Beweis Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] die Folge mit [mm] $c_{n}=\bruch{1}{4n+1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass die Folge [mm] $\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist.
b) Geben Sie eine von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] verschiedene Folge [mm] $(d_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] an, welche eine Umordnung von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe mich mit der Definition und der sich daraus ergebenden Folgerung vertraut gemacht, weiß aber nicht, wie ich obige Aufgabe lösen kann. Zunächst die Definition und unten schildere ich meine Schwierigkeiten:
Definition Teilfolge:
Sei [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen und [mm] $(n_{k})_{k \in \IN}$ [/mm] eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen (d.h. [mm] $n_{1}
Dann heißt [mm] $(a_{n_{k}})_{k \in \IN}=(a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},...)$ [/mm] Teilfolge von [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}.$
[/mm]
Folgerung:
Sei [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Dann gilt:
(a) [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a [mm] \gdw$ [/mm] Jede Teilfolge von [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen $a.$
(b) $a$ ist Häufungspunkt von [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ $\gdw$ [/mm] Es gibt eine Teilfolge [mm] $(a_{n_{k}})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_{n})_{n \in \IN},$ [/mm] die gegen $a$ konvergiert.
Bei der Teilaufgabe a) habe ich mir das so vorgestellt, dass ich zeigen muss: [mm] $c_{n}$ [/mm] konvergiert gegen c und die Folge $ [mm] \left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN} [/mm] $ konvergiert gegen c.
Hierfür wende ich jeweils den Grenzwertsatz [mm] $\bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}$ [/mm] an und wenn jeweils das gleiche Ergebnis erscheint, habe ich bewiesen, dass die angegebene Folge eine Teilfolge von [mm] $c_{n}$ [/mm] ist.
Ist mein Gedankengang überhaupt richtig bzw. müsste ich auch die Folgerung b) beweisen?
Bei der Teilaufgabe b) habe ich leider den Begriff "Umordnung" nicht verstanden. Hat jemand eine kurze Erklärung dafür?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
> Es sei [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] die Folge mit
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4n+1}[/mm] für alle [mm]n \in \IN.[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass die Folge [mm]\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Teilfolge von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist.
>
> b) Geben Sie eine von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] verschiedene
> Folge [mm](d_{n})_{n \in \IN}[/mm] an, welche eine Umordnung von
> [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> ich habe mich mit der Definition und der sich daraus
> ergebenden Folgerung vertraut gemacht, weiß aber nicht,
> wie ich obige Aufgabe lösen kann. Zunächst die Definition
> und unten schildere ich meine Schwierigkeiten:
>
> Definition Teilfolge:
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen und
> [mm](n_{k})_{k \in \IN}[/mm] eine streng monoton wachsende Folge
> natürlicher Zahlen (d.h. [mm]n_{1}
> Dann heißt [mm](a_{n_{k}})_{k \in \IN}=(a_{n_{1}},a_{n_{2}},a_{n_{3}},...)[/mm]
> Teilfolge von [mm](a_{n})_{n \in \IN}.[/mm]
>
> Folgerung:
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Dann
> gilt:
>
> (a) [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen [mm]a \gdw[/mm] Jede
> Teilfolge von [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen [mm]a.[/mm]
>
> (b) [mm]a[/mm] ist Häufungspunkt von [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] [mm]\gdw[/mm] Es
> gibt eine Teilfolge [mm](a_{n_{k}})_{k \in \IN}[/mm] von [mm](a_{n})_{n \in \IN},[/mm]
> die gegen [mm]a[/mm] konvergiert.
>
>
> Bei der Teilaufgabe a) habe ich mir das so vorgestellt,
> dass ich zeigen muss: [mm]c_{n}[/mm] konvergiert gegen c und die
> Folge [mm]\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}[/mm]
> konvergiert gegen c.
> Hierfür wende ich jeweils den Grenzwertsatz
> [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}[/mm] an und wenn jeweils
> das gleiche Ergebnis erscheint, habe ich bewiesen, dass die
> angegebene Folge eine Teilfolge von [mm]c_{n}[/mm] ist.
>
> Ist mein Gedankengang überhaupt richtig bzw. müsste ich
> auch die Folgerung b) beweisen?
