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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweis Summenformel
Beweis Summenformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Summenformel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Do 22.10.2009
Autor: Semimathematiker

Aufgabe
Zeigen Sie:


[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] =  [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm]   (n [mm] \in \IN) [/mm]

I.V.)  n = 1

[mm] \summe_{k=1}^{2*1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2^+^1}{1} [/mm] =1+(-1) = 0


I.S.)  n [mm] \mapsto [/mm] (n+1)

[mm] \summe_{k=1}^{2(n+1)} \bruch{(-1)^n^+^1^+^1}{n+1} [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{(-1)^k^+^1}{k}}_{=0 (I.V.)} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n^+^2}{(n+1)} [/mm]

Also wenn ich mich bis hierher nicht komplett vertan habe, weiß ich nicht mehr weiter.....moment.....
Die Potenz im Zähler ist n+2. D.h. doch, dass das eigentlich auch k + 1 ist. Dann ist n +1  im Nenner noch k und damit bin ich bei der Ausgangsaussage..... Damit hab ich aber nicht

[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] =  [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm]   (n [mm] \in \IN) [/mm]

bewiesen. Kann mir da einer schnell helfen?

Dann hab ich noch eine Frage.
K ist doch die erste Zahl bei der ich anfange zu "zählen", nicht?

Viele Grüße
SM

        
Bezug
Beweis Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Hallo,

> Zeigen Sie:
>  
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k}[/mm] =  
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]   (n [mm]\in \IN)[/mm]
>  I.V.)  n = 1
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{2*1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-1)^2^+^1}{1}[/mm] =1+(-1) = 0

kleiner Fehler, es muss [mm] \summe_{k=1}^{2*1}\bruch{(-1)^1^+^1}{1}+\bruch{(-1)^2^+^1}{\red{2}}=... [/mm]  heißen.

Die weiteren Tricks an der Aufgabe sind zum einen das 2n zu eliminieren, das kann mit dem Summanden [mm] \bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] verwurschtelt werden und dann eine Indexverschiebung vorzunehmen.


Lg
Herby

Bezug
                
Bezug
Beweis Summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Do 22.10.2009
Autor: Semimathematiker

[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm]

I.V.)  n = 1

[mm] \summe_{k=1}^{2\cdot{}1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2^+^1}{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2\cdot{}1} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Und jetzt?

Bezug
                        
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Do 22.10.2009
Autor: reverend

Hallo Semimathematiker,

ich stimme Doing zu. Die zu zeigende Gleichung ist falsch. Probiers mal für ein paar (kleine) n aus. Dann bist Du fertig und hast sie widerlegt. Ein Gegenbeispiel reicht ja.

Anders gesagt: stimmt die Aufgabenstellung?

Grüße
reverend

Bezug
                                
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:58 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Moin,

> Hallo Semimathematiker,
>  
> ich stimme Doing zu. Die zu zeigende Gleichung ist falsch.
> Probiers mal für ein paar (kleine) n aus. Dann bist Du
> fertig und hast sie widerlegt. Ein Gegenbeispiel reicht
> ja.

ja, stimmt - die Gleichung in dieser Art stimmt nicht.

> Anders gesagt: stimmt die Aufgabenstellung?

Das wäre hier die Frage der Stunde  :-)


Lg
Herby

> Grüße
>  reverend


Bezug
                        
Bezug
Beweis Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Do 22.10.2009
Autor: Herby

Hallo,

> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
>  
> I.V.)  n = 1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2\cdot{}1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-1)^2^+^1}{2}=\summe_{k=1}^{2\cdot{}1}1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Und jetzt?

Das war erst die linke Seite, wie schaut die rechte aus? edit: was natürlich schon Quatsch ist!

Was der Kommentar von Doing soll, weiß ich nicht [keineahnung] - ich weiß aber auch nicht, ob die Gleichung stimmt, da ich es noch nicht ausprobiert habe - vielleicht hat er ja recht.

Doch, klar weiß ich das und er hat recht  :-)


Was aber auf jeden Fall stimmt, ist:

[mm] \bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+....+\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+....+\bruch{1}{2n-1}+\bruch{1}{2n} [/mm]

Vielleicht kommen wir ja mit ein bisschen Summandenschubserei dahin :-)


Lg
Herby

ps: aber heute nicht mehr [snoopysleep]

Bezug
        
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Do 22.10.2009
Autor: Doing

Hallo.
Wenn du für die Gleichung einen Beweis findest, ess ich einen Besen mit Stil.

Liebe Grüße,
Doing

Bezug
                
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:04 Fr 23.10.2009
Autor: Herby

Hallo Doing,

du hast natürlich recht - das sieht ja sogar ein Blinder! Ich hatte vorhin nur auf die linke Seite geschaut und die rechte gar nicht beachtet, sorry.


Lg
Herby

Bezug
        
Bezug
Beweis Summenformel: Frage überarbeitet
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:58 Do 22.10.2009
Autor: Semimathematiker

Aufgabe
Zeigen Sie:


[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{[red] n+1 [/red]}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm]  

Sorry.

Bezug
                
Bezug
Beweis Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Fr 23.10.2009
Autor: Herby

Hi,

> Zeigen Sie:
>  
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{n+1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
> Sorry.

Das ist dann ja die Reihe, die ich vorhin genannt hatte - also los und [kleeblatt]


Lg
Herby

Bezug
                        
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:10 Fr 23.10.2009
Autor: Semimathematiker

Sorry, aber das hilft mir nicht weiter. Ich bin doch nicht Chuck Norris und kann alle n [mm] \in \IN [/mm] einsetzen und summieren. Wenn ich jetzt erst noch die Indexverschiebung lernen muss, schaff ich das nie bis Dienstag. Das muss doch mit nem einfachen Induktionsschritt n [mm] \mapsto [/mm] (n+1) regelbar sein....


Bezug
                                
Bezug
Beweis Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:24 Fr 23.10.2009
Autor: reverend

Doch doch, Indexverschiebung schaffst Du locker bis Dienstag zu lernen.
Ansonsten siehe meine Antwort unten.

lg
rev

Bezug
                
Bezug
Beweis Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:22 Fr 23.10.2009
Autor: reverend

Hallo Semimathematiker,

das sieht schon viel besser aus. :-)

Herbys Summandenschubserei geht eigentlich ganz einfach:

[mm] \bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n}=\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}\right)-\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{n}\right)= [/mm]

[mm] =\left(\bruch{1}{1}+\blue{\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{3}\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}+\blue{\bruch{1}{2n}}\right)-\bruch{\blue{2}}{2}\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{n}\right)=\ \text{...} [/mm]

Na, siehst Du's? Blau markiert ist eine "nahrhafte Null", die ich mal hinzugefügt habe. Jetzt noch zusammenfassen und fertig. Ach ja, und natürlich in Summenschreibweise übersetzen.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Beweis Summenformel: Induktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:53 Fr 23.10.2009
Autor: reverend

Hallo Semimathematiker,

Induktion geht natürlich auch. Im Übergang von n zu n+1 kommen links und rechts die folgenden Glieder hinzu:

[mm] +\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+2}=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2} [/mm]

umgeformt:
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1}=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1} [/mm]

...

Welcher Weg weniger Schreibarbeit ist, ist kaum zu sagen. In Summenschreibweise geht mein anderer Weg m.E. genauso schnell.

So, jetzt hast Du aber genügend Auswahl.

Grüße
reverend

Bezug
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