Beweis Summe Binomialkoeff. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich sitze gerade mit einer Freundin vor zwei Beweisaufgaben, die wir allerdings nicht so ganz hinbekommen...
z.z.
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k} [/mm] = [mm] (\bruch{n+1}{n})^n
[/mm]
Unsere erste Überlegung war das ganze mit der vollständigen Induktion zu zeigen... Das klappt allerdings nicht so ganz und unsere nächste Überlegung war nun, ob man das vielleicht mit schon bewiesenen Aussagen zeigen kann...
Wir wissen schließlich schon, dass [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^n q^k [/mm] = [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
Könnte man dann für beide Faktoren das bekannte anwenden... ?!
Also darf man auf ein Produkt die Summe auf die einzelnen Faktoren anwenden?
Über eine Rückmeldung zu unseren Überlegungen bzw. weiteren Denkanregungen wären wir sehr dankbar!
LG
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Hallo Isabelle90,
> Hallo!
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> Ich sitze gerade mit einer Freundin vor zwei
> Beweisaufgaben, die wir allerdings nicht so ganz
> hinbekommen...
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> z.z.
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} \bruch{1}{n^k}[/mm] = [mm](\bruch{n+1}{n})^n[/mm]
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> Unsere erste Überlegung war das ganze mit der
> vollständigen Induktion zu zeigen... Das klappt allerdings
> nicht so ganz und unsere nächste Überlegung war nun, ob
> man das vielleicht mit schon bewiesenen Aussagen zeigen
> kann...
> Wir wissen schließlich schon, dass [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k}[/mm] = [mm]2^n[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^n q^k[/mm] = [mm]\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
> Könnte man dann für beide Faktoren das bekannte
> anwenden... ?!
> Also darf man auf ein Produkt die Summe auf die einzelnen
> Faktoren anwenden?
>
> Über eine Rückmeldung zu unseren Überlegungen bzw.
> weiteren Denkanregungen wären wir sehr dankbar!
Ja, Bekanntes zu verwenden, ist eine glänzende Idee.
Hier tut's der binomische Lehrsatz:
Edit:
[mm](x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^ky^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^{n-k}y^{\red{k}}[/mm]
Beachtet: [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!
> Hier tut's der binomische Lehrsatz:
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> [mm](x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^ky^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^{n-k}y^{n}[/mm]
>
Kann es sein, dass du dich im letzten Teil vertippt hast? Es muss doch [mm] \sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^{n-k}y^{k}[/mm] [/mm] sein, oder? Weil damit kämen wir auch auf unseren Beweis...
Also
[mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] = (mit Binom.lehrsatz) [mm] \summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k}
[/mm]
Das stimmt so, oder?
Wir haben dazu noch eine zweite Beweisaufgabe und zwar sollen wir zeigen [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{m^k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m-1} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{m^n}). [/mm] (n [mm] \in \IN [/mm] mit m > 1)
Vermutlich müssen wir da wieder mit bekannten Aussagen zeigen, aber irgendwie finden wir nicht, womit es klappt... Unser Gedanke war die geometrische Summenformel, aber damit gehts schief (oder?)...
LG
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Hallo Isabelle!
> Kann es sein, dass du dich im letzten Teil vertippt hast?
> Es muss doch [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}x^{n-k}y^{k}[/mm] sein, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt. Da hat sich schachuzipus vertippt.
> [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k}[/mm]
> Das stimmt so, oder?
> Wir haben dazu noch eine zweite Beweisaufgabe
Stellt diese doch bitte in einem neuen / eigenständigen Thread.
Gruß vom
Roadrunner
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