Das funktioniert nicht - denn es gibt durchaus zwei unterschiedliche Folgen, die den gleichen Grenzwert haben, und wo nicht die eine eine Teilfolge der anderen ist, z.B. [mm](a_n)_{n \in \IN} = \bruch{1}{n}[/mm] und [mm](b_n)_{n \in \IN} = -\bruch{1}{n}[/mm]
Das geht hier aber auch einfacher, denn du kannst bei der angeblichen Teilfolge den Nenner durch einfache Termumformungen so schreiben, dass dort auch 4*(Term mit n's) + 1 steht. Dann ist das die gleiche "Bauart" wie deine eigentliche Folge, aber wenn du in diesen "Term mit n's" jetzt alle natürlichen Zahlen einsetzt, kommen eben nicht alle natürlichen Zahlen raus, sondern nur ein Teil davon. Damit ist das eine Folge, in der nur Folgenglieder deines Originals auftauchen, aber eben nicht alle.
>
>
> Bei der Teilaufgabe b) habe ich leider den Begriff
> "Umordnung" nicht verstanden. Hat jemand eine kurze
> Erklärung dafür?
>
Wenn du die Folgenglieder der Reihe nach aufschreibst, steht dort etwa sowas:
[mm]\bruch{1}{5}, \bruch{1}{9}, \bruch{1}{13}, ....[/mm]
Jetzt sollst du eine Folge angeben, in der genau die gleichen Zahlen als Folgenglieder drin vorkommen, aber nicht in dieser Reihenfolge, sondern "umgeordnet". Zumindest verstehe ich die Aufgabe so.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es sei [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] die Folge mit [mm]c_{n}=\bruch{1}{4n+1}[/mm] für alle [mm]n \in \IN.[/mm]
a) Beweisen Sie, dass die Folge [mm]\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}[/mm] eine Teilfolge von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist.
b) Geben Sie eine von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] verschiedene Folge [mm](d_{n})_{n \in \IN}[/mm] an, welche eine Umordnung von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist. |
Hallo weightgainer,
> Das geht hier aber auch einfacher, denn du kannst bei der
> angeblichen Teilfolge den Nenner durch einfache
> Termumformungen so schreiben, dass dort auch 4*(Term mit
> n's) + 1 steht. Dann ist das die gleiche "Bauart" wie deine
> eigentliche Folge, aber wenn du in diesen "Term mit n's"
> jetzt alle natürlichen Zahlen einsetzt, kommen eben nicht
> alle natürlichen Zahlen raus, sondern nur ein Teil davon.
> Damit ist das eine Folge, in der nur Folgenglieder deines
> Originals auftauchen, aber eben nicht alle.
Die kleine Rechnung [mm] $\bruch{1}{(2n+1)^{2}}=\bruch{1}{4n^{2}+4n+1}=\bruch{1}{4(n^{2}+n)+1}$ [/mm] und eine kurze Beschreibung in Worten genügen schon als Antwort?
Erstaunlich, wie leicht es manchmal gehen kann... 
Teilaufgabe b):
> Wenn du die Folgenglieder der Reihe nach aufschreibst,
> steht dort etwa sowas:
> [mm]\bruch{1}{5}, \bruch{1}{9}, \bruch{1}{13}, ....[/mm]
>
> Jetzt sollst du eine Folge angeben, in der genau die
> gleichen Zahlen als Folgenglieder drin vorkommen, aber
> nicht in dieser Reihenfolge, sondern "umgeordnet".
> Zumindest verstehe ich die Aufgabe so.
Ich habe versucht, mich mit der Definition für die Umordnung vertraut zu machen, scheitere aber an der Interpretation der Umordnung
Ist es so, dass man jeden Index in der neuen Folge [mm] $d_{n}$ [/mm] für die Umordnung nur einmal verwenden darf?
Kann man dann z.B. einfach schreiben [mm] $d_{n}=\bruch{1}{4(n+1)+1} [/mm] $ ?
Vielen Dank
&
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hallo el_grecco,
> Die kleine Rechnung
> [mm]\bruch{1}{(2n+1)^{2}}=\bruch{1}{4n^{2}+4n+1}=\bruch{1}{4(n^{2}+n)+1}[/mm]
> und eine kurze Beschreibung in Worten genügen schon als
> Antwort?
