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Hallo
ich versuch gerade einen Beweis nachzuvollziehen, in dem folgende Schritte stehen; vielleicht koennt ihr mir helfen, sie zu verstehen:
"Wegen [mm] (|a|-|b|)^2 \ge [/mm] 0 folgt
(i)
2|a*b| (1)
[mm] \le
[/mm]
2|a|*|b| (2)
[mm] \le
[/mm]
[mm] |a|^2 [/mm] + [mm] |b|^2 [/mm] (3)
=
[mm] a^2+b^2 [/mm] (4)
und damit
(ii)
[mm] |a+b|^2 [/mm] (5)
[mm] \le
[/mm]
[mm] (|a|+|b|)^2 [/mm] (6)
[mm] \le
[/mm]
[mm] 2(a^2+b^2) [/mm] (7)
Was ich nicht verstehe ist:
1. den Uebergang von (2) auf (3)
2. den Uebergang von (6) auf (7)
3. wieso (i) eine Konsequenz von [mm] (|a|-|b|)^2 \ge [/mm] 0 ist
4. wieso (ii) eine Konsequenz von (i) ist
Kann mir das vielleicht einer eklaeren?
Danke schonmal!
Martin
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Hallo Martin,
> "Wegen [mm](|a|-|b|)^2 \ge[/mm] 0 folgt
>
> (i)
> 2|a*b| (1)
> [mm]\le[/mm]
> 2|a|*|b| (2)
> [mm]\le[/mm]
> [mm]|a|^2[/mm] + [mm]|b|^2[/mm] (3)
> =
> [mm]a^2+b^2[/mm] (4)
>
> und damit
>
> (ii)
>
> [mm]|a+b|^2[/mm] (5)
> [mm]\le[/mm]
> [mm](|a|+|b|)^2[/mm] (6)
> [mm]\le[/mm]
> [mm]2(a^2+b^2)[/mm] (7)
>
> Was ich nicht verstehe ist:
>
> 1. den Uebergang von (2) auf (3)
> 2. den Uebergang von (6) auf (7)
> 3. wieso (i) eine Konsequenz von [mm](|a|-|b|)^2 \ge[/mm] 0 ist
> 4. wieso (ii) eine Konsequenz von (i) ist
>
> Kann mir das vielleicht einer eklaeren?
>
> Danke schonmal!
>
> Martin
Der Schritt von (2) auf (3) ist so begründet:
[mm] $(|a|-|b|)^2\ge 0\gdw |a|^2-2|a||b|+|b|^2\ge 0\gdw |a|^2+|b|^2\ge [/mm] 2|a||b|$ [mm] $(\gdw a^2+b^2\ge [/mm] 2|ab|)$
Das klärt auch Frage 3
Der Schritt von (6) auf (7):
[mm] $(|a|+|b|)^2=|a|^2+\underbrace{2|a||b|}_{\le |a|^2+|b|^2 nach (i)}+|b|^2\le |a|^2+|a|^2+|b|^2+|b|^2=2|a|^2+2|b|^2=2(|a|^2+|b|^2)=2(a^2+b^2)$
[/mm]
Das beantwortet dann auch Frage 4
LG
schachuzipus
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Ok danke
das versteh ich
Jetzt geht der Beweis weiter und ich blicks schon wieder nicht:
[mm] |X-b|^2 [/mm] (1)
[mm] \le
[/mm]
[mm] (|X-a|+|a-b|)^2 [/mm] (2)
[mm] \le [/mm]
[mm] 2(|X-1|^2+|a-b|^2) [/mm] (3)
(2) auf (3) gilt weil [mm] a^2+b^2 \ge [/mm] 2ab aber weswegen gilt (1) auf (2) ?
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Hi nochmal,
da wurde ne "nahrhafte Null" addiert und dann die Dreiecksungleichung angewendet:
[mm] $|X-b|^2=|X\red{-a+a}-b|^2=|(X-a)+(a-b)|^2\le (|X-a|+|a-b|)^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Ok das versteh ich nu auch.
