Beweis Satz von Lebesgue < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Di 01.02.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo,
Ich schau mir in dem Analysis III Buch von Amann/Escher gerade den Beweis vom Satz von Lebesgue an (Theorem 3.12 im Buch).
Da verstehe ich einen Schritt nicht. Ich hab den Satz mit Beweis als Bild hochgeladen, hoffe das ist erlaubt:
http://i54.tinypic.com/20gjivo.jpg
Mein Problem hab ich rot unterstrichen.
Es wurde gezeigt: [mm] (f_{j}) [/mm] ist eine Cauchyfolge in L1. L1 ist vollständig, d.h. [mm] (f_{j}) [/mm] konvergiert in L1. Kann ich aus der punktweisen Konvergenz [mm] f_{j} \to [/mm] f folgern, dass der L1 Grenzwert der [mm] (f_{j}) [/mm] f ist? Das leuchtet mir irgendwie nicht ein.
Liebe Grüße,
freimann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Di 01.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Die [mm]f_j[/mm] bilden eine [mm]\mathcal{L}^1[/mm] Cauchy-Folge, wegen der Vollständigkeit gibt es also ein [mm]\tilde{f}\in\mathcal{L}^1[/mm] mit [mm]f_j\to\tilde{f}[/mm] im [mm]\mathcal{L}^1[/mm]-Sinne. Nach Theorem 2.18 heißt das aber, das eine Teilfolge [mm](f_{j_k})_{k\in\IN}[/mm] fast überall punktweise gegen [mm]\tilde{f}[/mm] konvergiert. Diese Teilfolge konvergiert aber nach Vorraussetzung auch fast überall gegen [mm]f[/mm]. Also (!) gilt [mm]\tilde{f}=f[/mm] fast überall, insbesondere ist auch [mm]f\in\mathcal{L}^1[/mm] (das wussten wir a priori nicht) und es gilt
[mm]\int_Xf_j\ d\mu\to\int_X\tilde{f}\ d\mu=\int_Xf\ d\mu[/mm] für [mm]j\to\infty[/mm].
Viele Grüße,
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:13 Mi 02.02.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo pelzig,
Danke für deine Antwort, hat mir sehr geholfen. Es ist garnicht schwer gewesen. 
Liebe Grüße,
freimann
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