Es ginge auch ohne Worte, wenn Du schreiben kannst, dass [mm] (n^2+n) [/mm] auch eine natürliche Zahl ist...
> Erstaunlich, wie leicht es manchmal gehen kann...
Nicht wahr?
> Teilaufgabe b):
>
> > Wenn du die Folgenglieder der Reihe nach aufschreibst,
> > steht dort etwa sowas:
> > [mm]\bruch{1}{5}, \bruch{1}{9}, \bruch{1}{13}, ....[/mm]
> >
> > Jetzt sollst du eine Folge angeben, in der genau die
> > gleichen Zahlen als Folgenglieder drin vorkommen, aber
> > nicht in dieser Reihenfolge, sondern "umgeordnet".
> > Zumindest verstehe ich die Aufgabe so.
Das verstehe ich auch so.
> Ich habe versucht, mich mit der Definition für die
> Umordnung vertraut zu machen, scheitere aber an der
> Interpretation der
> Umordnung
Dann lies doch mal eine andere [url=http://www.uni-graz.at/~lettl/skripten/Kap2-s09.pdf] Definition, hier Nr. 2 auf S. 2.
> Ist es so, dass man jeden Index in der neuen Folge [mm]d_{n}[/mm]
> für die Umordnung nur einmal verwenden darf?
Ja, das folgt aus der geforderten Bijektivität.
> Kann man dann z.B. einfach schreiben
> [mm]d_{n}=\bruch{1}{4(n+1)+1}[/mm] ?
Das wird nicht reichen. In dieser Folge kommt das erste Glied der anderen, nämlich [mm] \tfrac{1}{5}, [/mm] nicht vor.
Du könntest aber eine Folge [mm] d_n [/mm] definieren, die so anfängt:
[mm] \bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots
[/mm]
Dabei gilt offenbar [mm] d_{2k-1}=c_{2k} [/mm] sowie [mm] d_{2k}=c_{2k-1}
[/mm]
Jetzt brauchst Du nur noch eine gute explizite Bildungvorschrift für [mm] d_n. [/mm] 
Viel Erfolg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es sei [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] die Folge mit [mm] $c_{n}=\bruch{1}{4n+1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass die Folge [mm] $\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist.
b) Geben Sie eine von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] verschiedene Folge [mm] $(d_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] an, welche eine Umordnung von [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] ist. |
Γεια σου reverend,
> Es ginge auch ohne Worte, wenn Du schreiben kannst, dass
> [mm](n^2+n)[/mm] auch eine natürliche Zahl ist...
Aus Interesse: wie sieht der Beweis hierfür aus?
(Läuft er über die Monotonie der Addition/Multiplikation?)
Teilaufgabe b):
> Dann lies doch mal eine andere
> ![[]](/images/popup.gif) Definition, hier Nr. 2 auf S. 2.
> Du könntest aber eine Folge [mm]d_n[/mm] definieren, die so anfängt:
> [mm]\bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots[/mm]
>
> Dabei gilt offenbar [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm] sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm]
Diese letzte Zeile verstehe ich leider nicht... Was drückt das aus bzw. wie kommt man darauf?
> Jetzt brauchst Du nur noch eine gute explizite Bildungvorschrift für [mm]d_n.[/mm]
Erst muss ich das darüber verstehen.
Vielen Dank soweit!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Δεν μιλάω ελληνικά...
Auch hallo
> Es sei [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] die Folge mit
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4n+1}[/mm] für alle [mm]n \in \IN.[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass die Folge [mm]\left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Teilfolge von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist.
>
> b) Geben Sie eine von [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] verschiedene
> Folge [mm](d_{n})_{n \in \IN}[/mm] an, welche eine Umordnung von
> [mm](c_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist.
> Γεια σου reverend,
>
> > Es ginge auch ohne Worte, wenn Du schreiben kannst, dass
> > [mm](n^2+n)[/mm] auch eine natürliche Zahl ist...
>
> Aus Interesse: wie sieht der Beweis hierfür aus?
