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| Aufgabe | Beweisen Sie: Ist [mm] \bruch{p}{q} [/mm] (p,q [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \not= [/mm] 0, p und q teilerfremd) Nullstelle des Polynoms [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] a_{n-1}+...+a_0 \in \IZ[x] (n\ge1, a_n \not= [/mm] 0), dann gilt:
[mm] q|a_n [/mm] und [mm] p|a_0. [/mm] |
Hallo,
ich habe irgendwie Probleme mit obiger Aufgabe und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann. Also ich schreib mal wie ich anfangen wollte:
Gezeigt werden soll ja:
[mm] q|a_n [/mm] und [mm] p|a_0 [/mm] also [mm] a_n*c=q [/mm] und [mm] a_0*c' [/mm] =p mit c,c' [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \bruch{p}{q} [/mm] Nullstelle [mm] \Rightarrow a_n(\bruch{p}{q})^n+a_{n-1}+...+a_0=0
[/mm]
Aber wie fange ich jetzt am besten an? Mit vollständiger Induktion? Aber da stoße ich auch schnell auf Probleme...
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Gruß vom congo
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Hallo congo,
endlich mal eine nützliche Aufgabe. 
> Beweisen Sie: Ist [mm]\bruch{p}{q}[/mm] (p,q [mm]\in \IZ,[/mm] q [mm]\not=[/mm] 0, p
> und q teilerfremd) Nullstelle des Polynoms [mm]a_nx^n[/mm] +
> [mm]a_{n-1}+...+a_0 \in \IZ[x] (n\ge1, a_n \not=[/mm] 0), dann
> gilt:
>
> [mm]q|a_n[/mm] und [mm]p|a_0.[/mm]
>
> ich habe irgendwie Probleme mit obiger Aufgabe und hoffe,
> dass mir hier jemand helfen kann. Also ich schreib mal wie
> ich anfangen wollte:
>
> Gezeigt werden soll ja:
>
> [mm]q|a_n[/mm] und [mm]p|a_0[/mm] also [mm]a_n*c=q[/mm] und [mm]a_0*c'[/mm] =p mit c,c' [mm]\in \IZ[/mm]
Korrekt, aber die Wahl der Variablenbezeichnungen ist nicht so geschickt, weil fehlerträchtig. Nimm wenigsten [mm] c_n [/mm] und [mm] c_0 [/mm] oder ...
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] Nullstelle [mm]\Rightarrow a_n(\bruch{p}{q})^n+a_{n-1}+...+a_0=0[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") So funktioniert das doch nicht mit den Polynomen.
Rechne nochmal nach.
> Aber wie fange ich jetzt am besten an? Mit vollständiger
> Induktion? Aber da stoße ich auch schnell auf Probleme...
>
> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Du kannst das Polynom ja faktorisieren, so dass alle Faktoren entweder die Form [mm] (x-x_i) [/mm] oder die Form [mm] (sx^2+tx+u) [/mm] haben, wobei [mm] x_i [/mm] die Nullstellen sind und die quadratischen Faktoren nicht weiter zerlegbar sind.
Betrachten wir nun die angenommene Nullstelle [mm] \tfrac{p}{q}. [/mm] Sie fließt in den Faktor [mm] (x-\tfrac{p}{q}) [/mm] ein. Da es aber um eine Lösung der Gleichung P(x)=0 geht, dürfen wir die ganze Gleichung beliebig mit Zahlen [mm] \not=0 [/mm] multiplizieren, hier z.B. q.
Unser Faktor heißt dann (qx-p).
Jetzt kann man überlegen, was das für [mm] a_n [/mm] und [mm] a_0 [/mm] heißt, muss sich aber auch noch fragen, ob [mm] a_n [/mm] nur deswegen durch q teilbar ist, weil wir hier gerade mit q multipliziert haben. Welche Bedingungen müssen andere Faktoren erfüllen, damit (mit der ersten Schreibung dieses Nullstellenfaktors) die Koeffizienten alle ganzzahlig sind?
Probiers mal ab hier weiter. Es ist noch was zu kauen übrig.
Grüße
reverend
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Hey, danke für deine schnelle Antwort. Muss erstmal vorwegnehmen, dass ich grad ne Mail bekommen habe, dass das Polynom auf dem Aufgabenblatt falsch steht. Richtig heißt es:
[mm] a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0
[/mm]
> Korrekt, aber die Wahl der Variablenbezeichnungen ist nicht
> so geschickt, weil fehlerträchtig. Nimm wenigsten [mm]c_n[/mm] und
> [mm]c_0[/mm] oder ...
Ja stimmt ok :)
> Betrachten wir nun die angenommene Nullstelle [mm]\tfrac{p}{q}.[/mm]
> Sie fließt in den Faktor [mm](x-\tfrac{p}{q})[/mm] ein. Da es aber
> um eine Lösung der Gleichung P(x)=0 geht, dürfen wir die
> ganze Gleichung beliebig mit Zahlen [mm]\not=0[/mm] multiplizieren,
> hier z.B. q.
