Beweis bezügl. Riemannsummen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:20 Do 08.06.2006 | | Autor: | DarkSea |
| Aufgabe | Sei g:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig und f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] riemann-integrierbar.
Zeigen sie:
Für Zerlegungen Z = [mm] (x_{0},...,x_{n}) [/mm] und zugehörige Besetzungen [mm] (\alpha_{1},...\alpha_{n}), (\beta_{1},...\beta_{n}) [/mm] gilt:
[mm] \limes_{|Z|\rightarrow 0} \summe_{k=1}^{n} f(\alpha_{k})g(\beta_{k}) [/mm] * [mm] (x_{k} [/mm] - [mm] k_{k-1}) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}
[/mm]
Hinweis: zu zeigen ist:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. [mm] \delta [/mm] > 0 so, dass für |Z| < [mm] \delta [/mm] gilt:
| [mm] \summe_{k=1}^{n} f(\alpha_{k})g(\beta_{k}) [/mm] * [mm] (x_{k} [/mm] - [mm] k_{k-1}) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] |
Hi, ich hab ein Problem mit obiger Aufgabe. Das ganze sieht ja ziemlich nach ner Riemann-Summe aus, mit dem Unterschied, dass beide Funktionen "eigene" Besetzungen haben und nicht die gleiche Besetzung benutzen oder?
Ich bin bisher soweit, dass ich entweder [mm] (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] < [mm] \delta [/mm] wähle (das wäre ja genau das |Z|) oder ganz konkret [mm] x_{k} [/mm] = [mm] x_{k-1} [/mm] + [mm] \delta/2, [/mm] wobei ich nicht sicher weiß, ob man das so wählen darf. Wenn man nun aber z.b. das zweite nimmt, kann man die Summe ja schonmal abschätzen bzw das
[mm] (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] durch [mm] \delta/2 [/mm] ersetzen und hat dann
| [mm] \delta/2 \summe_{k=1}^{n} f(\alpha_{k})g(\beta_{k}) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} [/mm] |
Um nun zu zeigen, dass dies kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist muss man wohl entweder die Summe in ein Integral umwandeln oder das Integral in eine Summe umwandeln / irgendwie damit abschätzen, und das ist der Punkt an dem ich hängen bleibe... Wenn ich das Integral als Grenzwert einer Riemann-Summe schreiben würde hätte ich wohl noch eine 3. Besetzung und außerdem halt den Grenzwert einer Summe, keine Summe. Mit Ober- und Untersummen bin ich bis jetzt auch noch auf nichts gestoßen, kurzum: ich komme nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich von dort sinnvoll weitermachen könnte?
Grüße und danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 10.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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