> (Läuft er über die Monotonie der
> Addition/Multiplikation?)
Ja, wenn ein Beweis nötig wäre, würde er wohl so laufen müssen.
Aber wenn Du in Worten schreibst, würdest Du doch auch nur sagen, dass [mm] (n^2+n) [/mm] eine natürliche Zahl ist, also wird hier ziemlich sicher genügen: [mm] (n^2+n)\in\IN.
[/mm]
> Teilaufgabe b):
>
> > Dann lies doch mal eine andere
> > Definition,
> hier Nr. 2 auf S. 2.
>
> > Du könntest aber eine Folge [mm]d_n[/mm] definieren, die so
> anfängt:
> > [mm]\bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots[/mm]
>
> >
> > Dabei gilt offenbar [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm] sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm]
>
> Diese letzte Zeile verstehe ich leider nicht... Was drückt
> das aus bzw. wie kommt man darauf?
Ich habe doch nichts weiter getan, als das erste mit dem zweiten Glied zu vertauschen, das dritte mit dem vierten, das fünfte mit dem sechsten usw. Und das würde man dann allgemein so aufschreiben, müsste allerdings mal wieder [mm] k\in\IN [/mm] angeben.
> > Jetzt brauchst Du nur noch eine gute explizite
> Bildungvorschrift für [mm]d_n.[/mm]
>
> Erst muss ich das darüber verstehen.
Na, dann mal los. Ein Tipp dazu: die Formel wird ziemlich sicher ein [mm] (-1)^{n+1} [/mm] beinhalten...
> Vielen Dank soweit!
>
> Gruß
> el_grecco
Gern doch.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es sei $ [mm] (c_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ die Folge mit $ [mm] c_{n}=\bruch{1}{4n+1} [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN. [/mm] $
a) Beweisen Sie, dass die Folge $ [mm] \left( \bruch{1}{(2n+1)^{2}} \right)_{n \in \IN} [/mm] $ eine Teilfolge von $ [mm] (c_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ ist.
b) Geben Sie eine von $ [mm] (c_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ verschiedene Folge $ [mm] (d_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ an, welche eine Umordnung von $ [mm] (c_{n})_{n \in \IN} [/mm] $ ist. |
> Δεν μιλάω ελληνικά...
ψέματα
> Auch hallo
Hallo reverend!
Teilaufgabe b):
> > > Du könntest aber eine Folge [mm]d_n[/mm] definieren, die so
> > anfängt:
> > > [mm]\bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots[/mm]
>
> > > Dabei gilt offenbar [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm] sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm]
> >
> > Diese letzte Zeile verstehe ich leider nicht... Was drückt
> > das aus bzw. wie kommt man darauf?
>
> Ich habe doch nichts weiter getan, als das erste mit dem
> zweiten Glied zu vertauschen, das dritte mit dem vierten,
> das fünfte mit dem sechsten usw. Und das würde man dann
> allgemein so aufschreiben, müsste allerdings mal wieder
> [mm]k\in\IN[/mm] angeben.
Jetzt habe ich es kapiert... und gleichzeitig auch kapiert, dass das Belegen mit Zahlenbeispielen für's Verständnis sehr förderlich ist.
> > > Jetzt brauchst Du nur noch eine gute explizite
> > Bildungvorschrift für [mm]d_n.[/mm]
> >
> > Erst muss ich das darüber verstehen.
>
> Na, dann mal los. Ein Tipp dazu: die Formel wird ziemlich
> sicher ein [mm](-1)^{n+1}[/mm] beinhalten...
Das ist jetzt die größte Hürde - zumindest für mich. Ich muss also eine Folge "entwerfen", die [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm] sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm] berücksichtigt und die für natürliche Zahlen eingesetzt dann ergibt $ [mm] \bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots [/mm] $
Gibt es hier eine Möglichkeit, wie man eine Art "Reverse Engineering" durchführen kann, also aus den Brüchen die entsprechende Formel erhält?
Vielen Dank für die starke Unterstützung!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Vorab off topic:
> ψέματα
Warum sollte ich lügen, solange ich Sprach- und Reiseführer, Grammatik und Wörterbuch noch zur Hand habe? Im Alltag ist das aber unpraktisch mit den vier Büchern...