Dann geht der Beweis weiter (es soll gezeigt werden, dass aus der quadratischen Integrierbarkeit der ZV X die Integrierbarkeit von X folgt):
"Sei A := [mm] {\omega \in \OMEGA | X(\omega) \le 1}. [/mm] Aufgrund der quadratischen Integrierbarkeit von X erhaelt man
[mm] E_P(|X|) [/mm] = [mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_A) [/mm] + [mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) \le [/mm] P(A) + [mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
und damit die Behauptung."
Mir leuchtet ein, dass
[mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_A) \le [/mm] P(A)
Auf der anderen Seite gilt aber auch:
[mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) \le E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_{A^c})
[/mm]
1. Wie kommt man also dennoch auf die Ungleichung [mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_A) [/mm] + [mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) \le [/mm] P(A) + [mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^c})
[/mm]
2. Wieso folgt aus P(A) + [mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] die einfache Integrierbarkeit der ZV X?
Vielen Dank,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Di 26.06.2007 | | Autor: | sancho1980 |
weiss hier wirklich keiner weiter?
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Ich wills nochmal anders ausdruecken, in der Hoffnung, jemand kann mir da helfen. Es gilt A:={ [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] |X(\omega)| \le [/mm] 1 } und X ist quadratisch integrierbar. Dann waere Folgendes zu zeigen:
[mm] E_P(1_A) [/mm] - [mm] E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_A) \ge E_P(|X| [/mm] * [mm] 1_{A^C}) [/mm] - [mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^C})
[/mm]
Weiss da einer weiter?
Danke,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 28.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:39 Mi 27.06.2007 | | Autor: | nad21 |
Hi,
> Ok das versteh ich nu auch.
> Dann geht der Beweis weiter (es soll gezeigt werden, dass
> aus der quadratischen Integrierbarkeit der ZV X die
> Integrierbarkeit von X folgt):
>
> "Sei A := [mm]{\omega \in \OMEGA | X(\omega) \le 1}.[/mm] Aufgrund
> der quadratischen Integrierbarkeit von X erhaelt man
>
> [mm]E_P(|X|)[/mm] = [mm]E_P(|X|[/mm] * [mm]1_A)[/mm] + [mm]E_P(|X|[/mm] * [mm]1_{A^c}) \le[/mm] P(A) +
> [mm]E_P(|X^2|[/mm] * [mm]1_{A^c})[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> und damit die Behauptung."
>
> Mir leuchtet ein, dass
>
> [mm]E_P(|X|[/mm] * [mm]1_A) \le[/mm] P(A)
>
> Auf der anderen Seite gilt aber auch:
>
> [mm]E_P(|X^2|[/mm] * [mm]1_{A^c}) \le E_P(|X|[/mm] * [mm]1_{A^c})[/mm]
Nein, das gilt nicht. Schau' dir doch mal die Definition deiner
Menge A an. Auf A ist |X| <=1, also ist |X| auf [mm] A^C [/mm] > 1.
Deshalb gilt:
[mm] E_P(|X^2| [/mm] * [mm] 1_{A^c}) \ge E_P(|X|* 1_{A^c})
[/mm]
Das sollte 1 beantworten.
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> 1. Wie kommt man also dennoch auf die Ungleichung [mm]E_P(|X|[/mm] *
> [mm]1_A)[/mm] + [mm]E_P(|X|[/mm] * [mm]1_{A^c}) \le[/mm] P(A) + [mm]E_P(|X^2|[/mm] * [mm]1_{A^c})[/mm]
> 2. Wieso folgt aus P(A) + [mm]E_P(|X^2|[/mm] * [mm]1_{A^c})[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> die einfache Integrierbarkeit der ZV X?
Da X quadratisch integrierbar ist, ist
[mm] E_P(|X^2| 1_{A^C}) \le E_P(|X^2|) [/mm] = [mm] E_P(X^2) [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Da nun P(A) ebenfalls endlich ist, ist die Summe endlich, und
damit ist X nach Definition integrierbar.
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