Beweis Senkrechtraum ist Ideal < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $L$ eine Lie Algebra und $I$ ein Ideal von $L$. Dann ist auch der Senkrechtraum [mm] $I^{\perp}$ [/mm] ein Ideal von $L$.
(Sorry, das Orthogonal-Zeichen müsste hochgestellt sein, deshalb kürze ich den Senkrechtraum im folgenden mit S ab) |
Ich rechne gerade ein paar alte Übungsaufgaben nach und bei dieser Aufgabe stehe ich gerade irgendwie auf dem Schlauch.
Die Eigenschaft eines Ideals ist folgende: $[x,y] [mm] \in [/mm] S [mm] \forall x\in [/mm] L, [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] S$.
Der Senkrechtraum ist wie folgt definiert: $S := [mm] \{a \in L : \beta(a,b) = 0 \forall b \in I\}$. $\beta$ [/mm] ist dabei eine symmetrische Bilinearform.
Die Klammer [,] ist die die Lie-Klammer. Mein Problem liegt gerade bei der bilineare Abbildung [mm] $\beta$. [/mm] Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll.
Vielleicht kann mir hier jemand etwas helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Chichisama |
Kann mir niemand helfen?! :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 07.03.2011 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]L[/mm] eine Lie Algebra und [mm]I[/mm] ein Ideal von [mm]L[/mm]. Dann ist auch
> der Senkrechtraum [mm]I^{\perp}[/mm] ein Ideal von [mm]L[/mm].
> (Sorry, das Orthogonal-Zeichen müsste hochgestellt sein,
> deshalb kürze ich den Senkrechtraum im folgenden mit S
> ab)
>
>
> Ich rechne gerade ein paar alte Übungsaufgaben nach und
> bei dieser Aufgabe stehe ich gerade irgendwie auf dem
> Schlauch.
> Die Eigenschaft eines Ideals ist folgende: [mm][x,y] \in S \forall x\in L, \forall y \in S[/mm].
>
> Der Senkrechtraum ist wie folgt definiert: [mm]S := \{a \in L : \beta(a,b) = 0 \forall b \in I\}[/mm].
> [mm]\beta[/mm] ist dabei eine symmetrische Bilinearform.
>
> Die Klammer [,] ist die die Lie-Klammer. Mein Problem liegt
> gerade bei der bilineare Abbildung [mm]\beta[/mm]. Ich bin mir nicht
> sicher, wie ich hier vorgehen soll.
Nun, du nimmst $x [mm] \in [/mm] L$ und $y [mm] \in [/mm] S$, und musst nachrechnen, dass $[x, y] [mm] \in [/mm] S$ liegt. Dazu musst du zeigen, dass [mm] $\beta([x, [/mm] y], b) = 0$ ist fuer alle $b [mm] \in [/mm] I$; du weisst, dass [mm] $\beta(y, [/mm] b) = 0$ ist fuer alle $b [mm] \in [/mm] I$.
LG Felix
> Vielleicht kann mir hier jemand etwas helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 08.03.2011 | | Autor: | Chichisama |
Vielen Dank, Felix!! :)
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Ok, ich denke, ich hab's jetzt. Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so richtig ist.
Als Bilinearform habe ich die Killing Form k, def. als k(x,y) = tr(adx [mm] \circ [/mm] ady)
Sei nun x [mm] \in [/mm] L und y [mm] \in [/mm] S. S ist ein Ideal von L, wenn [mm] [x,y]\in [/mm] S [mm] \forall x\in [/mm] L gilt. Um dies zu zeigen, muss nachgewiesen werden, dass k([x,y], b) = 0 [mm] \forall b\in [/mm] I.
Seien X := adx, Y := ady, B := adb.
k([x,y], b) = tr((XY-YX) [mm] \circ [/mm] B)
= tr(XYB - YXB))
= tr(XYB) - tr(YXB) (aufgrund der Assoziativität der Spur)
= trX * tr(YB) - tr(XYB) (aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Spur)
= trX * tr(YB) - trX * tr(YB)
= 0, weil tr(YB) = k(y,b) = 0.
Kann man das so schreiben und ist die Argumentation korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mi 09.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, ich denke, ich hab's jetzt. Wäre nett, wenn mir jemand
> sagen könnte, ob das so richtig ist.
> Als Bilinearform habe ich die Killing Form k, def. als
> k(x,y) = tr(adx [mm]\circ[/mm] ady)
>
> Sei nun x [mm]\in[/mm] L und y [mm]\in[/mm] S. S ist ein Ideal von L, wenn
> [mm][x,y]\in[/mm] S [mm]\forall x\in[/mm] L gilt. Um dies zu zeigen, muss
> nachgewiesen werden, dass k([x,y], b) = 0 [mm]\forall b\in[/mm] I.
> Seien X := adx, Y := ady, B := adb.
>
> k([x,y], b) = tr((XY-YX) [mm]\circ[/mm] B)
> = tr(XYB - YXB))
> = tr(XYB) - tr(YXB) (aufgrund der
> Assoziativität der Spur)
Das ist die Linearitaet der Spur. Bis hierhin ist es ok, denke ich.
> = trX * tr(YB) - tr(XYB) (aufgrund der
> Symmetrieeigenschaft der Spur)
Das gilt jetzt nicht mehr! Einmal kannst du die Endomorphismen in der Spur nicht beliebig umordnen, und dann ist die Spur auch nicht multiplikativ.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deine Antwort!
>
> > = trX * tr(YB) - tr(XYB) (aufgrund der
> > Symmetrieeigenschaft der Spur)
>
> Das gilt jetzt nicht mehr! Einmal kannst du die
> Endomorphismen in der Spur nicht beliebig umordnen, und
> dann ist die Spur auch nicht multiplikativ.
>
> LG Felix
>
Das geht nicht? Die Spur hat doch folgende Eigenschaft: tr(A*B) = tr(B*A)
Mmh, jetzt bin ich etwas verwirrt. Wie soll es sonst weitergehen?
LG, Tine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 09.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Tine!
> > > = trX * tr(YB) - tr(XYB) (aufgrund der
> > > Symmetrieeigenschaft der Spur)
> >
> > Das gilt jetzt nicht mehr! Einmal kannst du die
> > Endomorphismen in der Spur nicht beliebig umordnen, und
> > dann ist die Spur auch nicht multiplikativ.
> >
> > LG Felix
> >
>
>
> Das geht nicht? Die Spur hat doch folgende Eigenschaft:
> tr(A*B) = tr(B*A)
Ja, das gilt.
Daraus folgt aber nicht, dass $tr(A B C) = tr(B A C)$ ist.
Jedoch ist $tr(A B C) = tr(B C A) = tr(C A B)$.
> Mmh, jetzt bin ich etwas verwirrt. Wie soll es sonst
> weitergehen?
Nun, du wirst benoetigen, dass $I$ ein Ideal ist und $b [mm] \in [/mm] I$ ist. Damit gilt insbesondere $[z, b] [mm] \in [/mm] I$ fuer alle $z [mm] \in [/mm] L$. Beachte auch, dass [mm] $\beta([z, [/mm] b], y) = 0$ ist, da $y [mm] \in [/mm] S = [mm] I^\bot$ [/mm] ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Chichisama |
Ah ok, alles klar! Vielen Dank für deine Hilfe!!
LG, Tine
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