Beweis auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Di 19.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}
[/mm]
existiert, d.h. dass die Folge [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] konvergiert. |
Hey Leute,
hab mal eine Frage. :(
Ich soll beweisen dass ein Grenzwert existiert, und dies kann man ja machen indem man zeigt, dass die Folge beschränkt und monoton ist. Dass sie monoton ist, ist ja auch klar. :D
Soll man das auch irgendwie zeigen?
Und wie kann ich auf die Beschränkung der Folge schließen, also beweisen dass die Folge zu den Wert beschränkt ist?
Vielleicht könnte mir jemand mal helfen :)
Gruß Ibo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> (Hinweis: Prüfen Sie die Fälle n = 0 und n = 1 direkt
> nach und nutzen Sie voll-
> 
> existiert, d.h. dass die Folge [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> konvergiert.
> Hey Leute,
>
> hab mal eine Frage. :(
> Ich soll beweisen dass ein Grenzwert existiert, und dies
> kann man ja machen indem man zeigt, dass die Folge
> beschränkt und monoton ist. Dass sie monoton ist, ist ja
> auch klar. :D
> Soll man das auch irgendwie zeigen?
>
> Und wie kann ich auf die Beschränkung der Folge
> schließen, also beweisen dass die Folge zu den Wert
> beschränkt ist?
>
> Vielleicht könnte mir jemand mal helfen :)
Die Aufgabe ist ja grauenhaft formuliert !!!
Es gent also um die Folge [mm] (a_n), [/mm] wobei
[mm] a_n=$ \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] $
Die Monotonie zeigst Du mal !
Tipp zur Beschränktheit:
Für n [mm] \ge [/mm] 2 und 2 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n ist
[mm] \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}}
[/mm]
FRED
>
>
> Gruß Ibo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 21.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
Also ich habe die Monotonie so bewiesen:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
[mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{k!}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
// : [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
= 1 [mm] \le \bruch{1}{n+1}
[/mm]
d. h. die Folge ist für jedes n [mm] \in \IN [/mm] kleiner als das Folgeglied => Die Folge ist streng monoton steigend.
Komme bei der Beschränkung leider nicht weiter. Hat jemand einen Tipp? :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Do 21.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
Wenn ich dann nochmal nach n umstelle steht da:
n [mm] \ge [/mm] 0, das sagt ja auch aus, dass für jedes Element größer als Null das Folge Glied größer oder gleich ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:59 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe die Monotonie so bewiesen:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
> // : [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm]
> = 1 [mm]\le \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> d. h. die Folge ist für jedes n [mm]\in \IN[/mm] kleiner als das
> Folgeglied => Die Folge ist streng monoton steigend.
>
>
> Komme bei der Beschränkung leider nicht weiter. Hat jemand
> einen Tipp? :/
Ich hab Dir doch einen gegeben !!!!
FRED
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