Beweis a<b <=> a³<b³ < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 28.10.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a<b <=> a³<b³ |
Hallo,
weiß nicht so ganz, wie ich hier herangehen soll. Ich muss in beide Richtungen beweisen, richtig?
Hier mal meine Ansätze:
Teil 1 (a<b => a³<b³):
Hier kann ich auf beiden Seiten einfach hoch 3 nehmen, weil ja jeweils mit a² bzw. b² multipliziert sind - diese sind jeweils auf jeden Fall positiv bzw. 0, also ändert sich an der Ungleichung nichts. Doch wie schreibe ich das mathematisch auf?
Andere Möglichkeit: Ich fange mit a-b<0 an, wie kann ich von dort weitermachen?
Teil 2 (a<b <= a³<b³):
Hier würde ich zunächst in (a-b)(a²+ab+b²)<0 aufteilen, doch dann komme ich mit der Fallbetrachtung nicht weiter... Habt ihr Tips?
Danke!
Oli
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> Zeigen Sie:
> a<b <=> a³<b³
> Hallo,
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> weiß nicht so ganz, wie ich hier herangehen soll. Ich muss
> in beide Richtungen beweisen, richtig?
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> Hier mal meine Ansätze:
>
> Teil 1 (a<b => a³<b³):
> Hier kann ich auf beiden Seiten einfach hoch 3 nehmen,
> weil ja jeweils mit a² bzw. b² multipliziert sind - diese
> sind jeweils auf jeden Fall positiv bzw. 0, also ändert
> sich an der Ungleichung nichts. Doch wie schreibe ich das
> mathematisch auf?
> Andere Möglichkeit: Ich fange mit a-b<0 an, wie kann ich
> von dort weitermachen?
>
> Teil 2 (a<b <= a³<b³):
> Hier würde ich zunächst in (a-b)(a²+ab+b²)<0
> aufteilen, doch dann komme ich mit der Fallbetrachtung
> nicht weiter... Habt ihr Tips?
>
> Danke!
> Oli
Hallo Oli,
du stellst die Frage in der Abteilung "Analysis".
Dann kann man die Aufgabe einfach so sehen:
zu zeigen ist, dass die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=x^3 [/mm]
(ebenso wie ihre Umkehrfunktion) streng monoton
steigend ist. Das lässt sich mittels Ableitung und
Mittelwertsatz leicht machen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Do 29.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Sorry, finde sowieso nie das richtige Thema... :(
Wäre Algebra richtiger gewesen? Ich denke, ihr erkennt, wie es gemeint ist. Deine Lösung hilft mir da leider nicht.
Danke!
Oli
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> Zeigen Sie:
> a<b <=> a³<b³
> Hallo,
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> weiß nicht so ganz, wie ich hier herangehen soll. Ich muss
> in beide Richtungen beweisen, richtig?
Hallo,
das ist auf jeden Fall richtig.
Zur Herangehensweise: hier wäre es wichtig, wenn Du uns verraten würdest, was Du verwenden darfst.
Wenn ich mal wieder etwas abdunkele, meinen Raben auf die Schulter setze und in die Kristallkugel schaue, so sehe ich: es geht hier irgendwie um Körper und die Anordnungsaxiome.
Richtig hellgeguckt?
> Hier mal meine Ansätze:
>
> Teil 1 (a<b => a³<b³):
> Hier kann ich auf beiden Seiten einfach hoch 3 nehmen,
> weil ja jeweils mit a² bzw. b² multipliziert sind - diese
> sind jeweils auf jeden Fall positiv bzw. 0, also ändert
> sich an der Ungleichung nichts
Wirklich ganz sicher?
Deiner Argumentation exakt folgend ich ja auch so sagen:
Es ist 2<3.
Nun nehme ich trallala! zwei positive Zahlen 7 und 1 und multipliziere und tadderadaa! erhalte: 2*7<3*1. Huch?
> Doch wie schreibe ich das
> mathematisch auf?
Du mußt alles, was Du tust, mit den Axiomen und Sätzchen begründen, die Dir vorliegen - und welche das sind, weiß ich nicht genau.
Aber Du weißt es, und wenn Du für jeden Schritt, den Du gehst, ein Sätzchen aus der VL liefern kannst, kannst Du sicher sein, daß es richtig ist, was Du tust.
Vage Ahnungen und Gefühle reichen nicht.
Im Prinzip kommst du mit deiner Idee schon weiter, aber die Begründungen müssen richtig sein.
> Andere Möglichkeit: Ich fange mit a-b<0 an, wie kann ich
> von dort weitermachen?
>
> Teil 2 (a<b <= a³<b³):
> Hier würde ich zunächst in (a-b)(a²+ab+b²)<0
> aufteilen, doch dann komme ich mit der Fallbetrachtung
> nicht weiter...
Schade, daß Du nicht ins Detail gehst. Von welchen Fallunterscheidungen sprichst Du
Deine Idee jedenfalls gefällt mir.
Weil ich besser mit positiven Zahlen als mit negativen rechnen kann, würde ich lieber mit b-a>0 starten und daraus [mm] b^3-a^3>0 [/mm] folgern wollen.
