Beweis/Widerlegen von Abbildun < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 20.11.2011 | | Autor: | Sharc |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum und es gelte V [mm] \not= [/mm] {0}. Für einen beliebigen, aber
festen, Vektor v [mm] \in [/mm] V seine die Abbildungen [mm] M_{v} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V und [mm] T_{v} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V für jeden
Vektor c [mm] \in [/mm] V definiert durch
[mm] T_{v} [/mm] := v+x
[mm] M_{v} [/mm] := v-x
Beweisen oder widerlegen Sie:
1. [mm] \forall [/mm] (v,w [mm] \in [/mm] V) [mm] T_{v} \circ T_{w} [/mm] = [mm] T_{v+w}
[/mm]
2. [mm] \forall [/mm] (v,w [mm] \in [/mm] V) [mm] M_{v} \circ M_{w} [/mm] = [mm] M_{v-w}
[/mm]
3.Es gibt ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] T_{v} [/mm] = [mm] id_{V}
[/mm]
4.Es gibt ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] M_{v} [/mm] = [mm] id_{V} [/mm] |
Die ersten beiden Teilaufgaben habe ich so weiter erledigt, habe zu allem auch einen Ansatz bzw. vlt. sogar die richtige und vollständige Lösung.
Ich hoffe jemand kann da mal drüber schauen und mir sagen was ich besser oder anders machen sollte, ggf. Ideen geben was ich anders machen müsste wenn etwas falsch ist.
1.
[mm] (T_{v} \circ T_{w})(x) [/mm] = [mm] T_{v+w}(x) [/mm] , x [mm] \in [/mm] V
[mm] (T_{v} \circ T_{w})(x) [/mm] = [mm] T_{v}(T_{w}(x)) [/mm] = [mm] T_{v}(w+x) [/mm] = v+w+x = [mm] T_{v+w}(x)
[/mm]
Da x beliebig war:
[mm] T_{v} \circ T_{w} [/mm] = [mm] T_{v+w}
[/mm]
2.
[mm] M_{v} \circ M_{w} [/mm] = [mm] M_{v-w}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] V
[mm] (M_{v} \circ M_{w})(x) [/mm] = [mm] M_{v}(M_{w}(x)) [/mm] = [mm] M_{v}(w-x) [/mm] = v-(w-x) = v-w+x
[mm] M_{v-w}(x) [/mm] = v-w-x
x=v=w=1 [mm] \in \IR [/mm] wäre ein Gegenbeispiel.
Man hätte dann 1 = -1 also einen eindeutigen Widerspruch.
3.
Hier tue ich mir sehr schwer.
[mm] T_{v} [/mm] = [mm] id_{V}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] V
[mm] T_{v}(x) [/mm] = [mm] id_{v}(x)
[/mm]
v+x = x
Da [mm] id_{v}:
[/mm]
V [mm] \to [/mm] V
[mm] id_{V}(v) [/mm] = v
Für v = 0:
[mm] T_{0} [/mm] = x = x = [mm] id_{v}
[/mm]
Passt das so?
4.
Hier setze ich ebenfalls 0 ein:
[mm] M_{0}(x) [/mm] = -x [mm] \not= [/mm] x = [mm] id_{v}
[/mm]
Danke schon mal an die jenigen die sich das ansehen werden und mir vlt. sagen können was richtig und was falsch ist.
Ich hoffe ich habe soweit alles relevante geschrieben.
Grüße
Sharc
PS: Bin Erstsemester Wirtschaftsinformatik und gerade in der Klausurvorbereitung, das Thema Abbildungen, Vektorräume, Körper etc. fällt mir momentan am schwersten, aber vlt. legt sich das ja bald.
In anderen Themen kann ich mein Halbwissen gegebenenfalls einbringen, aber nicht bei diesem Thema.
PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V ein Vektorraum und es gelte V [mm]\not=[/mm] {0}. Für einen
> beliebigen, aber
> festen, Vektor v [mm]\in[/mm] V seine die Abbildungen [mm]M_{v}[/mm] : V [mm]\to[/mm]
> V und [mm]T_{v}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V für jeden
> Vektor c [mm]\in[/mm] V definiert durch
> [mm]T_{v}[/mm] := v+x
> [mm]M_{v}[/mm] := v-x
>
> Beweisen oder widerlegen Sie:
> 1. [mm]\forall[/mm] (v,w [mm]\in[/mm] V) [mm]T_{v} \circ T_{w}[/mm] = [mm]T_{v+w}[/mm]
> 2. [mm]\forall[/mm] (v,w [mm]\in[/mm] V) [mm]M_{v} \circ M_{w}[/mm] = [mm]M_{v-w}[/mm]
>
> 3.Es gibt ein v [mm]\in[/mm] V mit [mm]T_{v}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm]
> 4.Es gibt ein v [mm]\in[/mm] V mit [mm]M_{v}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm]
> Die ersten beiden Teilaufgaben habe ich so weiter
> erledigt, habe zu allem auch einen Ansatz bzw. vlt. sogar
> die richtige und vollständige Lösung.
