Beweis Summe Fakultät < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich soll beweisen:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] = (n über k) = [mm] 2^n
[/mm]
Im Induktionsschritt habe ich folgendes:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] (n über k) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (n über k) + (n über n+1 )= [mm] 2^n
[/mm]
[mm] summe_{k=0}^{n} [/mm] (n über k) = [mm] 2^n [/mm] + (n übr n +1)
jetzt komme ich nicht weiter... kann mir jmd hlf? soll ja auf 2^(n+1) kommen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 06.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Gruß MissYummi !
Im Induktionsschritt hast du zu zeigen:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}=2^{n+1}
[/mm]
Zerlege die Summe erst in zwei Summen mit:
[mm] \vektor{n+1\\k}=\vektor{n\\k-1}+\vektor{n\\k}
[/mm]
beachte weiterhin das
[mm] \vektor{n\\m} [/mm] = 0 für n<m und für m<0
und Indextransformation
somit erhältst du dann
[mm] =2\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\overbrace{=}^{IV}2\dot2^{n}=2^{n+1}
[/mm]
und das war zu zeigen
MfG
saxneat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
kann mir jmd die letzte Zeil etwas erläutern? Ist mir irgendwie ein rätsel sorry...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mo 07.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin MissYumi !
Der komplette Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\k}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n\\k-1}+\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n\\k}=
[/mm]
hier jetzt die Indextransformation (i=k-1 und für i wieder k geschrieben und die "Nullbedingungen" aus meiner ersten Antwort ausnutzen:
[mm] =\summe_{k=-1}^{n+1}\vektor{n\\k}+\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n\\k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}+\vektor{n\\-1}+\vektor{n\\n+1}+\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}+\vektor{n\\n+1}=2*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}=
[/mm]
nun Induktionsvoraussetzung einsetzen:
[mm] =2*2^{n}=2^{n+1}
[/mm]
nun alles klar?
MfG
saxneat
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