx[/color]
> > > > breit, warum suche ich dann das Maximum?
> > >
> > > Die Zerlegungen selbst sind immer endlich!
> > > Erst für den Grenzübergang Feinheit gegen 0 werden
> > > sozusagen alle Teilintervalle der Zerlegung
> gleichbreit
> > > (nämlich mit Breite 0).
> > >
> > > Es gibt keine "dx" breiten Rechtecke.
> >
> > Wieso?
> > Ich rechne doch [mm] \sum_{x=a}^{b} f(x) * dx[/mm] um das
> > Integral zwischen den Grenzen a und b zu berechnen.
>
>
> Nein, so sieht die Formel für das Integral nicht aus. Das
> Integral ist Grenzwert von Riemannschen Zwischensummen, und
> die sehen so aus:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}f(s_k)\cdot (x_k - x_{k-1})[/mm]
Warum rechnet man denn nicht mit diesem dx?
Ich habe noch keinen guten Grund gehört?
*
Ich nehme jetzt einfach mal an, dass man nun doch mit diesem dx rechnet und es gegen Null geht.
*
Warum hat man sich nicht mit [mm] \sum_{x=a}^{b} f(x) * dx[/mm] zufrieden gegeben?
Ob ich nun die Summe von dem einem oder dem anderen Produkt bilde, am Ende kommt doch das selbe bei heraus? (wenn bei der ersten Summe x beliebig klein ist und bei der zweiten [mm]x_k - x_{k-1}[/mm] beliebig klein ist.) Sie sind beide doch gleich beliebig klein. Also man kann nicht sagen, das eine ist noch genauer, als das andere.
Was ist so "toll" an den Riemannschen Zwischensummen?
Du sagst "Nein, so sieht die Formel für das Integral nicht aus." Also kennen wir nur einen Integral Begriff, oder? Also das Integral aus der Schule ist noch immer das gleiche Integral, das wir in er Universiät kennengelernt haben?
Warum haben wir dann nie etwas von Riemannschen-Zwischensummen in der Schule gehört?
Weil es meiner Meinung nach genau das gleiche berechnet...
> Für das Verständnis ist es OK, sich das mit "dx"
> vorzustellen.
> Aber: Das "dx" ist keine Zahl. Du kannst mit "dx" nicht
> rechnen. Es wird nur als "Codewort" verwendet, als
> mathematische Bezeichnung, um zu sagen, dass der Abstand
> gegen Null geht.
>
> Das dx in [mm]\int f(x) dx[/mm] bedeutet NICHTS, das ist nur
> Definition. Man definiert den Ausdruck [mm]\int f(x) dx[/mm] als
> Grenzwert von Riemannschen Zwischensummen der Funktion
> f(x).
Ich dachte wir verdanken Leibniz dieses Integralzeichen, damals hat Riemann doch gar nicht gelebt. Wie hat man denn damals das Integral berechnet? Man würde ja wohl kaum von Riemannschen Zwischensummen sprechen, wenn man sie schon zu Zeiten von Leibniz kannte?
> Wenn ich also schreibe, "es gibt keine dx breiten
> Rechtecke", so meine ich 1.) dass dx ohnehin keine Zahl
> bezeichnet und 2.) Wenn es eine Zahl wäre, dann am ehesten
> die "0", und dann hätte das Rechteck ja Seitenlänge 0 und
> wäre gar kein Rechteck, sondern nur ein Strich.
Und wo ist jetzt der Unterschied zu [mm]x_k - x_{k-1} [/mm]? Das geht doch genauso gegen Null?
[mm]\f(s_k)\cdot (x_k - x_{k-1})[/mm] Und hier wird dann doch genauso der Flächeninhalt eines Striches berechnet...
Ich sehe einfach keinen Unterschied zwischen [mm] \sum_{x=a}^{b} f(x) * dx[/mm] und [mm]\sum_{k=1}^{n}f(s_k)\cdot (x_k - x_{k-1})[/mm]! WENN wir beliebig klein werden und das wollen wir doch auch, weil wir einen möglichst genauen Wert berechnen wollen.
(und natürlich überhaupt mit dx rechnen)
> Marcel hat dir ja schon geschrieben, dass es sehr viele
> rationale und irrationale Zahlen gibt. Es ist also kein
> Problem, solche Zahlen zu wählen, denn in jedem Intervall
> [mm][x_i,x_{i+1}][/mm] liegt mit Sicherheit eine rationale und eine
> irrationale Zahl.
>
> Was du da oben zu dem Abstand zu I schreibst, ist schon ein
> Schritt zu weit.
>
>
> 1) Angenommen, es sind jetzt alle [mm]s_i \in \IQ[/mm]. Welchen Wert
> (du kannst ihn BERECHNEN,
indem du die Def. von f anwendest),
Das war der Satz, der mir gefehlt hat. Ich habe die Definition schon total vergessen, weil ich stäntig Verständnisfragen stelle und mit den Gedanken wo ganz anders war.. Sorry :/
> hat dann die Riemannsche Zwischensumme
>
> [mm]\sigma(f,Z_N,s)[/mm]
>
Falls [mm]s_i \in \IQ[/mm] ist laut Definition [mm]f(s_i) = 1[/mm]
Also entspricht die Zwischensumme der Summe von [mm]t_j - t_{j-1}[/mm] mit j=1 bis N.
Jetzt kenne ich N nicht, aber das kann mir egal sein (oder?).
