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| Aufgabe | Sei V ein R-Vektorraum und sei || · || : V [mm] \to [0,\infty) [/mm] eine Norm auf V . Zeigen Sie, dass
durch d(v,w) = ||v − w|| eine Metrik auf V gegeben ist. |
Hallo,
ich habe diese aufgabe bekommen , und weiss gar nicht wie ich das angehen soll, bzw zeigen soll dass eine Metrik auf V gegeben ist!
kann mir vielleicht jmd weiterhelfen ?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Di 10.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Erstens schauste nach wie eine Metrik definiert ist.
Dann schauste die Rechenregeln für Normen nach (denn deine Metrik ist durch eine Norm gegeben).
Dann versuchste die Axiome für Metriken bei deiner speziellen Metrik zu zeigen - dabei wirst du die Rechenregeln für Normen brauchen.
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(i) d(x,y)=0 [mm] \\gdw [/mm] ||x-y||=0 [mm] \gdw [/mm] x-y=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
(iii) d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) [mm] \gdw [/mm] ||x+y|| <= ||x||+||y||,
da [mm] ||x+y||^2 [/mm] <= (||x|| + [mm] ||y||)^2 \gdw ||x||^2 [/mm] + 2 ||x|| ||y||> + [mm] ||y||^2 [/mm] <= [mm] ||x||^2 [/mm] + 2 ||x|| ||y|| + [mm] ||y||^2
[/mm]
ist das richtig so?
kann mir jmd noch sagen wie das zweite geht?
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Deine Begründung für 3. ist irgendwie komisch und geht einfacher....
[mm]d(x,y) = ||x-y|| = ||x- z + z - y|| = ||(x-z) + (z-y))|| \le ||x - z|| + ||z-y|| = d(x,z) + d(z,y)[/mm]
Zu ii) nen Tip:
[mm]||\alpha - \beta|| = ||(-1)(\beta-\alpha)||[/mm]
Und ne Bitte: ei Gleichungsketten bitte durchgehend in mm-Tags schreiben, macht das ganze (wie du siehst) wesentlich leserlicher 
MfG,
Gono.
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