> Unser Faktor heißt dann (qx-p).
Ok dann haben wir erstmal das Polynom umgeformt zu [mm] (qx-p)(q_2x-p_2)*...*(q_nx-p_n), [/mm] wobei [mm] \bruch{p_i}{q_i} [/mm] die jeweiligen Nullstellen des Polynoms sind.
Bringt mich das weiter? Oder muss (kann?) ich die anderen Nullstellen konkret ausrechnen?
> Jetzt kann man überlegen, was das für [mm]a_n[/mm] und [mm]a_0[/mm] heißt,
> muss sich aber auch noch fragen, ob [mm]a_n[/mm] nur deswegen durch
> q teilbar ist, weil wir hier gerade mit q multipliziert
> haben. Welche Bedingungen müssen andere Faktoren
> erfüllen, damit (mit der ersten Schreibung dieses
> Nullstellenfaktors) die Koeffizienten alle ganzzahlig
> sind?
Sorry, aber da stehe ich noch total auf dem Schlauch. Was hat sich denn nun für die [mm] a_i [/mm] geändert?
Gruß
congo
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Hallo congo.hoango,
> Hey, danke für deine schnelle Antwort. Muss erstmal
> vorwegnehmen, dass ich grad ne Mail bekommen habe, dass das
> Polynom auf dem Aufgabenblatt falsch steht. Richtig heißt
> es:
>
> [mm]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0[/mm]
Schon klar, dass du das so meintest
>
> > Korrekt, aber die Wahl der Variablenbezeichnungen ist nicht
> > so geschickt, weil fehlerträchtig. Nimm wenigsten [mm]c_n[/mm] und
> > [mm]c_0[/mm] oder ...
>
> Ja stimmt ok :)
>
> > Betrachten wir nun die angenommene Nullstelle [mm]\tfrac{p}{q}.[/mm]
> > Sie fließt in den Faktor [mm](x-\tfrac{p}{q})[/mm] ein. Da es aber
> > um eine Lösung der Gleichung P(x)=0 geht, dürfen wir die
> > ganze Gleichung beliebig mit Zahlen [mm]\not=0[/mm] multiplizieren,
> > hier z.B. q.
> > Unser Faktor heißt dann (qx-p).
>
> Ok dann haben wir erstmal das Polynom umgeformt zu
> [mm](qx-p)(q_2x-p_2)*...*(q_nx-p_n),[/mm] wobei [mm]\bruch{p_i}{q_i}[/mm] die
> jeweiligen Nullstellen des Polynoms sind.
>
> Bringt mich das weiter? Oder muss (kann?) ich die anderen
> Nullstellen konkret ausrechnen?
>
> > Jetzt kann man überlegen, was das für [mm]a_n[/mm] und [mm]a_0[/mm] heißt,
> > muss sich aber auch noch fragen, ob [mm]a_n[/mm] nur deswegen durch
> > q teilbar ist, weil wir hier gerade mit q multipliziert
> > haben. Welche Bedingungen müssen andere Faktoren
> > erfüllen, damit (mit der ersten Schreibung dieses
> > Nullstellenfaktors) die Koeffizienten alle ganzzahlig
> > sind?
>
> Sorry, aber da stehe ich noch total auf dem Schlauch. Was
> hat sich denn nun für die [mm]a_i[/mm] geändert?
Puh, ist es nicht einfacher, das Polynom direkt mit [mm]q^n[/mm] zu multiplizieren?
Du hast doch [mm]0=a_n\cdot{}\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\cdot{}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\ldots+a_1\cdot{}\frac{p}{q}+a_0[/mm], da [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] Nullstelle ist.
Das [mm]\cdot{}q^n[/mm] gibt:
[mm]0=a_n\cdot{}p^n+a_{n-1}\cdot{}p^{n-1}\cdot{}q+\ldots+a_1\cdot{}p\cdot{}q^{n-1}+a_0\cdot{}q^n[/mm]
Also ist [mm]p[/mm] Teiler von [mm]a_0\cdot{}q^n[/mm] und [mm]q[/mm] Teiler von [mm]a_n\cdot{}p^n[/mm] (warum?)
Nun sind aber [mm]p,q[/mm] teilerfremd, also ...
>
> Gruß
> congo
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mi 06.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
diese Lösung stand heute schon einmal hier; der Autor konnte sie aber wieder löschen oder verstecken, wozu gewisse Rechte erforderlich sind...
Das ist natürlich der einfachere und elegantere Weg; ich wollte nur etwas mehr Denkleistung übrig lassen - dann kommt man auch dahin.
Grüße
reverend
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