Beweis, dass Reihe 1/n diverg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mo 08.02.2010 | | Autor: | raida |
| Aufgabe | | Beweise die Divergenz der Reihe 1/n |
Hallo,
ich habe die Reihe 1/n vorliegen und suche nach einem einfachen Beweis.
Als Ansatz habe ich genommen, dass die Summe der Partialsummen divergiert d.h.
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} [/mm] = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
> 1+ n*1/2
Nun muss ich noch durch vollständige Induktion beweisen, dass die einzelnen Terme echt größer als 1/2 sind.
Hätte mir da jemand vielleicht einen Ansatz? Habe hier gar keine Ahnung.
Meine Versuche mit:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} [/mm] > 1+ n*1/2
scheitern schon beim Induktionsanfang. Für n=1 ist diese Bedingung nun mal nicht erfüllt.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Auch für Vorschläge, wie man die Reihe 1/n vlt. einfacher beweisen kann, würde ich mich freuen.
Vielen Dank für jegliche Hilfe.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schau dir das in wiki Harmonische Reihe an. da steht, wie es geht. du musst immer mehr Glieder zusmmenfassen , immer bis zum nächsten [mm] 1/2^k
[/mm]
so musst du auch deinen Induktionsbweis aus führen. Summe bis n=2 1+1/2
von n=2 bis n=4 ist wieder größer als [mm] 2*1/2^2=1/2
[/mm]
von n=5 bis n=8 grösser als 4*1/8 dann grösser 8*1/16. usw
versuch das zu zeigen wenn du bis [mm] n=2^k [/mm] gekommen bit, und bis [mm] n=2*2^k [/mm] weitergehst!
Dass du für den Summationsindex und die Abschätzung dasselbe n benutzt ist sehr ungeschickt. Schätz die summe nicht bis [mm] \infty [/mm] ab, sondern bis [mm] m=2^k [/mm] und dann bis [mm] m=2^{k+1}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
Hallo,
vielen Dank leduart für deine Hilfe.
Die harmonische Reihe in Wikipedia habe ich mir angeschaut, danke für den Tipp, ist sehr gut beschrieben, allerdings habe ich den Induktionsbeweis dort nicht gefunden. Ich weiß nicht ob es ausreicht, den Beweis nur mit dieser Argumentation zu führen, es ist ja eigentlich ersichtlich, dass die Glieder der Reihe größer sind, als die der Abschätzung.
"du musst immer mehr Glieder zusmmenfassen , immer bis zum nächsten
so musst du auch deinen Induktionsbweis aus führen. Summe bis n=2 1+1/2
von n=2 bis n=4 ist wieder größer als"
Aber das merkwürdige ist das bei Betrachtung von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] > 1+ n*1/2
die Summe links immer kleiner ist als rechts, statt größer zu sein.
Wieso muss ich bis [mm] n={2^k} [/mm] abschätzen?
[mm] \summe_{n=1}^{2^k}\bruch{1}{n} [/mm] > 1+ n*1/2
= 1 + 1/2 + 1/3 + ... [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] > 1 + k*1/2
Wie komme ich da weiter, bzw. wie kommst du auf [mm] 2^k [/mm] ?
Entschuldige, bin wohl nicht ganz fit in dem Thema, danke für deine Hilfe.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 11.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Sei [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}$. [/mm] Dann ist
(*) [mm] $s_{2n}=s_n+\bruch{1}{n+1}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2n}\ge s_n+n*\bruch{1}{2n}= s_n+1/2$
[/mm]
Annahme: [mm] (s_n) [/mm] ist konvergent. Sei s der GW von [mm] (s_n). [/mm] Aus (*) erhält man dann den Widerspruch
[mm] $s\ge [/mm] s+1/2$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
Danke für deine Hilfe.
Den Beweis verstehe ich leider nicht ganz.
Bedeutet denn s(2n) = [mm] \summe_{k=1}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm] ?
Wieso ist dann $ [mm] s_{2n}=s_n+\bruch{1}{n+1}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2n}\ge s_n+n\cdot{}\bruch{1}{2n}= s_n+1/2 [/mm] $ ?
Vielen Dank.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe.
>
> Den Beweis verstehe ich leider nicht ganz.
> Bedeutet denn s(2n) = [mm]\summe_{k=1}^{2n}\bruch{1}{k}[/mm] ?
Ja
>
> Wieso ist dann [mm]s_{2n}=s_n+\bruch{1}{n+1}+ ...+ \bruch{1}{2n}\ge s_n+n\cdot{}\bruch{1}{2n}= s_n+1/2[/mm]
> ?
In der Summe [mm] $\bruch{1}{n+1}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2n}$ [/mm] ist jeder Summand [mm] \ge \bruch{1}{2n}, [/mm] n Summanden hat diese Summe, also ist
[mm] $\bruch{1}{n+1}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2n} \ge n*\bruch{1}{2n}$ [/mm]
FRED
>
>
>
> Vielen Dank.
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Di 09.02.2010 | | Autor: | raida |
okay jetzt verstehe ich...vielenvielen Dank für die zusätzlichen Ausführungen.
Grüße
|
|
|
|
