Beweis Spur, Determinante < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien K ein Körper und [mm] $c_1,\hdots [/mm] , [mm] c_k \in [/mm] K$.
Sei [mm] $A\in K^{n\times n}$ [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] $$(x-c_1)^{d_1}*\hdots [/mm] * [mm] (x-c_k)^{d_k}$$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $$d_1c_1+\hdots [/mm] + [mm] d_kc_k=Tr(A)$$
[/mm]
und [mm] $$c_1^{d_1}*\hdots [/mm] * [mm] c_k^{d_k}=det(A)$$
[/mm]
Hinweis: Für die Aussage über die Spur, vergleichen Sie die Koeffizienten von [mm] $x^{n-1}$ [/mm] in $det(x*I-A)$ und [mm] $(x-c_1)^{d_1}*\hdots *(x-c_k)^{d_k}$ [/mm] |
Guten Tag,
ich sitze hier schon eine gefühlte Ewigkeit an der Aufgabe
habe mir schon Gedanken dazu gemacht und mir überlegt, ob man es evtl. mit Induktion beweisen könnte, jedoch scheinen meine ganzen Anstätze nicht zu funktionieren.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Vielen Dank
lG DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 21.06.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
sagt Dir die Jordannormalform was?
Es folgt nämlich daraus und aus den Eigenschaften
$tr(AB)=tr(BA)$
sowie
[mm] $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
[/mm]
ciao
Stefan
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