Ich habe jetzt zwei Gedanken dazu:
1. Wir wollen ja eine Zwischensumme die möglichst nah an das Integral drankommt, daher brauchen wir eine sehr feine Zerlegung und wenn die in Grenzwertbetrachtung Null ist, dann ist die Summe von lauter Nullen auch Null und damit der Zwischenwert 0.
2.
Die Feinheit von Z wird nie Null, sondern nur beliebig nah drankommen, also erhalte ich eine Zwischensumme, die nicht Null ist.
Zu 2 habe ich jetzt nochmal ein Problem:
Die Zwischensumme hängt nun ja stark von N ab. Wenn N nicht so groß ist, dann ist die Zwischensumme sehr nah an 0, aber wenn N sehr groß ist, dann konvergiert die Zwischensumme doch gegen einen exakten Wert, weil das Intervall geschlossen ist, oder?
Von was soll ich ausgehen? N ist ja endlich und nicht unendlich groß, hat mir Stefan gesagt.
Mich stört einfach das es für kleine N anders aussieht, als für große N, aber ich nicht sagen kann ob es nun groß oder klein ist. Oder ist es wirklich egal wie groß N ist?
>
> 2) Angenommen, es sind jetzt alle [mm]s_i \in \IR \backslash \IQ[/mm].
> Welchen Wert hat dann die Riemannsche Zwischensumme
>
> [mm]\sigma(f,Z_N,s)[/mm]
>
Hier ist [mm]f(s_i) = 0[/mm] und daher muss die Zwischensumme Null sein.
> Ist das mit (**) vereinbar?
>
Es ist mit ** nur vereinbar, wenn für 1) die gleiche Zwischensumme herauskommt.
Ich bin mir sicher, dass bei 1) die Zwischensumme != 0 ist, aber ob sie nun viel weiter weg oder noch verdammt nah dran ist, weiß ich nicht.
Obwohl das eigentlich ja nicht wichtig ist, oder?
Denn es MUSS genau die gleiche Zwischensumme herauskommen, egal welchen Zwischenpunkt ich einsetze.
Aber 0 != x mit x > 0
Liebe Grüße an euch :)
Mopsi
|
|
|
| |
|
Hallo Mopsi,
ich sehe das mit den Schreibweisen
$ [mm] \int f(x)\, [/mm] dx $ (Integralschreibweise nach Leibniz)
und
$ [mm] \sum_{k=1}^{n}f(s_k)\cdot (x_k [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] $ (Riemannsche Summe)
etwas anders als steppenhahn.
Leibniz lebte viel früher als Riemann und war einer
der Begründer der Differential- und Integralrechnung.
Mit seiner Idee, dass man ein Intervall gewissermaßen
in unendlich viele infinitesimal kleine Teilstrecken "dx"
zerlegen könne, schuf er in der obigen Schreibweise
eine sehr intuitive Notation. Das Integralzeichen [mm] \int [/mm]
steht darin für ein großes "S" wie "Summe" - und
summiert sollen da wirklich (im Prinzip) unendlich
viele, als einzelne unendlich kleine Flächeninhalte
zu einem endlichen Wert, dem Wert des gesuchten
Flächeninhaltes.
Der geniale Trick dabei war, dass er herausfand, wie
man (wenigstens in vielen praktisch relevanten Fällen)
die Werte derartiger "Summen" tatsächlich korrekt
berechnen konnte, ohne wirklich Flächeninhalte der
einzelnen "Striche" zu berechnen und zu addieren.
Der "Trick" steckt im sogenannten Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung, welcher besagt,
dass die Ableitung von $ [mm] \integral_a^x f(t)\, [/mm] dt $
nach der Variablen x gleich f(x) ist ,falls die Funktion f
im Intervall [a,x] stetig ist. Wenn man also Funktionen
ableiten kann und den entsprechenden algebraischen
Ableitungskalkül auch umzukehren weiß (das funktioniert
nicht immer, aber doch für viele einfache und häufig
gebrauchte Funktionen ganz gut) - dann kann man
mit dieser Methode Flächeninhalte und Volumina
wichtiger geometrischer Gebilde exakt berechnen.
Späteren Generationen von Mathematikern war der
intuitive Leibnizsche Begriff der "unendlich kleinen,
aber doch nicht verschwindenden Größen nicht mehr
geheuer. Beim Versuch, solche Ideen, die zwar praktisch
offensichtlich nützlich waren, auf eine solidere logische
Grundlage zu stellen, ging man im 19. Jahrhundert
daran, das bestimmte Integral als Grenzwert von
Folgen von Summen wie eben etwa den Riemannschen
Summen zu definieren. Anstatt von vornherein von
"unendlich kleinen Größen" wie einem "dx" zu sprechen,
blieb man dabei zunächst auf dem festen Boden
von Summen aus jeweils endlich vielen Rechtecks-
inhalten, die man für näherungsweise Flächenbe-
rechnungen auch tatsächlich verwenden kann. Erst
in einem zweiten Schritt macht man dann gedanklich
den Übergang, als "Grenzübergang" bzw. "Limes",
für [mm] n\to\infty [/mm] (und gleichzeitig $\ [mm] (\Delta x)_i\to0$ [/mm] .
Riemann (und andere zeitgenössische Mathematiker
wie etwa Darboux) präzisierten also gewissermaßen
nur die Idee, die Leibniz schon 200 Jahre früher hatte,
in einer Art, die den neueren Ansprüchen an logischer
Grundlegung und Beweisbarkeit in der Mathematik
entsprach.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Al-Chwarizmi, vielen Dank, dass du mir das nochmal erläutert hast :)
|
|
|
|