> Ich hoffe jemand kann da mal drüber schauen und mir sagen
> was ich besser oder anders machen sollte, ggf. Ideen geben
> was ich anders machen müsste wenn etwas falsch ist.
>
> 1.
>
> [mm](T_{v} \circ T_{w})(x)[/mm] = [mm]T_{v+w}(x)[/mm] , x [mm]\in[/mm] V
>
> [mm](T_{v} \circ T_{w})(x)[/mm] = [mm]T_{v}(T_{w}(x))[/mm] = [mm]T_{v}(w+x)[/mm] =
> v+w+x = [mm]T_{v+w}(x)[/mm]
ja, passt
>
> Da x beliebig war:
> [mm]T_{v} \circ T_{w}[/mm] = [mm]T_{v+w}[/mm]
>
> 2.
>
> [mm]M_{v} \circ M_{w}[/mm] = [mm]M_{v-w}[/mm]
>
> x [mm]\in[/mm] V
>
> [mm](M_{v} \circ M_{w})(x)[/mm] = [mm]M_{v}(M_{w}(x))[/mm] = [mm]M_{v}(w-x)[/mm] =
> v-(w-x) = v-w+x
>
> [mm]M_{v-w}(x)[/mm] = v-w-x
>
> x=v=w=1 [mm]\in \IR[/mm] wäre ein Gegenbeispiel.
> Man hätte dann 1 = -1 also einen eindeutigen
> Widerspruch.
stimmt
>
> 3.
> Hier tue ich mir sehr schwer.
>
> [mm]T_{v}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm]
>
> x [mm]\in[/mm] V
>
> [mm]T_{v}(x)[/mm] = [mm]id_{v}(x)[/mm]
> v+x = x
>
> Da [mm]id_{v}:[/mm]
> V [mm]\to[/mm] V
> [mm]id_{V}(v)[/mm] = v
Hier würde ich als Variable x nehmen, also [mm] $id_V(x)=x$, [/mm] da v eine andere Rolle spielt.
Dann gilt [mm] $T_{v}(x)=id_V(x)\Leftrightarrow [/mm] v=0$
>
> Für v = 0:
> [mm]T_{0}[/mm] = x = x = [mm]id_{v}[/mm]
>
> Passt das so?
Ja, bis auf die suboptimale Notation
>
> 4.
> Hier setze ich ebenfalls 0 ein:
> [mm]M_{0}(x)[/mm] = -x [mm]\not=[/mm] x = [mm]id_{v}[/mm]
Zu zeigen wäre hier, dass es kein v gibt mit [mm] M_v=id_V.
[/mm]
Es genügt nicht, nur den Fall v=0 zu betrachten.
Du kannst aber so argumentieren: Angenommen, es gibt ein v mit [mm] M_v(x)=id_V(x)=x [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V.
Mit x=0 folgt dann, dass v=0 gelten muss. Und danach zeigst du wie oben, dass es auch mit v=0 nicht klappt.
>
> Danke schon mal an die jenigen die sich das ansehen werden
> und mir vlt. sagen können was richtig und was falsch ist.
> Ich hoffe ich habe soweit alles relevante geschrieben.
>
> Grüße
> Sharc
>
> PS: Bin Erstsemester Wirtschaftsinformatik und gerade in
> der Klausurvorbereitung, das Thema Abbildungen,
> Vektorräume, Körper etc. fällt mir momentan am
> schwersten, aber vlt. legt sich das ja bald.
> In anderen Themen kann ich mein Halbwissen gegebenenfalls
> einbringen, aber nicht bei diesem Thema.
>
> PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 20.11.2011 | | Autor: | Sharc |
Danke schon mal!
Zu Aufgabe 3:
Ist das mit der Äquivalenz so richtig?
Also zwischen id und v. Warum setzt du das dann 0?
Oder ist das nur der andere Ansatz zu meiner "blöden" Formulierung darunter? ;)
Das heißt ich muss mich nur noch auf Aufgabe 4 fokusieren.
