Beweis Variation der Konstante < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 29.04.2010 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Gegeben sie das Anfangswertproblem (AWP)
[mm]y'+g(x)y=h(x) [/mm]
[mm]y(x_0)=y_0[/mm]
Beweisen Sie, dass die Funktion
[mm]y(x)= (y_0 + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{\int_{x_0}^{t} g(u)\, du}\, dt)* e^{-\int_{x_0}^{x} g(t)\, dt}[/mm]
dieses AWP löst. |
Hi Leute!
Also meine Idee war erstmal die homogen Gleichung y' +g(x)y=0 zu lösen, da komm ich auf [mm]y= e^{-\int_{x_0}^{x} g(x)\, dx}*y_0[/mm]
Aber dann komm ich nicht weiter... also ich weiß nicht was ich jetzt damit machen kann damit ich zeigen kann dass die obige Funktion das AWP löst.
Unser Übungsleiter meinte wir sollten das besser andersherum zeigen... also indem wir die Funktion nehmen und so auflösen dass wir auf die Anfangsbedingungen kommen... allerdings bekomm ich das auch nicht so richtig hin.
Ich weiß ja, dass nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgendes gilt:
[mm]\bruch{dH(t)} {dt}= h(t) , \bruch{dG(u)} {du}= g(u) , \bruch{dG(t)} {dt}= g(t)[/mm]
damit hab ich dann mal die Funktion in das umgeformt:
[mm]y(x)= e^{-G(x)+G(x_0)} * (y_0 + H(x) * e^{G(x)-G(x_0)}- H(x_0))[/mm]
so, das Ding habe ich jetzt abgeleitet und da komm ich dann auf:
[mm]y'(x)= -g(x)*e^{-G(x)+G(x_0)}+ H(x_0)*g(x)*e^{-G(x)+G(x_0)}+h(x)[/mm]
und nun weiß ich nicht weiter... weil eigentlich müsste das schon die Lösung sein, ist es aber nicht... findet ihr den Fehler oder wisst ihr was ich noch machen muss?
In der Übung haben wir das so für die Sache mit den getrennten Variablen gemacht und da hat es funktioniert...
Viele liebe Grüße
Mary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Fr 30.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mary
> Gegeben sie das Anfangswertproblem (AWP)
> [mm]y'+g(x)y=h(x)[/mm]
> [mm]y(x_0)=y_0[/mm]
> Beweisen Sie, dass die Funktion
> [mm]y(x)= (y_0 + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{\int_{x_0}^{t} g(u)\, du}\, dt)* e^{-\int_{x_0}^{x} g(t)\, dt}[/mm]
>
> dieses AWP löst.
> Hi Leute!
> Also meine Idee war erstmal die homogen Gleichung y'
> +g(x)y=0 zu lösen, da komm ich auf [mm]y= e^{-\int_{x_0}^{x} g(x)\, dx}*y_0[/mm]
>
> Aber dann komm ich nicht weiter... also ich weiß nicht was
> ich jetzt damit machen kann damit ich zeigen kann dass die
> obige Funktion das AWP löst.
> Unser Übungsleiter meinte wir sollten das besser
> andersherum zeigen... also indem wir die Funktion nehmen
> und so auflösen dass wir auf die Anfangsbedingungen
> kommen... allerdings bekomm ich das auch nicht so richtig
> hin.
Das ist der einfachere Weg.
> Ich weiß ja, dass nach dem Hauptsatz der Differential und
> Integralrechnung folgendes gilt:
> [mm]\bruch{dH(t)} {dt}= h(t) , \bruch{dG(u)} {du}= g(u) , \bruch{dG(t)} {dt}= g(t)[/mm]
>
> damit hab ich dann mal die Funktion in das umgeformt:
> [mm]y(x)= e^{-G(x)+G(x_0)} * (y_0 + H(x) * e^{G(x)-G(x_0)}- H(x_0))[/mm]
Das stimmt nicht, das Integral
[mm] h(t)*e^{\int_{x_0}^{t} g(u)\, du} [/mm]
ist falsch ausgerechnet. Das kannst du nicht allgemein angeben; insbesondere kannst du nicht einfach $h(x)$ und die e-Funktion getrennt integrieren.
Machen wir's mal schrittweise; die e-Funktionen hast du im Prinzip richtig hingeschrieben:
[mm] y(x) = \left(y_0 + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)-G(x_0)}\, dt\right)* e^{-G(x)+G(x_0)} [/mm]
[mm]= y_0 * e^{-G(x)}*e^{G(x_0)} + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}*e^{-G(x_0)}\, dt* e^{-G(x)}*e^{G(x_0)}[/mm] .
Da [mm] $x_0$ [/mm] und daher auch [mm] $G(x_0)$ [/mm] konstant sind, kann ich die e-Funktion [mm] $e^{-G(x_0)}$ [/mm] aus dem Integral herausziehen, so dass sie sich gegen den Faktor [mm] $e^{G(x_0)}$ [/mm] am Ende weghebt:
[mm] y(x) = y_0 * e^{-G(x)}*e^{G(x_0)} + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt* e^{-G(x)} [/mm] .
(Die Funktion $G(x)$ ist als Stammfunktion von $g(x)$ ja nur bis auf eine Integrationskonstante bestimmt, und [mm] $G(x_0)$ [/mm] spielt genau die Rolle dieser Integrationskonstanten. Das Ergebnis ist immer dasselbe, unabhängig von der Integrationskonstanten.)