Meist sind die Sätze ja auch eher "positiv" formuliert.
Wenn ich glaubhaft machen kann, daß [mm] b^2+ab+a^2 [/mm] positiv ist, habe ich ja gewonnen.
Ich könnte mir vorstellen, daß Dir der Fall, daß a negativ ist und b positiv, Sorgen macht.
Bedenke: [mm] b^2+ab+a^2=b^2+2ab+a^2 [/mm] -ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Do 29.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Hi,
vielen Dank für eure Antworten. Wir befassen uns aktuell viel mit Axiomen usw., in welche Kategorie hätte ich dies hier dann stellen sollen? Vermutlich etwas wie "Zahlentheorie".
Aber zurück zur Aufgabe.
Teil 1: [mm] {a}\le{b} \Rightarrow {a^3}\le{b^3}
[/mm]
[mm] {a-b}\le{0} \gdw {(a-b)}^3\le{0} [/mm] (Multiplikation mit [mm] (a-b)^2>0 [/mm] ändert Ordnungszeichen nicht)
...
[mm] {a^3-b^3+3ab(b-a)}\le{0}
[/mm]
Falscher Ansatz oder komm ich so weiter? Sind a und b beide positiv, ist ja nun 3ab(b-a)>0 und somit ein Schritt in die falsche Richtung. Sitz echt seit Stunden dran und weiß nicht, wie es hier weitergehen soll...
Teil 2: [mm] {a}\le{b} \Leftarrow {a^3}\le{b^3}
[/mm]
[mm] {a^3-b^3}\le{0}
[/mm]
...
[mm] {(b-a)((a+b)^2-ab)}\ge{0}
[/mm]
Wie beweise ich nun, dass [mm] (a+b)^2-ab [/mm] größer gleich 0 ist? Das ist natürlich völlig offensichtlich, aber dafür muss es doch einen schlüssigen Beweis geben. Welchen Beweis verwendet man hierfür normalerweise? Al-Chwarizmis Tipp schien logisch, aber sicherlich vergleichweise zu umständlich?
Vielen Dank!
Oli
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> Al-Chwarizmis Tipp schien logisch, aber sicherlich
> vergleichweise zu umständlich?
Ich möchte dir noch erklären, wie ich auf die Idee
mit diesem Term gekommen bin.
Die binomischen Ausdrücke
[mm] T_1=(a+b)^2=a^2+2\,a\,b+b^2
[/mm]
[mm] T_2=(a-b)^2=a^2-2\,a\,b+b^2
[/mm]
liefern für alle Belegungen von a und b
durch reelle Zahlen stets nichtnegative Werte.
Hier geht es um den Term
[mm] T_3=a^2+a\,b+b^2
[/mm]
Nun war die Idee naheliegend, [mm] T_3 [/mm] als Linear-
kombination von [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] zu schreiben:
[mm] T_3=x*T_1+y*T_2
[/mm]
Es ist dann leicht zu sehen, dass x+y=1 sein
muss. Dann ist der Weg zur Lösung [mm] x=\frac{3}{4}
[/mm]
und [mm] y=\frac{1}{4} [/mm] ganz einfach, und da x und y in
diesem Fall beide positiv sind, folgt aus
[mm] T_1\ge0 [/mm] und [mm] T_2\ge0 [/mm] sofort [mm] T_3\ge0 [/mm] für alle a und b
aus [mm] \IR [/mm] . Und das war ja genau gesucht !
Ferner sieht man noch leicht, dass [mm] T_3=0 [/mm] nur
möglich ist, wenn [mm] T_1=T_2=0 [/mm] oder mit anderen
Worten a=b=0.
Also kommt man doch jetzt zu dem recht einfachen
Nachweis, dass [mm] a^3-b^3 [/mm] stets dasselbe Vorzeichen
haben muss wie a-b, denn
[mm] a^3-b^3=(a-b)*\underbrace{(a^2+a\,b+b^2)}_{positiv,\, falls\ (a,b)\,\not=\,(0/0)}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Fr 30.10.2009 | | Autor: | oli_k |
Ok, super, das leuchtet ein! Ist das denn echt der "anerkannteste" bzw. am meisten verwendete Weg, um diesen ja sicherlich sehr häufig vorkommenden Sachverhalt nachzuweisen?
Kannst du mir auch bei der anderen Beweisrichtung noch etwas da weiterhelfen, wo ich aufgehört habe?
Danke!
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> Ok, super, das leuchtet ein! Ist das denn echt der
> "anerkannteste" bzw. am meisten verwendete Weg, um diesen
> ja sicherlich sehr häufig vorkommenden Sachverhalt
> nachzuweisen?
Wahrscheinlich nicht - aber ist das wichtig ?
Du hast mich mit deiner Art des Vorgehens
auf diese Idee gebracht, die ich vorher auch
nicht kannte. Der Vorteil: man muss sich
dabei gar nicht mehr um "zwei Beweisrich-
tungen" kümmern !