***
N'Abend! (alle Bücher sagen: καλησπέρα! Von der Uhrzeit her wäre ich aber eher geneigt, καληνύχτα! zu verwenden - aber sagt man das auch zur späten Begrüßung oder nur zum nächtlichen Abschied? Auch das müsste ich doch wissen, wenn ich einmal Griechisch können sollte...)
> Teilaufgabe b):
>
> > > > Du könntest aber eine Folge [mm]d_n[/mm] definieren, die so
> > > anfängt:
> > > > [mm]\bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots[/mm]
>
> >
> > > > Dabei gilt offenbar [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm] sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm]
>
> Jetzt habe ich es kapiert... und gleichzeitig auch kapiert,
> dass das Belegen mit Zahlenbeispielen für's Verständnis
> sehr förderlich ist.
Leider nicht immer. Irgendwann braucht man den Übergang zur wirklich abstrakten Mathematik. Aber um dahin zu kommen, hilft es eben doch oft, sich mal ein Beispiel zu suchen. Es wird nur meistens nicht alles erklären, was hinter der allgemeinen Formulierung steckt.
Außerdem übt es etwas, das für alle Beweise eine wichtige Fähigkeit ist, nämlich das Finden von Gegenbeispielen.
> > > > Jetzt brauchst Du nur noch eine gute explizite
> > > Bildungvorschrift für [mm]d_n.[/mm]
> > >
> > > Erst muss ich das darüber verstehen.
> >
> > Na, dann mal los. Ein Tipp dazu: die Formel wird ziemlich
> > sicher ein [mm](-1)^{n+1}[/mm] beinhalten...
>
> Das ist jetzt die größte Hürde - zumindest für mich.
> Ich muss also eine Folge "entwerfen", die [mm]d_{2k-1}=c_{2k}[/mm]
> sowie [mm]d_{2k}=c_{2k-1}[/mm] berücksichtigt und die für
> natürliche Zahlen eingesetzt dann ergibt [mm]\bruch{1}{9},\ \bruch{1}{5},\ \bruch{1}{17},\ \bruch{1}{13},\ \bruch{1}{25},\ \bruch{1}{21},\ \cdots[/mm]
>
> Gibt es hier eine Möglichkeit, wie man eine Art "Reverse
> Engineering" durchführen kann, also aus den Brüchen die
> entsprechende Formel erhält?
Nein, es gibt keine sichere Methode. Hier sind aber die Nenner so regelmäßig, dass man immerhin einiges probieren kann. So werden die ja von einem zum übernächsten Glied immer um 8 größer. Das sieht so regelmäßig arithmetisch aus, dass die Bildungsvorschrift der Nenner (die z.B. [mm] \nu_n [/mm] heißen könnten) ziemlich sicher im Grundsatz so aussieht:
[mm] \nu_n=c+4n+k_n,\ c\in\IZ,\ n\in\IN
[/mm]
wobei [mm] k_n [/mm] sozusagen eine Korrekturfolge ist, denn ohne die stimmts ja bestimmt nicht.
Jetzt kann man sicher genauer überlegen und konstruieren, wie denn noch ein alternierendes Glied (eben die Korrekturfolge) hilfreich ist, aber es braucht nur wenig Herumprobieren, um eine Lösung zu finden. Je nachdem, was man halt schneller kann, nimmt man die eine oder andere Methode.
Hier "sieht" man die Konstruktion nahezu. Zumindestens findet sich leicht die folgende Beobachtung:
9=5+4
5=9-4
17=13+4
13=17-4
25=21+4
21=25-4
etc.
Damit findet man dann
[mm] \nu_n=1+4n-4*(-1)^n [/mm] bzw. [mm] d_n=\bruch{1}{\nu_n}=\bruch{1}{4n+1-4*(-1)^n}
[/mm]
Das ist natürlich nur eine von unendlich vielen möglichen Umordnungen. Andererseits sind nicht alle davon so regelmäßig (Mathematiker sagen gerne: einfach) zu definieren.
Grüße
reverend
>
> Vielen Dank für die starke Unterstützung!
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
|