Ableiten ergibt:
[mm] y'(x) = y_0 * e^{-G(x)} * (-G'(x)) *e^{G(x_0)} + (h(x)*e^{G(x)}) * e^{-G(x)} + \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt*e^{-G(x)} * (-G'(x)) [/mm]
[mm] = -y_0 *g(x) * e^{-G(x)}*e^{G(x_0)} + h(x) - \int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt*e^{-G(x)}*g(x) [/mm]
So, jetzt rechne selbst die Summe $y'(x) + g(x)*y(x) $ aus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo Rainer!
Danke für deine schnelle Antwort!
Wenn ich das was wir/du jetzt abgeleitet haben umforme komm ich auf:
[mm]y'(x) + g(x) *( y_0 * e^{-G(x)+G(x_0)} +\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt * e^{-G(x)})= h(x)[/mm]
und das hier
[mm] y_0 * e^{-G(x)+G(x_0)} +\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt * e^{-G(x)}[/mm] ist ja y so wie es in der Lösungsfunktion steht!
Also [mm] y'(x) + g(x) *y =h(x)[/mm]
Reicht das denn so als Beweis? Oder muss ich da noch mehr erklären?
Ach ja, das [mm]\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt [/mm] kann ich leider nicht weiter auflösen richtig?
Wenn ich da aber jetzt zahlen stehten hab muss ich das partiell integrieren?
Viele liebe grüße und danke nochmal!
Mary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Fr 30.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mary!
> Hallo Rainer!
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Wenn ich das was wir/du jetzt abgeleitet haben umforme
> komm ich auf:
> [mm]y'(x) + g(x) *( y_0 * e^{-G(x)+G(x_0)} +\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt * e^{-G(x)})= h(x)[/mm]
> und das hier
> [mm]y_0 * e^{-G(x)+G(x_0)} +\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt * e^{-G(x)}[/mm]
> ist ja y so wie es in der Lösungsfunktion steht!
> Also [mm]y'(x) + g(x) *y =h(x)[/mm]
> Reicht das denn so als Beweis?
Im Prinzip ja, zusammen mit der Tatsache, dass die angebene Lösung auch die Anfangsbedingung [mm] $y(x_0)=y_0$ [/mm] erfüllt.
> Ach ja, das [mm]\int_{x_0}^{x} h(t)*e^{G(t)}\, dt[/mm] kann ich
> leider nicht weiter auflösen richtig?
Richtig.
> Wenn ich da aber jetzt zahlen stehten hab muss ich das
> partiell integrieren?
Das geht auch nicht immer. In vielen Fällen kannst du das Integral nicht weiter ausrechnen. Das ist aber nicht so schlimm, denn du weisst trotzdem, dass es die Lösung gibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Mary1986 |
| Aufgabe | Benutzen Sie die Formel von oben, um das Anfangswertproblem [mm]y'=3y+sin(x)*e^x[/mm]
[mm]y(\pi)=2[/mm]
zu lösen |
Hallo Rainer!
Vielen Danke für deine Hilfe!
Ich hab versucht das jetzt nochmal auf ein konkretes Ding anzuwenden...
Das hab ich mal gemacht... und komm dann ja auf
[mm]g(x) = -3 , h(x) =sin(x)*e^x[/mm]
hab dass dann in die Formel eingesetzt und bekomme das hier
[mm] y(x) = 2* e^{3x-3\pi} + \int_{\pi}^{x} sin(t) e^{-2t}\, dt * e^{3x}[/mm]
Die Stammfunktion von dem Intergal ist doch
[mm]- \bruch {1}{5}* e^{-2t}* (2*sin(t)+cos(t))[/mm] oder?
Wenn ich dann damit weiterarbeiten komm ich auf
[mm] y(x) = 2* e^{3x-3\pi} - \bruch {1}{5} *e^{x}*(2*sin(x)+cos(x))-\bruch{1}{5}*e^{3x-2\pi}[/mm]
Irgendwie sieht das für mich so unschön aus, dass ich mir nicht sicher bin ob ich richtig gerechnet hab!
Vielen Dank nochmal
Mary
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 01.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mary!
> Benutzen Sie die Formel von oben, um das Anfangswertproblem
> [mm]y'=3y+sin(x)*e^x[/mm]
> [mm]y(\pi)=2[/mm]
> zu lösen
> Hallo Rainer!
> Vielen Danke für deine Hilfe!
> Ich hab versucht das jetzt nochmal auf ein konkretes Ding
> anzuwenden...
>
> Das hab ich mal gemacht... und komm dann ja auf
> [mm]g(x) = -3 , h(x) =sin(x)*e^x[/mm]
> hab dass dann in die Formel
> eingesetzt und bekomme das hier
> [mm]y(x) = 2* e^{3x-3\pi} + \int_{\pi}^{x} sin(t) e^{-2t}\, dt * e^{3x}[/mm]
>
> Die Stammfunktion von dem Intergal ist doch
> [mm]- \bruch {1}{5}* e^{-2t}* (2*sin(t)+cos(t))[/mm] oder?
> Wenn ich dann damit weiterarbeiten komm ich auf
> [mm]y(x) = 2* e^{3x-3\pi} - \bruch {1}{5} *e^{x}*(2*sin(x)+cos(x))-\bruch{1}{5}*e^{3x-2\pi}[/mm]
>
> Irgendwie sieht das für mich so unschön aus, dass ich mir
> nicht sicher bin ob ich richtig gerechnet hab!
Alles richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Mary1986 |
Hi
Cool!
Vielen lieben Dank!
Hast mir sehr weitergeholfen!
VlG
Mary
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