[mm] M_{v} [/mm] = [mm] id_{V}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] V
[mm] M_{v}(x) [/mm] = v-x
[mm] id_{V}(x) [/mm] = x
[mm] M_{v}(x) [/mm] = [mm] id_{V}(x) \gdw [/mm] x = 0
Für v = 0 gilt:
0-x [mm] \not= [/mm] x
[mm] M_{v} \not= id_{v}
[/mm]
Passt das jetzt? ;)
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> Danke schon mal!
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> Zu Aufgabe 3:
> Ist das mit der Äquivalenz so richtig?
> Also zwischen id und v. Warum setzt du das dann 0?
Die Bedingung ist doch, dass [mm] T_v(x)=id(x) [/mm] gelten muss, x+v=x für alle x
Und das ist offenichtlich äquivalent zu v=0
> Oder ist das nur der andere Ansatz zu meiner "blöden"
> Formulierung darunter? ;)
>
Deine Idee war schon die richtige.
> Das heißt ich muss mich nur noch auf Aufgabe 4
> fokusieren.
>
> [mm]M_{v}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm]
> x [mm]\in[/mm] V
Hier muss also gelten v-x=x für [mm] \underline{alle}\ x\in [/mm] V.
Da dies dann insbesondere auch für x=0 gelten muss, folgt v=0.
>
> [mm]M_{v}(x)[/mm] = v-x
> [mm]id_{V}(x)[/mm] = x
>
> [mm]M_{v}(x)[/mm] = [mm]id_{V}(x) \gdw[/mm] x = 0
Hier ist mir nicht ganz klar, was du damit zeigen willst. wie gesagt, die bedingung muss für alle x gelten.
>
> Für v = 0 gilt:
Nach dem, was ich oben geschrieben habe, muss v=0 sein. Also kannst du jetzt so weiter machen, und dann passt es
> 0-x [mm]\not=[/mm] x
> [mm]M_{v} \not= id_{v}[/mm]
>
> Passt das jetzt? ;)
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Sharc |
Vielen Dank !
[mm] M_{v} [/mm] = [mm] id_{V}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] V
[mm] M_{v}(x) [/mm] = v-x
[mm] id_{V}(x) [/mm] = x
[mm] M_{v}(x) [/mm] = [mm] id_{V}(x) \gdw [/mm] v = 0 // Hier war der Fehler?
v-x = x für alle x [mm] \in [/mm] V
Ich Frage mich an dieser Stelle nur warum ich denn x gleich 0 setze?
weil wenn x und v gleich 0 stimmt die Behauptung doch?
Nicht aber für alle x.
Aus der Gleichung folgt, dass v gleich 0 sein muss.
Für v = 0 gilt:
0-x [mm] \not= [/mm] x
[mm] M_{v} \not= id_{v}
[/mm]
So weit bedanke ich mich dann schon mal!
Es hat mir sehr geholfen bis jetzt!
Eine andere Frage möchte ich noch kurz einbauen:
[mm] T_{v} [/mm] ist eine Abbildung oder?
Wie beschreibe ich dann [mm] T_{v}(x) [/mm] in Worten?
Ist das eine konkrete Abbildung für x?
oder ist das die Funktion der Abbildung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank !
>
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> [mm]M_{v}[/mm] = [mm]id_{V}[/mm]
> x [mm]\in[/mm] V
>
> [mm]M_{v}(x)[/mm] = v-x
> [mm]id_{V}(x)[/mm] = x
>
> [mm]M_{v}(x)[/mm] = [mm]id_{V}(x) \gdw[/mm] v = 0 // Hier war der Fehler?
>
> v-x = x für alle x [mm]\in[/mm] V
>
> Ich Frage mich an dieser Stelle nur warum ich denn x gleich
> 0 setze?
>
> weil wenn x und v gleich 0 stimmt die Behauptung doch?
> Nicht aber für alle x.
>
> Aus der Gleichung folgt, dass v gleich 0 sein muss.
>
> Für v = 0 gilt:
> 0-x [mm]\not=[/mm] x
> [mm]M_{v} \not= id_{v}[/mm]
>
>
> So weit bedanke ich mich dann schon mal!
> Es hat mir sehr geholfen bis jetzt!
>
> Eine andere Frage möchte ich noch kurz einbauen:
>
> [mm]T_{v}[/mm] ist eine Abbildung oder?
Ja
> Wie beschreibe ich dann [mm]T_{v}(x)[/mm] in Worten?
> Ist das eine konkrete Abbildung für x?
[mm] T_v(x)=x+v
[/mm]
> oder ist das die Funktion der Abbildung?
????
FRED
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