Beweis Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 10.10.2008 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe 1 | Sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Sind [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] positive reelle Zahlen, so gilt:
[mm]
\produkt_{i=1}^{n} (1 + a_{i}) \ge 1 + \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
b) Sind [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] reelle Zahlen mit 0 [mm] \le a_{i} [/mm] < 1 für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, so gilt:
[mm]
\produkt_{i=1}^{n} (1 - a_{i}) \ge 1 - \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm] |
Hallo!
Diese beiden Ungleichungen soll ich beweisen (Ich vermute mit vollständiger Induktion). Allerdings komm ich nicht sehr weit. Also zuerst hab ich die Produkt- und Summenformeln umgewandelt, sodass ich jeweils erhalte:
a) [mm] (a+1)^{n} \ge 1 + (a*n) [/mm]
b) [mm] (1-a)^{n} \ge 1 - (a*n) [/mm]
Den Induktionsanfang hab ich natürlich gemacht, kein Thema. Aber wenn ich nun n durch n+1 ersetze komm ich irgendwann nicht weiter. Also für a) hab ich:
[mm](a+1)^{n+1} \ge 1 + (a*(n+1))[/mm]
[mm](a+1)^{n+1} \ge an + a + 1[/mm]
dann hab ich zur vereinfachung a+1 durch x substituiert
[mm](x)^{n+1} \ge an + x[/mm]
und bei b)
[mm](1-a)^{n+1} \ge 1 - (a*(n+1))[/mm]
[mm](1-a)^{n+1} \ge 1 - (an + a)[/mm]
Und nun komm ich an beiden Stellen eben nicht weiter, weil ich nicht weiss welche Termumformungen ich machen müsste, um da klipp und klar bewisen zu haben, dass die Gleichung stimmt. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen vielen Dank schonmal!
Phillip
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> Sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die folgenden
> Aussagen:
> a) Sind [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] positive reelle Zahlen, so gilt:
>
> [mm]
\produkt_{i=1}^{n} (1 + a_{i}) \ge 1 + \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
>
> Sei n eine natürliche Zahl. Beweisen Sie die folgenden
> Aussagen:
> b) Sind [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] reelle Zahlen mit 0 [mm]\le a_{i}[/mm] < 1
> für alle i [mm]\in[/mm] {1,...,n}, so gilt:
>
> [mm]
\produkt_{i=1}^{n} (1 - a_{i}) \ge 1 + \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
>
> Hallo!
>
> Diese beiden Ungleichungen soll ich beweisen (Ich vermute
> mit vollständiger Induktion). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings komm ich nicht
> sehr weit. Also zuerst hab ich die Produkt- und
> Summenformeln umgewandelt, sodass ich jeweils erhalte:
>
> a) [mm](a+1)^{n} \ge 1 + (a*n)[/mm]
> b) [mm](1-a)^{n} \ge 1 - (a*n)[/mm]
>
NEIN! Das ist falsch, denn die [mm] a_i [/mm] sind möglicherweise unterschiedlich, bei deiner Umformung müssten sie alle gleich sein.
Eine Umwandlung ist hier weder möglich noch nötig.
Ok, schaun wir uns mal den Ind.-Schritt bei der a.) an:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) =\produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1 + [mm] a_{i}) [/mm] * [mm] (1+a_{n+1}) \ge\limits_{I.V.} [/mm] 1 - [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] (1+a_{n+1}) \ge [/mm] ...
schätze jetzt nochmal ab und dann bist du schon fast bei: 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_{i}, [/mm] was dann zu zeigen war.
> Den Induktionsanfang hab ich natürlich gemacht, kein Thema.
> Aber wenn ich nun n durch n+1 ersetze komm ich irgendwann
> nicht weiter. Also für a) hab ich:
>
>
> [mm](a+1)^{n+1} \ge 1 + (a*(n+1))[/mm]
> [mm](a+1)^{n+1} \ge an + a + 1[/mm]
>
> dann hab ich zur vereinfachung a+1 durch x substituiert
>
> [mm](x)^{n+1} \ge an + x[/mm]
>
>
>
> und bei b)
>
> [mm](1-a)^{n+1} \ge 1 - (a*(n+1))[/mm]
> [mm](1-a)^{n+1} \ge 1 - (an + a)[/mm]
>
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> Und nun komm ich an beiden Stellen eben nicht weiter, weil
> ich nicht weiss welche Termumformungen ich machen müsste,
> um da klipp und klar bewisen zu haben, dass die Gleichung
> stimmt. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen vielen
> Dank schonmal!
>
> Phillip
Grüße Patrick
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