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
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> Ok, super, das leuchtet ein! Ist das denn echt der
> "anerkannteste" bzw. am meisten verwendete Weg, um diesen
> ja sicherlich sehr häufig vorkommenden Sachverhalt
> nachzuweisen?
Ein "üblicherer" Weg wäre vielleicht folgender:
Man unterscheidet die 3 Fälle
(1) [mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b>0$
(2) $a<0$ und [mm] b\le0
[/mm]
(3) $a<0$ und $b>0$
Für Fall (1) könnte man vorgängig folgenden Satz
beweisen:
Ist [mm] $0\le [/mm] p<q$ und [mm] $0\le [/mm] r<s$, so folgt $p*r<q*s$
Aus (1) lässt sich durch Umbezeichnungen (2)
leicht herleiten, und (3) ist fast schon trivial.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Do 29.10.2009 | | Autor: | abakus |
> > Zeigen Sie:
> > a<b <=> a³<b³
> > Hallo,
> >
> > weiß nicht so ganz, wie ich hier herangehen soll. Ich muss
> > in beide Richtungen beweisen, richtig?
>
> Hallo,
>
> das ist auf jeden Fall richtig.
>
> Zur Herangehensweise: hier wäre es wichtig, wenn Du uns
> verraten würdest, was Du verwenden darfst.
>
> Wenn ich mal wieder etwas abdunkele, meinen Raben auf die
> Schulter setze und in die Kristallkugel schaue, so sehe
> ich: es geht hier irgendwie um Körper und die
> Anordnungsaxiome.
> Richtig hellgeguckt?
>
> > Hier mal meine Ansätze:
> >
> > Teil 1 (a<b => a³<b³):
> > Hier kann ich auf beiden Seiten einfach hoch 3 nehmen,
> > weil ja jeweils mit a² bzw. b² multipliziert sind - diese
> > sind jeweils auf jeden Fall positiv bzw. 0, also ändert
> > sich an der Ungleichung nichts
Hallo,
ich beschränke mich mal auf den Fall 0<a<b.
Aus a<b folgt durch Multipliktion mit a (was ja positiv sein soll)
[mm] a^2
Aus a<b folgt durch Multipliktion mit b (was ja positiv sein soll)
[mm] ab
Zusammenfassen beider Ungleichungen führt zu [mm] a^2
Daraus erhält man [mm] a^3
Aus a<b und ab>0 folgt a(ab)<b(ab) und somit die Kettenungleichung
[mm] a^3
Gruß Abakus
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> Wirklich ganz sicher?
> Deiner Argumentation exakt folgend ich ja auch so sagen:
>
> Es ist 2<3.
> Nun nehme ich trallala! zwei positive Zahlen 7 und 1 und
> multipliziere und tadderadaa! erhalte: 2*7<3*1. Huch?
>
> > Doch wie schreibe ich das
> > mathematisch auf?
>
> Du mußt alles, was Du tust, mit den Axiomen und Sätzchen
> begründen, die Dir vorliegen - und welche das sind, weiß
> ich nicht genau.
> Aber Du weißt es, und wenn Du für jeden Schritt, den Du
> gehst, ein Sätzchen aus der VL liefern kannst, kannst Du
> sicher sein, daß es richtig ist, was Du tust.
> Vage Ahnungen und Gefühle reichen nicht.
>
> Im Prinzip kommst du mit deiner Idee schon weiter, aber die
> Begründungen müssen richtig sein.
>
>
> > Andere Möglichkeit: Ich fange mit a-b<0 an, wie kann ich
> > von dort weitermachen?
> >
> > Teil 2 (a<b <= a³<b³):
> > Hier würde ich zunächst in (a-b)(a²+ab+b²)<0
> > aufteilen, doch dann komme ich mit der Fallbetrachtung
> > nicht weiter...
>
> Schade, daß Du nicht ins Detail gehst. Von welchen
> Fallunterscheidungen sprichst Du
>
> Deine Idee jedenfalls gefällt mir.
> Weil ich besser mit positiven Zahlen als mit negativen
> rechnen kann, würde ich lieber mit b-a>0 starten und
> daraus [mm]b^3-a^3>0[/mm] folgern wollen.
> Meist sind die Sätze ja auch eher "positiv" formuliert.
>
> Wenn ich glaubhaft machen kann, daß [mm]b^2+ab+a^2[/mm] positiv
> ist, habe ich ja gewonnen.
> Ich könnte mir vorstellen, daß Dir der Fall, daß a
> negativ ist und b positiv, Sorgen macht.
> Bedenke: [mm]b^2+ab+a^2=b^2+2ab+a^2[/mm] -ab.
>
> Gruß v. Angela
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> Zeigen Sie:
> a<b <=> a³<b³
.....
> Hier würde ich zunächst in (a-b)(a²+ab+b²)<0
> aufteilen, doch dann komme ich mit der Fallbetrachtung
> nicht weiter... Habt ihr Tips?
Ja: berechne mal den Term [mm] \frac{3}{4}*(a+b)^2+\frac{1}{4}*(a-b)^2 [/mm] !
Gruß Al-Chw.
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