Beweis Ring mit Assoziiertheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $$ [/mm] ein kommutativer Ring mit Eins. Beweisen Sie, dass wenn R nullteilerfrei ist, sich die Assoziiertheit zweier Elemente $a,b [mm] \in [/mm] R$ wie folgt charakterisieren lässt:
[mm] $a\sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a|b [mm] \mbox{ und } [/mm] b|a$ |
Hallo!
Ich habe Probleme, das zu beweisen.
Eigentlich ist ja die Assoziiertheit ja bei uns definiert als
[mm] $a\sim [/mm] b [mm] \gdw \exists \mbox{ Einheit } \epsilon: [/mm] b = [mm] \epsilon*a$
[/mm]
Ich muss nun also zeigen, dass diese Aussage zusammen mit der Nullteilerfreiheit
$a*b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = 0 [mm] \mbox{ oder } [/mm] b = 0$
sich äquivalent zu
$ [mm] a\sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a|b [mm] \mbox{ und } [/mm] b|a $
d.h.
[mm] $a\sim [/mm] b [mm] \gdw \exists s\in [/mm] R: b = s*a [mm] \mbox{ und } \exists t\in [/mm] R: a = t*b$.
Aber irgendwie will es bei mir noch nicht klappen. Es ist sicher trivial, aber ...
Kann mir bitte jemand einen Anstoß geben?
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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