Beweis Satz des Thales < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mo 19.11.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Beiweise den Satz von Thales:
Wenn ein Dreieck ABO bei O rechtwinklig ist, dann liegt O auf dem Kreis mit Durchmesser [AB]. |
Hallo!
Ich hab eine Skizze gemacht und folgendermaßen beschriftet:
[mm] \overrightarrow{OA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OB} [/mm] = [mm] \overrightarrow{b}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{m} [/mm] , wobei M der Mittelpunkt von [AB] sein soll,
[mm] \overrightarrow{AM} [/mm] = [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] = [mm] \overrightarrow{r}
[/mm]
und verwende die Gleichheit [mm] \overrightarrow{b}= \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] \overrightarrow{2r}
[/mm]
Voraussetzung: [mm] \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} [/mm] = 0.
Behauptung: [mm] |\overrightarrow{m}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{r}|.
[/mm]
Mein Ansatz, bei dem ich nicht weiterkomm, lautet:
[mm] |\overrightarrow{m}|^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} |\overrightarrow{AB}|^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} |\overrightarrow{b} [/mm] - [mm] \overrightarrow{a}|^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (\overrightarrow{b}^{2} [/mm] - 2 [mm] \underbrace{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}_{=0} [/mm] + [mm] \overrightarrow{a}^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (|\overrightarrow{a} [/mm] + [mm] \overrightarrow{2r}|^{2} [/mm] + [mm] \overrightarrow{a}^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ( 2 [mm] \overrightarrow{a}^{2} [/mm] + 4 [mm] \overrightarrow{a}\overrightarrow{r} [/mm] + [mm] 4\overrightarrow{r}^{2}) [/mm]
komme aber hier nicht weiter...
Bin für jeden Tip dankbar! 
LG, hopsie
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Hallo!
Wenn ihr es nicht explizit über das Skalarprodukt beweisen sollt, dann verwende doch einfach mal folgendes Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist immer 180° und die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind immer gleich und beweise somit einfach das dein Winkel bei 0 90° hat.
MfG
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> Hallo!
> Wenn ihr es nicht explizit über das Skalarprodukt beweisen
> sollt, dann verwende doch einfach mal folgendes
> Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist immer 180° und die
> Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind immer
> gleich und beweise somit einfach das dein Winkel bei 0 90°
> hat.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das, was Du vorschlägst, ist die andere Richtung: jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter.
Hopsie aber möchte zeigen
>>> Wenn ein Dreieck ABO bei O rechtwinklig ist, dann liegt O auf dem Kreis mit Durchmesser [AB]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mo 19.11.2007 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
Leider soll der Satz mit den Methoden der analytischen Geometrie bewiesen werden, Thema ist grad Skalarprodukt.
Deinen Tip versteh ich trotzdem leider nicht, weil die Voraussetzung ja schon ist, dass der Winkel bei O 90° beträgt. Dann muss ich das ja nicht nochmal beweisen, oder hab ich das falsch verstanden?
LG, hopsie
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> Beiweise den Satz von Thales:
> Wenn ein Dreieck ABO bei O rechtwinklig ist, dann liegt O
> auf dem Kreis mit Durchmesser [AB].
> Hallo!
>
> Ich hab eine Skizze gemacht und folgendermaßen
> beschriftet:
>
> [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] = [mm]\overrightarrow{a}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{OB}[/mm] = [mm]\overrightarrow{b}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] = [mm]\overrightarrow{m}[/mm] , wobei M der
> Mittelpunkt von [AB] sein soll,
> [mm]\overrightarrow{AM}[/mm] = [mm]\overrightarrow{MB}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{r}[/mm]
> und verwende die Gleichheit [mm]\overrightarrow{b}= \overrightarrow{a}[/mm]
> + [mm]\overrightarrow{2r}[/mm]
>
> Voraussetzung: [mm]\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}[/mm]
> = 0.
> Behauptung: [mm]|\overrightarrow{m}|[/mm] = [mm]|\overrightarrow{r}|.[/mm]
Hallo,
setz' das mal so an:
[mm] \overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r}
[/mm]
Dann ist
[mm] \overrightarrow{m}*\overrightarrow{m}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{r})*(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{r})
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Mo 19.11.2007 | | Autor: | hopsie |
Ah, danke! Ich glaub, ich hab's.
Besten Dank!
Viele Grüße, hopsie
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